Bài 10: KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ

10.1 Định nghĩa và ví dụ

Ta biết rằng một véctơ (hay một điểm) $\mathbf{v}$ trong không gian hai chiều $ \mathbb{R}^{2}$ được biểu diễn bởi một cặp có thứ tự $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\end{bmatrix}.$ Tương tự như vậy, một véctơ trong không gian ba chiều $ \mathbb{R}^{3}$ được biểu diễn bởi bộ ba có thứ tự $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}.$ Các véctơ này có biểu diễn hình học như Hình III.1

Việc nghiên cứu các không gian $ \mathbb{R}^{2}$ và $ \mathbb{R}^{3}$ cho ta thấy các tính chất hình học của véctơ có thể mô tả bằng các mối quan hệ đại số của chúng và ngược lại. Chẳng hạn sự tương quan giữa biểu diễn hình học và tọa độ của tổng hai véctơ và phép nhân một vô hướng với một véctơ  trong $\mathbb{R}^2$ được thể hiện bởi Hình III.2

Một cách tự nhiên, các không gian $ \mathbb{R}^2$ hay $ \mathbb{R}^3$ có thể mở rộng thành không gian $ \mathbb{R}^n$ $(n\geq 4)$ bằng cách thay cặp có thứ tự hay bộ ba có thứ tự bởi bộ có thứ tự gồm $n$ thành phần.

Nhắc lại rằng không gian $\mathbb{R}^n$ là tập các véctơ gồm các thành phần là các số thực: $\mathbb{R}^n = \{\, \mathbf{v} \;\Big| \; \mathbf{v}=\begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},\quad  v_1, \dots, v_n \in  \mathbb{R}\}$ cùng với phép toán cộng và tích với vô hướng xác định bởi $$\begin{bmatrix} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} v_1\\ \vdots\\  v_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u_1+v_1\\ \vdots\\ u_n+v_n \end{bmatrix} \in  \mathbb{R}^n, \quad \lambda \begin{bmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda v_1\\ \vdots\\ \lambda v_n \end{bmatrix} \in  \mathbb{R}^n.$$

Các phép toán này có những tích chất dưới đây với mọi $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in \mathbb{R}^{n}$, $a,b\in  \mathbb{R}$:

1.  $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$.
2.  $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).$
3. Tồn tại véctơ không $\mathbf{0}\in  \mathbb{R}^n$ sao cho $\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$.
4. Tồn tại véctơ đối $-\mathbf{u}\in  \mathbb{R}^n$ sao cho $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}.$
5. $(a+b)\mathbf{u}=a\mathbf{u}+b\mathbf{u}.$
6. $a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}.$
7. $(ab)\mathbf{u}=a(b\mathbf{u}).$
8. $1\cdot\mathbf{u} =\mathbf{u}$.

Lưu ý rằng với các tập hợp khác nhau chúng ta có các định nghĩa khác nhau về phép toán cộng và tích với vô hướng, do đó các tính chất của các phép toán trên $ \mathbb{R}^{n}$ có thể không đúng với các tập hợp khác.

$\textbf{Ví dụ 10.1.}\ $ Xét tập hợp $S = \{ A\in \text{Mat}_2( \mathbb{K}) \mid  \text{rank}(A)=2 \}$. Khi đó phép cộng hai ma trận không đóng kín trong $S$, chẳng hạn $$ A = \begin{bmatrix}1&0\\ 0&2 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 0&1\\ 2&0 \end{bmatrix} $$ có hạng $ \text{rank}(A)= \text{rank}(B)= 2$, tức là phần tử của $S$, nhưng $A+B = \begin{bmatrix} 1&1\\ 2&2 \end{bmatrix}$ có hạng $ \text{rank}(A+B)=1$ và $A+B\notin S$.

Mặt khác, chúng ta có thể kiểm tra rằng phép cộng và tích với vô hướng được trang bị trên các tập dưới đây cũng có những tính chất như các phép toán trên $ \mathbb{R}^{n}$.

