Trong mục này, ta luôn giả sử $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$.
11.1 Tổ hợp tuyến tính
- Một véctơ $\mathbf{v}\in V$ được gọi là một $\textbf{tổ hợp tuyến tính}$ của hệ véctơ $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$ (hay $\mathbf{v}$ được $\textbf{biểu thị tuyến tính}$ qua hệ véctơ $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$) nếu $\mathbf{v}$ có thể viết dưới dạng $$ \mathbf{v} \;=\; a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\cdots+a_n\mathbf{v}_n $$ trong đó $a_1,\dots,a_n \in \mathbb{K}$.
- Một hệ véctơ $\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_m\}\subseteq V$, $m\ge 1$, gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$ nếu mỗi véctơ $\mathbf{u}_i$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$ với $i=1,\dots,m$.
Tổng quát hơn, mọi véctơ (đa thức) $f(x)\in \mathbb{K}[x]$ đều là một tổ hợp tuyến tính của $\set{1,x,x^2,x^3,\dots}$, vì $f(x)$ là một biểu thức có dạng $f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ với $n\ge 0$ nào đó và $a_0,\dots, a_n\in \mathbb{K}$.
$\textbf{Nhận xét 11.5.}\ $
- Sự biểu thị tuyến tính của một véctơ qua một hệ véctơ không nhất thiết là duy nhất. Chẳng hạn, trong $\mathbb{K}^2$ xét hệ véctơ $$ \set{\mathbf{v}_1=\!\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{v}_3=\!\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}}. $$ Khi đó véctơ không $\mathbf{0}$ có hai cách biểu thị tuyến tính qua hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3}$ là $$ \mathbf{0} \;=\; 0\cdot\mathbf{v}_1 +0\cdot\mathbf{v}_2 +0\cdot\mathbf{v}_3 \;=\; 1\cdot\mathbf{v}_1 +1\cdot\mathbf{v}_2 +(-1)\cdot\mathbf{v}_3. $$
- Nếu hệ véctơ $\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m\}$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ và hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\set{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_r}$ thì $\set{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m}$ cũng biểu thị tuyến tính được qua $\set{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_r}$. Thật vậy, do hệ véctơ $\set{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m}$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ nên với mỗi $i$ tồn $a_{i1}, a_{i2},\dots, a_{in}\in K$ sao cho $\mathbf{u}_i=\sum_{j=1}^na_{ij}\mathbf{v}_j.$ Hơn thế, hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\set{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_r}$, nên với mỗi $j$ tồn tại $b_{j1}, b_{j2},\dots, b_{jr}\in K$ sao cho $\mathbf{v}_j=\sum_{t=1}^rb_{jt}\mathbf{w}_t.$ Vậy, ta có một biểu thị tuyến tính của véctơ $\mathbf{u}_i$ qua các véctơ $\set{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_r}$ là $$ \begin{aligned} \mathbf{u}_i&=\sum_{j=1}^na_{ij}\mathbf{v}_j=\sum_{j=1}^na_{ij}(\sum_{t=1}^rb_{jt}\mathbf{w}_t)\\ &=\sum_{t=1}^r(\sum_{j=1}^na_{ij}.b_{jt})\mathbf{w}_t. \end{aligned}$$
- Nếu $S=\set{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3,\dots }$ là một hệ vô hạn véctơ của không gian véctơ $V$, thì véctơ $\mathbf{v}\in V$ là một tổ hợp tuyến tính của hệ véctơ trên khi tồn tại hữu hạn $\mathbf{v}_{i_1},\dots, \mathbf{v}_{i_n}\in S$ và $a_1,\dots,a_n\in \mathbb{K}$ sao cho $\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_{i_1}+\cdots+a_n\mathbf{v}_{i_n}$.
11.2 Hệ véctơ độc lập tuyến tính
Trong $V$, cho hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ và véctơ $\mathbf{v}\in V$ có biểu thị tuyến tính dạng $$ \mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n \quad (11.1)$$ với $a_1,\dots,a_n\in \mathbb{K}$. Câu hỏi tự nhiên là khi nào biểu thị tuyến tính (11.1) của $\mathbf{v}$ duy nhất? Giả sử $c_1,\dots, c_n\in \mathbb{K}$ thỏa mãn $$ \mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n. $$ Lấy hiệu của hai biểu thị tuyến tính của $\mathbf{v}$, ta nhận được $$ \mathbf{0} = (a_1-c_1)\mathbf{v}_1+\cdots+(a_n-c_n)\mathbf{v}_n.$$ Nếu véctơ không $\mathbf{0}$ chỉ có biểu thị tuyến tính tầm thường thì $a_i-c_i=0$ (hay $a_i=c_i$) với mọi $i=1,\dots,n$, kéo theo rằng biểu thị tuyến tính (11.1) của $\mathbf{v}$ thật sự là duy nhất. Điều này là quan trọng và đưa tới định nghĩa dưới đây.
