ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Đây là phiên bản trực tuyến của Giáo trình Đại số tuyến tính I.  Giáo trình này được viết bởi Phạm Đình Đồng, Trần Nguyễn Khánh Linh, Lê Ngọc Long và Huỳnh Đình Tuân, giảng viên Khoa Toán học, Trường ĐHSP - Đại học Huế.  Giáo trình này được dùng để dạy học học phần Đại số tuyến tính I, mã số: MAT04413.

Như các mục trước, cho $V$ là không gian véctơ $n$-chiều trên trường số $\mathbb{K}$. Trong mục này ta khảo sát bài toán chéo hóa và xem xét một vài ứng dụng của nó. 24.1. Bài toán chéo hóa Tự đồng cấu $f\in\text{End}(V)$ là chéo hóa được nếu tồn tại cơ sở $S$ của $V$ sao cho $M_S(f)$ là ma trận chéo. Bài toán chéo hóa yêu cầu chỉ ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại và phương pháp tìm một cơ sở $S$ sao cho $M_S(f)$ là ma trận chéo. Trước hết ta giới thiệu về sự phân rã trên $\mathbb{K}$ và nghiệm bội của đa thức. $\textbf{Định nghĩa 24.1.}\ $ Cho đa thức $p(t)\in\mathbb{K}[t]$. Ta nói rằng $p(t)$ phân rã trên $\mathbb{K}$ nếu tồn tại $a,a_1,\dots,a_d\in\mathbb{K}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $ p(t) = a(t-a_1)\cdots(t-a_d). $ Một nghiệm $\lambda\in\mathbb{K}$ của $p(t)$ được gọi là $\textbf{nghiệm bội}$ nếu $(t-\lambda)^2$ chia hết $p(t)$. Số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho $(t-\lambda)^k$ chia hết $p(t)$ được gọi là $\textbf{số bội}$ của $\lam

Trong mục này chúng ta sẽ khảo sát phương pháp tìm các giá trị riêng và xác định không gian riêng tương ứng của một tự đồng cấu của không gian hữu hạn chiều (cũng như là của một ma trận vuông) trên trường số $\mathbb{K}$. Dưới đây $V$ luôn là không gian véctơ $n$-chiều trên trường $\mathbb{K}$. 23.1. Đa thức đặc trưng Một đặc trưng cơ bản cho giá trị riêng của một tự đồng cấu của $V$ được trình bày bởi tính chất sau. $\textbf{Bổ đề 23.1.} \ $ Với $f\in \text{End}(V)$ và $\lambda\in \mathbb{K}$, các điều kiện sau là tương đương: $\lambda$ là giá trị riêng của $f$. $\text{det}(f-\lambda \text{id}_V) =0$. $\textbf{Chứng minh.} \ $ Từ Bổ đề 22.15, ta thấy rằng $\lambda$ là giá trị riêng của $f$ khi và chỉ khi $\text{Ker}(f-\lambda \text{id}_V) \ne \set{\mathbf{0}}$. Vì $V$ là không gian véctơ hữu hạn chiều, nên điều kiện trên tương đương với $f-\lambda \text{id}_V$ không là đẳng cấu theo Hệ quả 17.15. Điều kiện cuối này tương đương với $\text{det}(f-\lambda \text{id}_V)

22.1. Định nghĩa và một số tính chất Cho tự đồng cấu $f \in \mathrm{End}(V)$. Nếu $V$ có thể phân tích thành tổng trực tiếp \begin{equation}\tag{22.1} V= V_1\oplus\cdots \oplus V_m \end{equation} trong đó $V_i$ là các không gian con thực sự của $V$, thì việc khảo sát $f$ có thể quy về việc khảo sát các ánh xạ thu hẹp $f|_{V_i}$ trên các không gian con $V_i$. Rõ ràng khảo sát $f|_{V_i}$ là dễ hơn so với $f$ vì $\dim(V_i) < \dim(V)$. Tuy nhiên, vấn đề ở đây là ánh xạ thu hẹp $f|_{V_i}$ có thể không phải là tự đồng cấu của $V_i$, do ảnh của nó có thể là một không gian con khác với $V_i$. Vì vậy ta cần xét các phân tích của $V$ dạng (22.1) sao cho $f(V_i)\subseteq V_i$ với mọi $i=1,\dots, m$. Điều này đưa ta tới định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 22.1.}\ $ Không gian con $U$ của $V$ được gọi là không gian con bất biến của $f$ nếu $f(U)\subset U$. $\textbf{Ví dụ 22.2.}\ $ Rõ ràng, $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ và $f(\mathbf{v})\in V$ với mọi $\mathbf{v}\in V$, t

18.1. Không gian véctơ đối ngẫu Giả sử $V$ là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường $\mathbb{K}$. $\textbf{Định nghĩa 18.1.}\ $ Không gian $\mathcal{L}(V,\mathbb{K})$ của các ánh xạ tuyến tính từ $V$ vào $\mathbb{K}$ được gọi là không gian véctơ đối ngẫu của $V$ , ký hiệu bởi $V^*$. Mỗi phần tử của $V^*$ được gọi là một dạng tuyến tính trên $V$ . $\textbf{Nhận xét 18.2.} \ $ Từ Hệ quả 16.8, ta có $$\dim(V^*)=\dim(\mathcal{L}(V,\mathbb{K}))=\dim(V)\cdot \dim(\mathbb{K})=\dim(V).$$ $\textbf{Ví dụ 18.3.}\ $ Ánh xạ $f\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ cho bởi $f([x,y,z]^T)=x-2y+z$ là một dạng tuyến tính trên $\mathbb{R}^3$. $\textbf{Ví dụ 18.4.}\ $ Lấy $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^n$. Khi đó ánh xạ $f\colon\mathbb{K}^n\rightarrow\mathbb{K}$ cho bởi \[ [x_1,\dots,x_n]^T \mapsto \lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n \] là một dạng tuyến tính trên $\mathbb{K}^n$. Tổng quát hơn, ta có $\textbf{Mệnh đề 18.5.} \ $ Cho $V$ là k