Bài 12: CƠ SỞ VÀ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Như mục trước, $V$ luôn là một không gian véctơ khác không trên trường số $\mathbb{K}$.

12.1. Hệ sinh của không gian véctơ

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.1.}}$ Cho $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một hệ véctơ trong $V$. Tập hợp $$⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}:=\{a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}\}$$ được gọi là $\mathbf{\text{không gian sinh}}$ bởi hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$. Ta quy ước $⟨\varnothing {⟩}_{\mathbb{K}}:=\{\mathbf{0}\}$.

Để ý rằng $⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$ là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của hệ ${\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}}_{\mathbb{K}}$ và nó còn được ký hiệu là $\text{spaning}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$.

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.2.}}$ Trong không gian véctơ ${\mathbb{R}}^3$, xét các véctơ $$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right],\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right].$$ Không gian sinh $⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2{⟩}_{\mathbb{R}}$. Ta có $\mathbf{u}\in ⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2{⟩}_{\mathbb{R}}$, do $\mathbf{u}=5{\mathbf{v}}_1+2{\mathbf{v}}_2$. Trong khi đó $\mathbf{v}\notin ⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2{⟩}_{\mathbb{R}}$, bởi vì $\mathbf{v}$ không là một tổ hợp tuyến tính của $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$. Thật vậy, giả sử $\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2$ với $a_1,a_2\in \mathbb{R}$.

Ta có hệ phương trình $$a_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+a_2\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right],$$ suy ra $2=a_1-a_2=3$, mâu thuẫn. Vậy, không tồn tại $a_1,a_2\in \mathbb{R}$ sao cho $\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2$.

$\mathbf{\text{Mệnh đề 12.3.}}$ $⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$ là không gian con nhỏ nhất của $V$ chứa $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Trước hết ta chỉ ra rằng $W:=⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$ là không gian con của $V$. Rõ ràng $\mathbf{0}=0\cdot {\mathbf{v}}_1+\cdots +0\cdot {\mathbf{v}}_n\in W$, do đó $W\ne \varnothing$. Gọi $\lambda \in \mathbb{K}$, $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W$, và viết $\mathbf{u}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$ và $\mathbf{v}=b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{v}}_n$ với $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in \mathbb{K}$. Khi đó $$\begin{array}{rl}\mathbf{u}+\mathbf{v}& =(a_1+b_1){\mathbf{v}}_1+\cdots +(a_n+b_n){\mathbf{v}}_n\in W,\\ \lambda \cdot \mathbf{u}& =(\lambda a_1){\mathbf{v}}_1+\cdots +(\lambda a_n){\mathbf{v}}_n\in W.\end{array}$$ Theo Mệnh đề 10.7, $W$ là không gian con của $V$. Hơn nữa, ${\mathbf{v}}_i=1\cdot {\mathbf{v}}_i\in W$ với $i=1,\dots ,n$.

Tiếp theo ta chứng minh tính nhỏ nhất của $W$. Giả sử $U$ là không gian con của $V$ chứa hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$. Vì $U$ là không gian con của $V$ nên với mọi $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$ ta có $a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n\in U$. Vì thế $W\subseteq U$. Vậy $W$ là không gian con nhỏ nhất chứa hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$.

$\mathbf{\text{Hệ quả 12.4.}}$ Cho $\{{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\}$, $\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là hai hệ véctơ trong không gian véctơ $V$. Nếu ${\mathbf{u}}_i\in ⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$ với mọi $i=1,\dots ,m$ thì $⟨{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}\subseteq ⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}.$

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ $⟨{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}$ là không gian con nhỏ nhất chứa $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m\}$ theo Mệnh đề 12.3. Vì $⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$ cũng chứa hệ véctơ $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m\}$ nên ta nhận được $⟨{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}\subseteq ⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$.

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.5.}}$ Nếu $⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}=V$, ta nói rằng hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một $\mathbf{\text{hệ sinh}}$ của $V$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.6.}}$ Trong không gian ${\mathbb{K}}^3$, hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}$ là một hệ sinh của $V={\mathbb{K}}^3$. Thật vậy, với $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\in V$ bất kỳ tồn tại ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in \mathbb{K}$ sao cho: $${\lambda }_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+{\lambda }_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]+{\lambda }_3\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\iff \{\begin{array}{ll}{\lambda }_1& =a_1\\ {\lambda }_2& =a_2\\ {\lambda }_3& =a_3-a_1-a_2.\end{array}$$ Suy ra $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+(a_3-a_1-a_2){\mathbf{v}}_3\in ⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3{⟩}_{\mathbb{K}}.$$ Do đó, $V=⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3{⟩}_{\mathbb{K}}$ hay hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$ là một hệ sinh của $V$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.7.}}$

1. Hệ véctơ $$\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1=[1,0,\dots ,0{]}^T,{\mathbf{e}}_2=[0,1,\dots ,0{]}^T,\dots ,{\mathbf{e}}_n=[0,0,\dots ,1{]}^T\}$$ là một hệ sinh của không gian véctơ ${\mathbb{K}}^n$.
2. Không gian véctơ $\mathbb{K}[x{]}_{\le n}$ gồm các đa thức một biến $x$ có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $n$ có một hệ sinh là $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$.