- Hệ chỉ gồm một véctơ khác không $\set{\mathbf{v}}$ luôn là độc lập tuyến tính vì nếu $a\mathbf{v}=\mathbf{0}$ với $a\in \mathbb{K}$ thì $a=0$ theo Mệnh đề 10.5.2
- Trong $\mathbb{K}^3$, hệ véctơ $$\mathcal{E} =\set{\mathbf{e}_1 =\begin{bmatrix} 1\\0\\ 0 \end{bmatrix},\; \mathbf{e}_2 =\begin{bmatrix} 0\\1\\ 0 \end{bmatrix},\; \mathbf{e}_3 =\begin{bmatrix} 0\\0\\ 1 \end{bmatrix}}$$ là độc lập tuyến tính.
- Hệ véctơ $\set{1,x,x^2,\dots,x^n}$ với $n\ge0$ trong $\mathbb{K}[x]$ là độc lập tuyến tính.
Từ lập luận trước Định nghĩa 11.6 ta có nhận xét sau.
$\textbf{Nhận xét 11.8.}\ $
- Cho hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n}$ độc lập tuyến tính trong $V$ và $\mathbf{v}\in V$. Khi đó, $\mathbf{v}$ không có quá một cách biểu thị tuyến tính qua hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n}$; nếu có thì cách biểu diễn đó là duy nhất.
- Cho $U$ là không gian con của $V$. Khi đó mọi hệ véctơ độc lập tuyến tính trong $U$ cũng là hệ độc lập tuyến tính trong $V$.
- Hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix} 2\\2 \end{bmatrix}}$ trong $\mathbb{K}^2$ là phụ thuộc tuyến tính vì tồn tại $a_1=2$ và $a_2=-1$ sao cho $a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2=2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2=\mathbf{0}$.
- Hệ gồm hai véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$ trong $V$ là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu $\mathbf{v}_1 = a\mathbf{v}_2$ hoặc $\mathbf{v}_2=a\mathbf{v}_1$ với $a\in \mathbb{K}$ nào đó.
- Mọi hệ véctơ chứa véctơ không đều phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, xét hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m}$ trong $V$ với $\mathbf{v}_m=\mathbf{0}$. Chọn $a_1=\cdots=a_{m-1}=0$ và $a_m=1$ suy ra $$ 0\cdot \mathbf{v}_1+\cdots+0\cdot\mathbf{v}_{m-1}+1\cdot\mathbf{0} =\mathbf{0}.$$ Điều này chứng tỏ hệ véctơ trên là phụ thuộc tuyến tính.
- Xét hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1=1, \mathbf{v}_2=-x, \mathbf{v}_3=x^2, \mathbf{v}_4=x-2x^2}$ trong $\mathbb{K}[x]$. Để kiểm tra hệ véctơ này là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, ta giả sử $a_1, a_2, a_3, a_4\in \mathbb{K}$ sao cho $$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+a_3\mathbf{v}_3+ a_4\mathbf{v}_4=\mathbf{0}.$$ Điều này suy ra $$ a_1-a_2x+a_3x^2+a_4(x-2x^2)=0. $$ Cân bằng hệ số, ta được hệ phương trình $$ \begin{cases} a_1&=0\\ -a_2+a_4&=0\\ a_3-2a_4&=0.\end{cases} $$ Với $a_4=1$, ta có $a_1=0, a_2=1, a_3=2$ và biểu thị tuyến tính không tầm thường của véctơ $\mathbf{0}$ dạng $$ 0\cdot\mathbf{v}_1+1\cdot \mathbf{v}_2+2\cdot\mathbf{v}_3+1\cdot \mathbf{v}_4 =\mathbf{0}. $$ Vậy hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4}$ là phụ thuộc tuyến tính.
$\textbf{Nhận xét 11.11.}\ $ Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n}$ trong không gian véctơ $\mathbb{K}^m$, ta đi đến việc tìm các hệ số $a_1, \dots, a_n\in\mathbb{K}$ sao cho $a_1\mathbf{v}_1+\dots+a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}$, hay $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, trong đó $A=[\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n]\in\text{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ là ma trận có cột thứ $i$ là véctơ $\mathbf{v}_i$ với $i=1,\dots,n$ và $\mathbf{x}=[a_1,\cdots,a_n]^\text{T}$. Khi đó, theo Nhận xét 7.10 hệ véctơ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường. Điều này chỉ xảy ra khi $\text{rk}(A)=n$. Ngược lại, nếu hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có nghiệm không tầm thường hay tương đương là $\text{rk}(A)<n$ thì hệ véctơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính.
Đặc biệt, hệ véctơ $$ \mathcal{E} \;=\; \set{\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix} 1\\0\\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix}, \mathbf{e}_2=\begin{bmatrix} 0\\1\\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix},\dots \mathbf{e}_n=\begin{bmatrix} 0\\0\\ \vdots \\ 1\\ \end{bmatrix}} $$ trong $\mathbb{K}^n$ là độc lập tuyến tính, vì $A=I_n$ và $\text{rk}(A)=\text{rk}(I_n)=n$.
