Lời mở đầu

Ngôn ngữ và các khái niệm của lý thuyết đại số tuyến tính nói chung và ma trận nói riêng được ứng dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thống kê, học máy, trí tuệ nhân tạo, xử lí ảnh, tài chính, v.v. Đại số tuyến tính không những giúp sinh viên bước đầu làm quen với tính trừu tượng của toán học, các kĩ thuật tính toán mạnh mẽ hiện đại mà còn là nền tảng quan trọng của nhiều nhánh toán học khác như Giải tích hàm, Hình học vi phân.

Giáo trình Đại số tuyến tính I của chúng tôi trình bày một cách cẩn thận các chủ đề mở đầu của đại số tuyến tính dưới góc nhìn lý thuyết cũng như công cụ thực hành tính toán và minh họa sức hấp dẫn của nó thông qua nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học và cuộc sống. Mục đích của chúng tôi là giúp những sinh viên lần đầu tiếp xúc với đại số tuyến tính có một nền tảng tốt về những khái niệm, ý tưởng cơ bản đồng thời hình dung được cách chúng được dùng trong thực tế. Hơn nữa, trong bối cảnh sức mạnh của máy tính ngày càng gia tăng, cùng với sự phát triển của các gói và ngôn ngữ máy tính cấp cao hỗ trợ tính toán véctơ và ma trận, việc giới thiệu phần mềm toán học, ở đây chúng tôi chọn \(\texttt{Maple}\), đi kèm với đại số tuyến tính là hợp với xu thế và hữu ích cho sinh viên về sau.

Đối với đa số sinh viên, đại số tuyến tính có lẽ là môn toán trừu tượng đầu tiên mà họ sẽ tiếp thu trên giảng đường đại học nên chúng tôi đã cố gắng viết sao cho môn học này dễ tiếp cận. Chúng tôi bắt đầu với các chủ đề cụ thể quen thuộc như hệ phương trình và ma trận, trước khi tiếp tục với các khái niệm trừu tượng hơn như không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính. Trong giáo trình này, hầu hết các các định lí được chứng minh đầy đủ. Nhiều ví dụ được trình bày cực kỳ chi tiết để minh họa cho các khái niệm. Cách sử dụng công cụ tính toán \(\texttt{Maple}\) cho từng vấn đề được trình bày rất trực quan theo từng bước cung cấp cho sinh viên bước đầu trải nghiệm thực hành phần mềm toán học. Cuối mỗi mục chúng tôi cung cấp các bài tập, từ các bài tập vận dụng thông thường đến những ứng dụng thực tế thú vị, tất nhiên không thể thiếu các bài tập mang tính chất lý thuyết giúp sinh viên củng cố và có cái nhìn đầy đủ hơn về kiến thức đã học.

Với tinh thần đó, bố cục của cuốn sách gồm 6 chương. Cụ thể như sau.

Chương đầu tiên giới thiệu các kiến thức cơ bản và cần thiết cho các chương sau như tập hợp, ánh xạ, đa thức và các trường số.

Chương 2 dành cho các khảo sát về hệ phương trình tuyến tính và ma trận. Trước tiên, các hệ phương trình tuyến tính được giới thiệu thông qua các ví dụ đơn giản cùng với biểu diễn hình học của tập nghiệm của chúng trong trường hợp hai hoặc ba biến. Tiếp theo, lý thuyết ma trận được trình bày đan xen với hệ phương trình tuyến tính với quan điểm ma trận là một công cụ hữu hiệu để biểu diễn và giải hệ phương trình tuyến tính một cách ngắn gọn, hiệu quả. Đặc biệt, phương pháp khử Gauss-Jordan, cách biện luận nghiệm hệ phương trình theo hạng của ma trận, tính ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch, và các ứng dụng liên quan được trình bày chi tiết. Chương này không những đưa ra cái nhìn bao quát về hệ phương trình tuyến tính và ma trận, mà còn là nền tảng hỗ trợ cho các chương tiếp theo.

Chương 3 của cuốn sách trình bày lý thuyết cơ bản về không gian véctơ. Trong đó, các khái niệm về không gian con, không gian thương, tổ hợp tuyến tính, phụ thuộc và độc lập tuyến tính, cơ sở và số chiều, và ma trận chuyển cơ sở được trình bày rõ ràng với nhiều ví dụ minh họa kèm theo. Thêm vào đó, tổng và tổng trực tiếp của các không gian véctơ cũng được giới thiệu. Đa số các tính toán trong chương này sử dụng các kết quả của Chương 2.

Chương 4 tập trung vào việc nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véctơ. Các không gian véctơ không còn đứng riêng rẽ như Chương 3 mà chúng được kết nối với nhau thông qua các ánh xạ tuyến tính, đồng thời các tính chất của ánh xạ tuyến tính được đề cập làm sáng tỏ thêm cấu trúc của các không gian véctơ. Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính và mối quan hệ cộng sinh giữa các ánh xạ tuyến tính và ma trận được diễn giải chi tiết. Chương này kết thúc với các kiến thức tổng quan được trình bày ngắn gọn về không gian đối ngẫu hữu hạn chiều.

Chương 5 có chủ đề là định thức và các ứng dụng của nó. Có hai hướng tiếp cận khái niệm định thức. Hướng thứ nhất là tiếp cận bằng quy nạp dựa trên công thức khai triển định thức Laplace. Hướng này thiên về tính toán định thức và thường được sử dụng trong các sách và bài giảng đối với sinh viên kinh tế và kỹ thuật. Hướng thứ hai là tiếp cận bằng công thức Leibniz thông qua các phép thế. Điều này giúp các chứng minh gọn gàng, cô đọng, thể hiện được cấu trúc đại số của định thức. Trong chương này chúng tôi chọn hướng tiếp cập thứ hai. Các phương pháp tính định thức và ứng dụng của nó để giải hệ phương trình tuyến tính, để tính diện tích hình bình hành và tính thể tích khối hộp, và để kiểm tra tính độc lập tuyến tính của tập các hàm theo định thức Wronski cũng được mô tả chi tiết.

Chương cuối thảo luận về không gian riêng, giá trị riêng và bài toán chéo hóa của các tự đồng cấu trên không gian véctơ hữu hạn chiều cũng như của các ma trận vuông. Bài đầu tiên của chương giới thiệu các khái niệm về không gian con bất biến, giá trị riêng, véctơ riêng và tính chéo hóa. Công cụ chính để tính toán các giá trị riêng và không gian riêng là đa thức đặc trưng được trình bày trong bài kế tiếp. Các tính chất của đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu, cũng như định lí Cayley-Hamilton và các ví dụ được thảo luận chi tiết. Bài cuối của chương đưa ra điều kiện cần và đủ để một tự đồng cấu (ma trận) chéo hóa được. Đồng thời một vài ứng dụng về tính chéo hóa của ma trận cũng được trình bày trong bài này, đặc biệt là ứng dụng trong thuật toán sắp xếp thứ hạng các trang web.

Chúng tôi trân trọng cảm ơn trường Đại học Sư phạm Huế đã tạo điều kiện để giáo trình này được xuất bản. Chúng tôi mong nhận được phản hồi từ độc giả và các đồng nghiệp về những thiếu sót khó tránh khỏi của cuốn sách. Chúng tôi chân thành cảm ơn các tác giả của những cuốn sách được trích dẫn trong phần tài liệu tham khảo.