ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu ngắn gọn các khái niệm ``tổng quát'' về vành, trường và vành đa thức trên trường cùng một số tính chất cơ bản của chúng. Tiếp đó chúng ta sẽ xem xét về cấu trúc của trường số phức và các biểu diễn của số phức. 3.1. Vành Giả sử $R$ là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Một $\textbf{phép toán }$ ``$\ast$'' trong $R$ là một quy tắc ứng mỗi cặp $(a,b)\in R^{2}$ với một phần tử của $R$, ký hiệu là $a\ast b$. Nói cách khác, mỗi phép toán ``$\ast$'' trong $R$ là một ánh xạ \begin{align*} \ast: R^{2} &\longrightarrow R,\\ (a,b) &\longmapsto f(a,b)=a\ast b. \end{align*} Chẳng hạn, ta có phép toán cộng $a+b$ và phép toán nhân $a\cdot b$ thông thường trong các tập số $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$. $\textbf{Định nghĩa 3.1.}\ $ Một $\textbf{vành}$ $R$ là một tập khác rỗng có hai phép toán cộng và nhân $$ +: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a+b,\quad \cdot: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a\

2.1. Định nghĩa ánh xạ Cho $A$ và $B$ là hai tập tuỳ ý. Người ta dùng khái niệm ánh xạ để xét mối liên hệ giữa các phần tử của $A$ và $B.$ $\textbf{Định nghĩa 2.1.}\ $ Một $\textbf{ánh xạ}$ $f$ từ $A$ đến $B$ là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử $x$ của $A$ với một phần tử duy nhất của $B$ được ký hiệu là $f(x)$. Ta viết $f:A\rightarrow B, x \mapsto f(x)$ hay $$ \begin{aligned} f: A &\longrightarrow B\\ x &\longmapsto f(x). \end{aligned} $$ Ta gọi $A$ là $\textbf{tập nguồn} (\textbf{miền xác định}),$ $B$ là $\textbf{tập đích} (\textbf{miền giá trị})$ của ánh xạ $f$. $\textbf{Ví dụ 2.2.}\ $ Cho $A=\{1,2\}$ và $B=\{a,b,c\}$. Tương ứng $1\mapsto a$, $2\mapsto b$ xác định một ánh xạ $f$ từ $A$ đến $B$: \begin{align*} f: A&\longrightarrow B\\ 1&\longmapsto a\\ 2&\longmapsto b. \end{align*} Tương ứng $a\mapsto 1$, $b\mapsto 2$, và $c\mapsto 1$ xác định một ánh xạ $g$ từ $B$ đến $A$: \begin{align*} g: B&\longrightarrow A\\ a&

Ở những mục trước chúng ta quan tâm đến việc tìm $\mathbf{x}\in \mathbb{K}^n$ để thỏa mãn $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b}\quad \mbox{với}\ A \in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K}),\ \mathbf{b}\in \mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{K}). $$ Trong trường hợp $m=n=1$, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ trở thành $ax=b$ với $a,b\in \mathbb{K}$. Phương trình này có nghiệm $x$ thỏa mãn $x=a^{-1}b$ khi $a\ne 0$. Một cách tự nhiên, liệu rằng tồn tại một ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ của $A$ sao cho $\textbf{x}=A^{-1}\textbf{b}$? Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên. 9.1. Ma trận khả nghịch Mọi phần tử khác không $a$ trong trường số $\mathbb{K}$ luôn có phần tử đảo $a^{-1}\in \mathbb{K}$ sao cho $$ aa^{-1}=a^{-1}a=1. $$ Tương tự như vậy, ta định nghĩa ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông như sau. $\textbf{Định nghĩa 9.1.}\ $ Một ma trận vuông $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ được gọi là $\textbf{ma trận khả nghịch}$ nếu tồn tại ma trận vuông $A^{-1}\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ sao cho $$ AA^{-1}

Trong các mục trước, ma trận là một công cụ hữu hiệu dùng để giải hệ phương trình tuyến tính. Thật ra, chính bản thân nội tại của ma trận cũng có nhiều tính chất thú vị. Các phép toán được giới thiệu sau đây cho thấy sự hữu ích của nó về cả lý thuyết và thực hành trong các chương tiếp theo. Chẳng hạn, nếu xem ma trận là một ngôn ngữ để diễn tả khái niệm trừu tượng ánh xạ tuyến tính trong Chương 4, thì các phép toán này là vốn từ vựng cần thiết. 8.1. Cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số Hai phép toán đầu tiên được giới thiệu ở đây là phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với một số. Cho $\mathbb{K}$ là trường số ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ hay $\mathbb{C}$), $m,n$ là hai số nguyên dương, và cho hai ma trận $A=(a_{ij})_{m\times n}$, $B=(b_{ij})_{m\times n} \in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ và $\lambda\in \mathbb{K}$. $\textbf{Định nghĩa 8.1.}\ $ $\textbf{Tổng}$ của hai ma trận $A$ và $B$, ký hiệu là $A+B$, là một ma trận cấp $m\times n$ trên trường $\mathbb{K}$ xác định bởi

1.1. Khái niệm tập hợp Đối tượng của toán học gồm nhiều loại khác nhau, trong đó chúng ta đã quen thuộc với các đối tượng như các số, điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, đường tròn, phương trình, vv. Thông thường các đối tượng có cùng một tính chất chung được gom thành các tập hợp, và chúng có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Tập hợp là một khái niệm cơ bản và thâm nhập vào toàn bộ cách nghĩ trong toán học ngày nay. Tập hợp là một khái niệm không được định nghĩa mà được hiểu một cách trực giác như sau. Tất cả những đối tượng được xác định theo một quy tắc nào đó được xem là $\textbf{một tập hợp}$. Những đối tượng này được gọi là các $\textbf{phần tử}$ của tập hợp đó. (Để ngắn gọn, đôi khi ta nói $\textbf{tập}$ thay cho tập hợp.) Một tập hợp có thể không có một phần tử nào cả, một tập như vậy được gọi là $\textbf{tập rỗng}$, ký hiệu là $\varnothing$. $\textbf{Định nghĩa 1.1.}$ Cho $A$ là một tập hợp khác rỗng. Nếu $a$ là một phần tử của của $A$, thì người ta nói rằng ``$\te