11.3 Một số tính chất
Tính chất sau đây là hệ quả trực tiếp của các định nghĩa.- Một hệ con của một hệ véctơ độc lập tuyến tính cũng là độc lập tuyến tính.
- Một hệ véctơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính.
$\textbf{Chứng minh.}\ $
- Xét $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ là hệ độc lập tuyến tính và $\set{\mathbf{v}_{i_1},\dots,\mathbf{v}_{i_m}}$, $m\le n$, là một hệ con của $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$. Bằng cách sắp xếp lại bộ thứ tự, ta có thể xem hệ con này là $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m}$. Giả sử có $a_1,\dots,a_m\in \mathbb{K}$ sao cho $$ a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\cdots+ a_m\mathbf{v}_m=\mathbf{0}.$$ Khi đó $$ \mathbf{0} \;=\; a_1\mathbf{v}_1+\cdots+ a_m\mathbf{v}_m \;=\; a_1\mathbf{v}_1+\cdots+ a_m\mathbf{v}_m +0\cdot \mathbf{v}_{m+1}+\cdots+0\cdot\mathbf{v}_n.$$ Theo giả thiết, hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ là độc lập tuyến tính nên $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$, do đó hệ con $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m}$ là độc lập tuyến tính.
- Giả sử $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ là phụ thuộc tuyến tính và $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n,\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m}$ là một hệ véctơ chứa $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$. Theo giả thiết, hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n}$ là phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại $a_1,\dots,a_n\in \mathbb{K}$ không đồng thời bằng 0 sao cho $$a_1\mathbf{v}_1+\cdots+ a_n\mathbf{v}_n \;=\; \mathbf{0}.$$ Suy ra $$a_1\mathbf{v}_1+\cdots+ a_n\mathbf{v}_n+0\cdot\mathbf{u}_1+\cdots+0\cdot\mathbf{u}_m\;=\;\mathbf{0}.$$ Vậy hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n,\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m}$ là phụ thuộc tuyến tính. Để ý rằng từ tính chất (1) dùng phản chứng ta có thể suy ra ngay tính chất (2).
$\textbf{Chứng minh.}\ $ Hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n}$ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi véctơ $\mathbf{0}$ có biểu thị tuyến tính không tầm thường $$a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\cdots+a_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}.$$ Giả sử rằng $a_i\ne 0$ với $i\in\{1,\dots,n\}$. Khi đó $\mathbf{v}_i=-\sum_{j\ne i}\frac{a_j}{a_i}\mathbf{v}_j$ được biểu thị tuyến tính qua các véctơ còn lại của hệ.
Đảo lại, nếu hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n}$ có véctơ $\mathbf{v}_i $ được biểu thị tuyến tính qua các véctơ còn lại, tức là $\mathbf{v}_i=\sum_{j\ne i}a_j\mathbf{v}_j.$ Khi đó véctơ $\mathbf{0}$ có biểu thị tuyến tính không tầm thường $\mathbf{0}=\mathbf{v}_i-\sum_{j\ne i}a_j\mathbf{v}_j$. Do đó hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n}$ là phụ thuộc tuyến tính.
Nhận thấy rằng $\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4=\mathbf{0}$. Do đó, hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4}$ là phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề 11.15 suy ra rằng $\set{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4}$ là phụ thuộc tuyến tính.
$\textbf{Nhận xét 11.17.}\ $ Một hệ vô hạn véctơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mọi hệ con hữu hạn véctơ của nó là độc lập tuyến tính. Hệ vô hạn véctơ là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính, như thế các tính chất trên cũng đúng với hệ vô hạn véctơ.
11.4. Đa thức nội suy
Trong phần này chúng ta áp dụng của lý thuyết về véctơ và ma trận để xem xét bài toán đa thức nội suy. Ví dụ sau là một minh họa đơn giản về đa thức nội suy.
Hãy tìm đa thức bậc hai $p(x)$ sao cho đồ thị của nó đi qua các điểm $(1,2)$, $(2,3)$, và $(3,6)$ trong mặt phẳng $Oxy$ và tính $p(\frac{3}{2})$.
Đa thức bậc hai $p(x)$ có dạng $p(x)=a+bx+cx^2$ với $a, b, c\in \mathbb{K}$. Vấn đề đưa đến là xác định các hằng số $a, b, c$ sao cho $$p(1)=2,\quad p(2)=3,\quad p(3)=6. $$ Điều này tương đương với việc giải hệ phương trình tuyến tính $$\begin{cases} a+b+c &=2\\ a+2b+4c &=3\\ a+3b+9c &=6. \end{cases}$$ Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất là $a=3$, $b=-2$ và $c=1$. Do vậy, $p(x)=3-2x+x^2$ là đa thức bậc hai duy nhất thỏa mãn bài toán và $p(\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$.| $x$ | $ t_0$ | $ t_1$ | $ t_2$ | $ \dots$ | $ t_n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $ y_0$ | $ y_1$ | $ y_2$ | $ \dots$ | $ y_n$ |
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3$ | $0$ | $ -1$ | $ 6$ |
Comments
Post a Comment