• Không gian $ \mathbb{K}^n = \Big\{\, \mathbf{v} \;\Big|\; \mathbf{v}=\begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},\quad  v_1, \dots, v_n \in  \mathbb{K} \, \Big\}$, với trường số $ \mathbb{K}$ và $n\ge 1$, cùng với phép toán cộng và tích với vô hướng xác định bởi $$ \begin{bmatrix} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} v_1\\ \vdots\\  v_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u_1+v_1\\ \vdots\\ u_n+v_n \end{bmatrix} \in  \mathbb{K}^n, \quad \lambda \begin{bmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda v_1\\ \vdots\\ \lambda v_n \end{bmatrix} \in  \mathbb{K}^n. $$
• Tập $ \text{Mat}_{m,n}( \mathbb{K})$ gồm các ma trận cấp $m\times n$ trên trường $ \mathbb{K}$ cùng với phép cộng hai ma trận và tích ma trận với một phần tử thuộc $\mathbb{K}$.
• Tập tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ trong $ \mathbb{K}^n$ cùng với  phép toán cộng và tích với vô hướng cảm sinh từ $\mathbb{K}^n$.

Các ví dụ trên đưa tới khái niệm tổng quát sau.

$\textbf{Định nghĩa 10.2.}\ $ Tập hợp khác rỗng $V$ được gọi là một $\textbf{không gian véctơ}$ trên $ \mathbb{K}$ (hay $\textbf{$ \mathbb{K}$-không gian véctơ}$) nếu nó được trang bị phép toán cộng và tích với vô hướng $$+:\; V\times V\rightarrow V, (\mathbf{u}, \mathbf{v})\mapsto \mathbf{u}+\mathbf{v},\quad \cdot:  \mathbb{K}\times V\rightarrow V, (\lambda, \mathbf{v})\mapsto \lambda \mathbf{v} $$ thỏa mãn những tính chất sau:

• [(V1)]$\ $ $\mathbf{u}+\mathbf{v} =\mathbf{v}+\mathbf{u}$ $\quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V.$
• [(V2)]$\ $ $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} =\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V.$
• [(V3)]$\ $ $\exists  \mathbf{0}\in V: \mathbf{0}+\mathbf{v} =\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v} \quad \forall \mathbf{v}\in V.$
• [(V4)]$\ $ $\forall \mathbf{v}\in V, \exists \mathbf{v}'\in V: \mathbf{v}+\mathbf{v}'= \mathbf{v}'+\mathbf{v}=\mathbf{0}.$
• [(V5)]$\ $ $a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}$ $ \quad \forall a\in \mathbb{K}, \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}\in V.$
• [(V6)]$\ $ $(a+b)\mathbf{u}=a\mathbf{u}+b\mathbf{u}$ $\quad \forall a, b\in \mathbb{K}, \forall \mathbf{u}\in V.$
• [(V7)]$\ $ $(ab)\mathbf{u}=a(b\mathbf{u})$ $\quad  \forall a, b\in \mathbb{K}, \forall \mathbf{u}\in V.$
• [(V8)]$\ $ $1\cdot\mathbf{u} =\mathbf{u}$ $\quad \forall \mathbf{u}\in V.$

Các phần tử của $V$ được gọi là các $\textbf{véctơ}$ và các phần tử của $ \mathbb{K}$ được gọi là các $\textbf{vô hướng}$. 

Một số không gian véctơ thường gặp khác được bổ sung trong ví dụ dưới đây.

$\textbf{Ví dụ 10.3.}\ $

• Vành đa thức một biến $$ \mathbb{K}[x]=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n \mid n\in \mathbb{N}, a_i\in  \mathbb{K}\}$$ trên trường $ \mathbb{K}$ cùng với phép cộng các đa thức và tích một đa thức với một hằng số là một không gian véctơ. Hơn nữa, tập con $ \mathbb{K}[x]_{\le n} = \{\, f\in  \mathbb{K}[x] \mid \deg(f)\le n\,\}$ cùng với các phép toán cảm sinh từ $ \mathbb{K}[x]$ cũng là một không gian véctơ trên $ \mathbb{K}$.
• Tập hợp $C[a, b]$ gồm các hàm liên tục trên đoạn $[a, b]\subseteq  \mathbb{R}$ là một không gian véctơ thực với các phép toán thông thường $$ (f+g)(x)=f(x)+g(x), \ (af)(x)=af(x). $$
• Giả sử $V$ và $W$ là các $ \mathbb{K}$-không gian véctơ. Khi đó $V\times W$ cũng là một $ \mathbb{K}$-không gian véctơ đối với các phép toán định nghĩa như sau: $$ (\mathbf{v}, \mathbf{w})+(\mathbf{v}', \mathbf{w}') =(\mathbf{v}+\mathbf{v}', \mathbf{w}+\mathbf{w}'),\quad a(\mathbf{v}, \mathbf{w})=(a\mathbf{v}, a\mathbf{w}),$$ trong đó $a\in  \mathbb{K}$, $\mathbf{v}, \mathbf{v}'\in V$, $\mathbf{w}, \mathbf{w}'\in W$. Không gian $V\times W$ được gọi là $\textbf{tích trực tiếp}$ của các không gian $V$ và $W.$
• Tập các ma trận đối xứng $S=\{\, A\in  \text{Mat}_n( \mathbb{K}) \mid A^\text{T} =A \,\}$ cùng với phép toán cộng hai ma trận và tích ma trận với một số trong $ \mathbb{K}$ cũng lập thành một không gian véctơ trên $ \mathbb{K}$.

10.2 Một số tính chất cơ bản

Từ định nghĩa không gian véctơ ta suy ra ngay một số tính chất đơn giản sau.

$\textbf{Mệnh đề 10.4.}\ $ Trong một $ \mathbb{K}$-không gian véctơ $V$ ta có các tính chất sau:

1. Véctơ không $\mathbf{0}\in V$ là duy nhất.
2. Với mỗi véctơ $\mathbf{v}\in V$, véctơ đối $-\mathbf{v}\in V$ của $\mathbf{v}$ là duy nhất
3. (Luật giản ước) Nếu $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V$ thỏa mãn $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w}$ thì $\mathbf{v}=\mathbf{w}$.
4. (Luật chuyển vế) Nếu $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V$ thỏa mãn $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{w}$ thì $\mathbf{u}=\mathbf{w}-\mathbf{v}$.

$\textbf{Chứng minh.} \ $

1. Nếu $\theta$ cũng là một véctơ không của $V$ thì từ tiêu chuẩn (V3) suy ra $\theta=\theta+\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
2.  Giả sử $\mathbf{v}'\in V$ cũng là véctơ đối của $\mathbf{v}$. Khi đó ta có $$ -\mathbf{v} \;\stackrel{(V3)}{=}\; -\mathbf{v}+\mathbf{0} \;\stackrel{(V4)}{=}\; -\mathbf{v}+(\mathbf{v}+\mathbf{v}') \;\stackrel{(V2)}{=}\; (-\mathbf{v}+\mathbf{v})+\mathbf{v}' \;\stackrel{(V4)}{=}\; \mathbf{0}+\mathbf{v}' \;\stackrel{(V3)}{=}\; \mathbf{v}'. $$
3. Ta có \begin{align*} \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} &\;\;\stackrel{(b)}{\Rightarrow}\; (-\mathbf{u})+(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(-\mathbf{u})+(\mathbf{u}+\mathbf{w})\\ &\;\stackrel{(V2)}{\Leftrightarrow}\; (-\mathbf{u}+\mathbf{u})+\mathbf{v}=(-\mathbf{u}+\mathbf{u})+\mathbf{w}\\ &\;\stackrel{(V4)}{\Leftrightarrow}\; \mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{w} \;\stackrel{(V3)}{\Leftrightarrow}\; \mathbf{v}=\mathbf{w}. \end{align*}
4. Ta có \begin{align*} \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{w} &\;\stackrel{(c)}{\Leftrightarrow}\; (-\mathbf{u})+(\mathbf{u}+\mathbf{v})=-\mathbf{u}+\mathbf{w}\\ &\stackrel{(V1),(V2)}{\Longleftrightarrow}\; (-\mathbf{u}+\mathbf{u})+\mathbf{v}=\mathbf{w}-\mathbf{u}\\ &\;\stackrel{(V4)}{\Leftrightarrow}\; \mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{w}-\mathbf{u} \;\stackrel{(V3)}{\Leftrightarrow}\; \mathbf{v}=\mathbf{w}-\mathbf{u}. \end{align*}

$\textbf{Mệnh đề 10.5.}\ $ Cho $V$ là một $ \mathbb{K}$-không gian véctơ, $\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$, và $a,b\in  \mathbb{K}$. Khi đó

1. $0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}$ và $a\cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}$.
2. Nếu $a\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$ thì hoặc $a=0$ hoặc $\mathbf{v}=\mathbf{0}.$
3. Nếu $\mathbf{v}\ne \mathbf{0}$ và $a\mathbf{v}=b\mathbf{v}$ thì $a=b$.
4. Nếu $a\ne 0$ và $a\mathbf{u}=a\mathbf{v}$ thì $\mathbf{u}=\mathbf{v}$.
5. $(-a)\cdot \mathbf{v} =a(-\mathbf{v})=-a\mathbf{v}$.

$\textbf{Chứng minh.} \ $

1. Ta có $\mathbf{0}+0\cdot \mathbf{v} \stackrel{(V3)}{=} 0\cdot \mathbf{v} = (0+0)\cdot \mathbf{v} \stackrel{(V6)}{=} 0\cdot \mathbf{v}+0\cdot \mathbf{v}$. Luật giản ước suy ra $0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}$. Tương tự, ta có $\mathbf{0}+a\cdot \mathbf{0} \stackrel{(V3)}{=}a\cdot \mathbf{0}= a\cdot (\mathbf{0}+\mathbf{0}) \stackrel{(V5)}{=} a\cdot \mathbf{0}+a\cdot \mathbf{0}$, và luật giản ước kéo theo $a\cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}$.
2.  Nếu $a\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$ nhưng $a\ne 0$, thì tồn tại $a^{-1}\in  \mathbb{K}$ và $$ \mathbf{v} \;\stackrel{(V8)}{=}\; 1\cdot \mathbf{v} \;=\; (a^{-1}a)\mathbf{v} \;\stackrel{(V7)}{=}\; a^{-1}(a\mathbf{v}) \;=\; a^{-1}\cdot \mathbf{0} \;\stackrel{(a)}{=}\; \mathbf{0}. $$
3. Từ $a\mathbf{v}=b\mathbf{v}$ và luật chuyển vế ta có $\mathbf{0} = a\mathbf{v} -b\mathbf{v} \stackrel{(V6)}{=} (a-b)\mathbf{v}$. Theo (b) ta nhận được $a-b=0$ hay $a=b$.
4. Theo luật chuyển vế và giả thiết ta có $\mathbf{0} =a\mathbf{u}-a\mathbf{v} \stackrel{(V5)}{=} a(\mathbf{u}-\mathbf{v})$. Tính chất (b) suy ra $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{0}$, do đó  $\mathbf{u}=\mathbf{v}$ theo luật chuyển vế. 
5. Ta có \begin{align*} a\mathbf{v} +(-a)\mathbf{v} &\;\stackrel{(V6)}{=}\; (a-a)\mathbf{v} =0\cdot \mathbf{v} \;\stackrel{(a)}{=}\; \mathbf{0} \;\stackrel{(V4)}{=}\; a\mathbf{v}+(-a\mathbf{v}),\\ a\mathbf{v} +a(-\mathbf{v}) &\;\stackrel{(V5)}{=}\; a(\mathbf{v}+(-\mathbf{v})) \;\stackrel{(V4)}{=}\; a\cdot \mathbf{0} \;\stackrel{(a)}{=}\; \mathbf{0} \;\stackrel{(V4)}{=}\; a\mathbf{v}+(-a\mathbf{v}). \end{align*} Theo luật giản ước ta nhận được $(-a)\mathbf{v} = -a\mathbf{v} = a(-\mathbf{v})$.

10.3. Không gian véctơ con

Ta biết rằng tập nghiệm $\mathcal{Z}$ của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ là một tập con của không gian véctơ $ \mathbb{K}^n$ và nó cùng với phép toán cộng hai véctơ và tích một véctơ với một số trong $ \mathbb{K}$ lập thành một không gian véctơ trên $ \mathbb{K}$. Khi đó ta nói $\mathcal{Z}$ là không gian con của $ \mathbb{K}^n$. Tổng quát hơn, ta có định nghĩa dưới đây của một không gian con của một không gian véctơ bất kỳ.

$\textbf{Định nghĩa 10.6.}\ $ Một tập con khác rỗng $W$ của một $ \mathbb{K}$-không gian véctơ $V$ được gọi là $\textbf{không gian con}$ của $V$ nếu $W$ cùng với phép cộng và tích với vô hướng của $V$ là một $ \mathbb{K}$-không gian véctơ.

Để kiểm tra tập con khác rỗng $W$ là một không gian con của không gian véctơ $V$, ta phải chỉ ra các phép toán trong $V$ cũng là phép toán trong $W$, tức là $\mathbf{v}+\mathbf{w}, a\mathbf{w} \in W$ với mọi $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in W$ và $a\in  \mathbb{K}$; đồng thời phải kiểm chứng các tiên đề không gian véctơ (V1)-(V8) trên $W$. Song chúng ta có thể áp dụng đặc trưng cho không gian con sau đây.

$\textbf{Mệnh đề 10.7}\ $ Cho $W$ là một tập con của không gian véctơ $V$ trên trường $\mathbb{K}.$ Các phát biểu sau là tương đương.

1. $W$ là một không gian con của $V$.
2. $W\ne \varnothing $ và $\mathbf{v}+\mathbf{w},\; a\mathbf{w} \in W$ với mọi $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in W$ và $a\in \mathbb{K}.$
3. $W\ne \varnothing$ và $a\mathbf{v}+b\mathbf{w} \in W$ với mọi $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in W$ và $a,b\in \mathbb{K}.$

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Rõ ràng chúng ta có (a)$\Rightarrow$(b) và (b)$\Rightarrow$(c). Bây giờ ta sẽ chứng minh (c)$\Rightarrow$(a). Giả sử (c) được thỏa mãn. Với mọi $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in W$, việc chọn $a=b=1$ suy ra $\mathbf{v}+\mathbf{w}\in W$, và việc chọn $a\in  \mathbb{K}$ và $b=0$ suy ra $a\mathbf{v}\in W$. Vậy các phép toán trên $V$ cảm sinh các phép toán trong $W$. Khi đó, các tiên đề không gian véctơ (V1)-(V8) được thỏa mãn một cách hiển nhiên với $W$, nên $W$ là không gian con của $V$.

$\textbf{Nhận xét 10.8.} \ $ Mọi không gian con của không gian véctơ $V$ luôn chứa véctơ không.

$\textbf{Ví dụ 10.9.} \ $

1. Với mỗi không gian véctơ $V$, bản thân $V$ và tập $\{\mathbf{0}\}$ >là những không gian con của $V$, chúng được gọi là những $\textbf{không gian con tầm thường}$ của $V$.
2. Cho $n$ là số nguyên dương. Tập con $ \mathbb{K}[x]_{\le n} = \{\, f\in  \mathbb{K}[x] \mid \deg(f)\le n\,\}$ gồm các đa thức biến $x$ có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $n$ là một không gian con của không gian véctơ $ \mathbb{K}[x]$.
3. Xét không gian véctơ $V= \mathbb{K}^3$ trên trường số $ \mathbb{K}$ và tập con $$ W = \set{\, \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ 0 \end{bmatrix}\in  \mathbb{K}^3 \mid  a_1,a_2\in \mathbb{K}\,}.$$ Khi đó $W$ là một không gian con của $ \mathbb{K}^3$. Thật vậy, dễ thấy rằng $\mathbf{0}\in W$ nên $W\ne \varnothing$. Với $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{w}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ 0 \end{bmatrix}\in W$ và $a\in  \mathbb{K}$, ta có \begin{align*}\mathbf{v}+\mathbf{w} &\;=\; \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ 0 \end{bmatrix}\in W,\\ a\mathbf{v} &\;=\; a\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} aa_1\\ aa_2\\ 0 \end{bmatrix}\in W. \end{align*} Theo Mệnh đề 10.7, $W$ là không gian con của $ \mathbb{K}^3$. Tuy nhiên, để ý rằng tập con $W'=\set{\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ 1 \end{bmatrix}\in  \mathbb{K}^3 \mid a_1,a_2\in  \mathbb{K} }$ không phải là không gian con của $ \mathbb{K}^3$, vì $W'$ không chứa véctơ không.
4. Tập hợp tất cả các ma trận đối xứng cấp $n$ là một không gian con của không gian véctơ $ \text{Mat}_n( \mathbb{K})$.
5. Tập hợp các ma trận phản xứng cấp $n$ là một không gian con của không gian véctơ $ \text{Mat}_n( \mathbb{K})$.

$\textbf{Bổ đề 10.10.} \ $ Nếu $\{W_i\}_{i\in I}$ với $I\subseteq \mathbb{N}$ là một họ các không gian con của không gian véctơ $V$ thì $W:=\bigcap_{i\in I} W_i$ cũng là một không gian con của $V$.

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Vì $\mathbf{0}$ thuộc tất cả $W_i$ nên $\mathbf{0}\in W$, do đó $W\ne \varnothing$. Nếu $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in W,$ thì $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in W_i$ với mọi $i\in I$. Điều này kéo theo $\mathbf{v}+ \mathbf{w}\in W_i$ với mọi $i\in I$, thế nên $\mathbf{v}+ \mathbf{w}\in W$. Tương tự, ta cũng nhận được $a\mathbf{v}\in W$ với mọi $\mathbf{v}\in W$ và $a\in  \mathbb{K}$.

$\textbf{Ví dụ 10.11.} \ $ Nếu $V= \mathbb{K}[x]$ và $W_i:=  \mathbb{K}[x]_{\le i}$ là không gian con gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng $i$ của $V$, thì ta có $$ \bigcap_{i\in \mathbb{N}} W_i = W_0 =  \mathbb{K}. $$

$\textbf{Nhận xét 10.12.} \ $ Trong trường hợp tổng quát, hợp của hai không gian con có thể không phải là không gian véctơ con. Chẳng hạn, xét các không gian con $W_1 =  \set{\begin{bmatrix} a\\ 0\end{bmatrix}\in  \mathbb{K}^2 \mid a\in  \mathbb{K}}$ và $W_2 = \set{\begin{bmatrix} 0\\ b\end{bmatrix}\in  \mathbb{K}^2 \mid\, b\in  \mathbb{K}}$ của $ \mathbb{K}^2$. Khi đó $$W_1\cup W_2 \;=\; \set{ \begin{bmatrix} a\\ 0\end{bmatrix}\in  \mathbb{K}^2 \mid a\in \mathbb{K}}\cup \set{\begin{bmatrix} 0\\ b\end{bmatrix}\in  \mathbb{K}^2 \mid b\in  \mathbb{K}} $$ không phải là không gian con của $ \mathbb{K}^2$, vì $\begin{bmatrix} 1\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}\notin W_1\cup W_2$ với $\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}\in W_1\cup W_2.$

Nếu $W,W'$ là hai không gian con của không gian véctơ $V$ sao cho $W\cup W'$ cũng là không gian con của $V$, thì ta có $W\subseteq W'$ hoặc $W'\subseteq W$.

10.4. Không gian thương

Cho $W$ là không gian con của không gian véctơ $V$ trên trường số $ \mathbb{K}$. Ta định nghĩa một quan hệ $\sim$ trên $V$ bởi $$ \mathbf{u}\sim \mathbf{v} \;\Leftrightarrow\; \mathbf{v}-\mathbf{u}\in W. $$ Khi đó, quan hệ $\sim$ có các tính chất dưới đây, với $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V$:

1. Phản xạ: $\mathbf{u}\sim \mathbf{u}$, do $\mathbf{u}-\mathbf{u}=\mathbf{0}\in W$.
2. Đối xứng: nếu $\mathbf{u} \sim \mathbf{v}$ thì $\mathbf{v}-\mathbf{u}\in W$, và kéo theo $\mathbf{u}-\mathbf{v}\in W$. Do đó $\mathbf{v}\sim \mathbf{u}$.
3. Bắc cầu: nếu $\mathbf{u}\sim \mathbf{v}$ và $\mathbf{v}\sim \mathbf{w}$ thì $\mathbf{v}-\mathbf{u}\in W$ và $\mathbf{w}-\mathbf{v}\in W$. Suy ra $\mathbf{w}-\mathbf{u}=(\mathbf{w}-\mathbf{v})+ (\mathbf{v}-\mathbf{u})\in W$, và vì vậy $\mathbf{u}\sim \mathbf{w}$.

Thế nên $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $V$. Lớp tương đương của $\mathbf{v}\in V$ theo quan hệ $\sim$, được ký hiệu $\mathbf{v} +W$, là tập hợp $$ \mathbf{v} +W\;=\; \{\, \mathbf{u}\in V \mid \mathbf{v}-\mathbf{u}\in W \,\} \;=\; \{\, \mathbf{v}+\mathbf{w}\in V \mid \mathbf{w}\in W \,\}. $$ Theo Bổ đề 1.24, với mọi $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$ các lớp tương đương $\mathbf{u}+W$ và $\mathbf{v}+W$ hoặc bằng nhau hoặc rời nhau. Tập thương của $V$ theo quan hệ $\sim$ là $$ V/W \;:=\; \set{ \mathbf{v}+W \mid  \mathbf{v}\in V}.$$ Trên $V/W$ ta định nghĩa phép cộng và tích với vô hướng bởi: \begin{align*} (\mathbf{u}+W)+(\mathbf{v}+W) &\;=\; (\mathbf{u}+\mathbf{v})+W\\ a(\mathbf{u}+W) &\;=\; (a\mathbf{u})+W \end{align*} với mọi $\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$ và $a\in  \mathbb{K}$. Như một phần trong chứng minh của mệnh đề dưới đây, chúng ta sẽ chỉ ra rằng định nghĩa các phép toán trên là hoàn toàn hợp lý.

$\textbf{Mệnh đề 10.13.} \ $ Giả sử $W$ là một không gian con của $V$. Khi đó $V/W$ cùng với phép cộng và tích với vô hướng trên là một không gian véctơ trên trường $ \mathbb{K}$.

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Trước hết ta chứng minh rằng phép cộng và tích với vô hướng được định nghĩa tốt, tức chúng không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương. Giả sử $\mathbf{u}+W=\hat{\mathbf{u}}+W$ và $\mathbf{v}+W=\hat{\mathbf{v}}+W$ với $\mathbf{u}, \hat{\mathbf{u}}, \mathbf{v}, \hat{\mathbf{v}}\in V$ và $a\in  \mathbb{K}$. Ta cần chỉ ra rằng $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+W=(\hat{\mathbf{u}}+\hat{\mathbf{v}})+W$ và $(a\mathbf{v})+W=(a\hat{\mathbf{v}})+W$. Từ định nghĩa, ta có $\mathbf{u}-\hat{\mathbf{u}} \in W$ và $\mathbf{v}-\hat{\mathbf{v}}\in W$, điều này kéo theo $$ (\mathbf{u}+\mathbf{v})-(\hat{\mathbf{u}}+\hat{\mathbf{v}}) = (\mathbf{u}-\hat{\mathbf{u}})+(\mathbf{v}-\hat{\mathbf{v}}) \in W. $$ Do đó $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+W=(\hat{\mathbf{u}}+\hat{\mathbf{v}})+W$. Mặt khác, vì $W$ là không gian con của $V$ nên $a(\mathbf{v}-\hat{\mathbf{v}})\in W$, suy ra $a\mathbf{v} - a\hat{\mathbf{v}}\in W$. Thế nên $(a\mathbf{v})+W=(a\hat{\mathbf{v}})+W$. Bây giờ phép cộng và tích với vô hướng trên $V/W$ đã được định nghĩa tốt, ta dễ dàng kiểm tra rằng $V/W$ cùng với hai phép toán này thỏa mãn các tiên đề không gian véctơ (V1)-(V8) trong Định nghĩa 10.2. Để ý rằng véctơ không của $V/W$ là $\mathbf{0}+W$ ($=W$) và véctơ đối của $\mathbf{v}+W$ là $(-\mathbf{v})+W$.

$\textbf{Định nghĩa 10.14.} \ $ Không gian véctơ $V/W$ được gọi là $\textbf{không gian thương}$ của $V$ bởi $W$.

$\textbf{Ví dụ 10.15.} \ $ Cho $V= \mathbb{R}^2$ và không gian con $$ W =\set{\begin{bmatrix} a\\ a\end{bmatrix}\in  \mathbb{R}^2 \mid a\in  \mathbb{R} } \subseteq V. $$ Trong mặt phẳng $ \mathbb{R}^2$, $W$ là đường thẳng qua gốc tọa độ với độ nghiêng 1. Khi đó do véctơ $\begin{bmatrix} a\\ a\end{bmatrix}\in W$ nên $$ \begin{bmatrix} 4\\ 2\end{bmatrix}+W=\begin{bmatrix} 4+a\\ 2+a\end{bmatrix}+W. $$ Vậy, lớp tương đương của $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 4\\ 2\end{bmatrix}$ là $$ \mathbf{v}+W = \set{ \begin{bmatrix} 4+a\\ 2+a\end{bmatrix} \in  \mathbb{R}^2 \mid a\in  \mathbb{R}} $$ và nó là đường thẳng song song với đường thẳng qua điểm $\begin{bmatrix} 4\\ 2\end{bmatrix}$ có độ nghiêng 1. Do đó, không gian thương $V/ W$ là tập tất cả các đường thẳng trong $ \mathbb{R}^2$ có độ nghiêng 1.

$\textbf{Ví dụ 10.16.} \ $ Trong $ \mathbb{R}^3$ xét không gian con $$ W =\set{ \begin{bmatrix} a\\ b\\0 \end{bmatrix}\in \mathbb{R}^3 \mid a,b\in \mathbb{R} }. $$ Khi đó $W$ là một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong không gian $ \mathbb{R}^3$. Với mỗi phần tử $\mathbf{v}= \begin{bmatrix} a\\ b\\c \end{bmatrix}\in \mathbb{ \mathbb{R}}^3,$ lớp tương đương $\mathbf{v}+W$ là $$ \begin{aligned} \mathbf{v}+W&= \begin{bmatrix} a\\ b\\c \end{bmatrix}+W=\left(\begin{bmatrix} 0\\ 0\\c \end{bmatrix}+W\right)+\left(\begin{bmatrix} a\\ b\\0 \end{bmatrix}+W\right)\\ &=\left(\begin{bmatrix} 0\\ 0\\c \end{bmatrix}+W\right)+\left(\begin{bmatrix} 0\\ 0\\0 \end{bmatrix}+W\right)=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\c \end{bmatrix}+W. \end{aligned} $$ Vậy mỗi phần tử $\mathbf{v}+W$ cũng là một mặt phẳng qua $\mathbf{v}$ song song với $W$. Vậy nên không gian thương $ \mathbb{R}^3/ W$ là tập tất cả các mặt phẳng trong $ \mathbb{R}^3$ song song với $W$.

$\textbf{Nhận xét 10.17.} \ $ Cho $W$ là một không gian con của không gian véctơ $V$. Khi đó, ánh xạ $\pi: V\rightarrow V/W$ xác định bởi $\pi(\mathbf{v})=\mathbf{v}+W$ với $\mathbf{v}\in V$ là một toàn cấu với $\pi^{-1}(\mathbf{0}+W)=W$. Ánh xạ $\pi$ được gọi là \textbf{phép chiếu chính tắc} từ $V$ lên không gian thương $V/W$.

Sử dụng Maple

Trong phần này chúng ta sẽ thực hiện tính toán với các véctơ trên $\texttt{Maple}$. Cụ thể, trong $\texttt{Maple}$, các véctơ được tạo bởi một trong các lệnh: $\texttt{Vector},$ $\texttt{Vector[row](...)},$ $\texttt{Vector[column](...)}$, hay $\texttt{<...>}$. Chẳng hạn, các lệnh

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector(3);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector(1..3, 2);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector[row]([1,2,3]);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector[column]([1,2,3]);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector(3,[1, x, x^2]);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector(3, symbol = v);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> <a, b, c>;}$

đưa ra kết quả với các véctơ tương ứng là $$ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 2\\ 2\\2 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1& 2& 3\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1\\ 2\\3 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1\\ x\\x^2 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\v_3 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} a\\ b\\c \end{bmatrix}. $$ Ta có thể tạo véctơ bằng cách dùng hàm để xác định giá trị của nó: 

$\hspace{0cm}\texttt{> f := j -> x^(j+1): Vector[row](5, f);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ [x^2, x^3, x^4, x^5, x^6]}$

hoặc bằng cách dùng tập hợp để chỉ định các phần tử tại mỗi ví trí của véctơ:

$\hspace{0cm}\texttt{> S :={1=x^2, 2=x^3, 3=x^4, 4=x^5, 5=x^6}: Vector[row](5,S);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ [x^2, x^3, x^4, x^5, x^6]}$

Ví dụ về thực hiện các phép toán trên véctơ như

$\hspace{0cm}\texttt{> Vector([1,2,3]) + Vector(3, symbol = v);}$

$\hspace{0cm}\texttt{> 5.Vector(3,[1, x, x^2]);}$

với kết quả lần lượt là $$ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\v_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1+v_1\\ 1+v_2\\1+v_3 \end{bmatrix},\quad 5\cdot \begin{bmatrix} 1\\ x\\x^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 5x\\5x^2 \end{bmatrix}. $$ Các không gian véctơ khác trên trường $ \mathbb{K}$ có cách biểu diễn véctơ riêng tùy theo cấu trúc của không gian đó, chẳng hạn trong các không gian véctơ $ \mathbb{K}[x]$ hay $ \mathbb{K}[x]_{\le d}$ với $d\ge 0$ thì các véctơ của chúng là các đa thức với biến $x$ trên $ \mathbb{K}$ với biểu diễn thông thường, trong khi trong không gian véctơ $ \text{Mat}_{m,n}( \mathbb{K})$ các véctơ chính là các ma trận. Vì vậy việc tính toán về các véctơ, không gian con và không gian thương trong $\texttt{Maple}$ tùy theo cấu trúc của không gian véctơ đang xét trên trường $ \mathbb{K}$.