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.8.}}$ Không gian véctơ $V$ được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử. Một không gian véctơ không hữu hạn sinh được gọi là $\mathbf{\text{vô hạn sinh}}$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.9.}}$

1. Theo Ví dụ 12.7, các không gian véctơ ${\mathbb{K}}^n$, $\mathbb{K}[x{]}_{\le n}$ là các không gian hữu hạn sinh.
2. Không gian ${\text{Mat}}_{m,n}(\mathbb{K})$ gồm các ma trận cấp $m\times n$ là không gian hữu hạn sinh. Thật vậy, ${\text{Mat}}_{m,n}(\mathbb{K})$ có một hệ sinh hữu hạn gồm các ma trận $E_{ij}$, với hệ số $e_{ij}=1$ còn lại bằng $0$.
3. Không gian véctơ $\mathbb{K}[x]$ gồm các đa thức một biến $x$ trên trường số $\mathbb{K}$ là không gian vô hạn sinh.  Thật vậy, giả sử $\mathbb{K}[x]$ có một hệ sinh gồm hữu hạn đa thức $f_1,\dots ,f_k$. Đặt $$m:=max\{\mathrm{deg}(f_i)\mid i=1,\dots ,k\}.$$ Khi đó, ta thấy $x^{m+1}\notin ⟨f_1,\dots ,f_n{⟩}_{\mathbb{K}}$, mâu thuẫn.

$\mathbf{\text{Nhận xét 12.10.}}$ Cho $I$ là một tập chỉ số bất kỳ và $S=\{{\mathbf{v}}_i\mid i\in I\}$ là một hệ véctơ trong không gian véctơ $V$. Tương tự như Mệnh đề 12.3, tập hợp $$⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}=\{\sum _{k=1}^n{a}_k{\mathbf{v}}_{i_k}\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K},\{i_1,\dots ,i_n\}\subseteq I,n\in \mathbb{N}\}$$ là không gian con nhỏ nhất của $V$ chứa $S$ và cũng được gọi là không gian sinh bởi hệ $S$. Trường hợp $V=⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}$, ta nói $S$ là một $\mathbf{\text{hệ sinh}}$ của $V$.

Theo nhận xét trên, một hệ sinh tầm thường của không gian véctơ $V$ là chính nó.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.11.}}$ Đối với không gian véctơ $\mathbb{K}[x]$, hệ véctơ $S=\{1,x,x^2,x^3,\dots ,x^n,\dots \}$ là một hệ sinh của $\mathbb{K}[x]$, vì mọi véctơ (đa thức) $f$ trong $\mathbb{K}[x]$ là một tổng hữu hạn dạng $f=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ với $a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$, do đó $f\in ⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}$.

12.2 Cơ sở của không gian véctơ

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.12.}}$ Một hệ véctơ $B$ trong không gian véctơ $V$ được gọi là một $\mathbf{\text{cơ sở}}$ của $V$ nếu $B$ là một hệ sinh độc lập tuyến tính của $V$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.13.}}$ Trong không gian véctơ ${\mathbb{R}}^2$, hệ véctơ $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\}$ là một cơ sở của ${\mathbb{R}}^2.$ Bên cạnh đó, hệ véctơ $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]\}$ là một hệ sinh của ${\mathbb{R}}^2$, nhưng không phải là một cơ sở của ${\mathbb{R}}^2$ bởi vì nó không độc lập tuyến tính.

$\mathbf{\text{Nhận xét 12.14.}}$ Để ý rằng không gian véctơ không có cơ sở là $\varnothing$. Một cơ sở của không gian véctơ $V$ luôn là một hệ sinh, tuy nhiên một hệ sinh không hẳn là một cơ sở. Hơn nữa, $V$ có thể có nhiều cơ sở khác nhau. Chẳng hạn, $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\}$ và $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\}$ là các cơ sở của $V={\mathbb{K}}^2$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.15.}}$

1. Hệ véctơ $$\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1=[1,0,\dots ,0{]}^T,{\mathbf{e}}_2=[0,1,\dots ,0{]}^T,\dots ,{\mathbf{e}}_n=[0,0,\dots ,1{]}^T\}$$ là một cơ sở của không gian véctơ ${\mathbb{K}}^n$ và được gọi là $\mathbf{\text{cơsở chính tắc}}$ của ${\mathbb{K}}^n$.
2. Hệ véctơ $\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $$W=\{\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\in {\mathbb{K}}^3\mid a+b+c=0\}.$$ Rõ ràng hệ véctơ trên là độc lập tuyến tính. Đồng thời nó cũng là hệ sinh của $W$, vì với $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\in W$ ta có $a=-b-c$, do đó $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=-b\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]-c\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$.
3. Hệ véctơ gồm các đơn thức $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$  là một cơ sở của $\mathbb{K}[x{]}_{\le n}$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.16.}}$ Trong ${\mathbb{R}}^3$, hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right]\}$ là một cơ sở của không gian ${\mathbb{R}}^3$. Thật vậy, xét $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^3$ bất kỳ và giả sử có ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in \mathbb{R}$ sao cho ${\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2+{\lambda }_3{\mathbf{v}}_3=\mathbf{v}$. Ta có hệ phương trình theo các biến ${\lambda }_i$ ($i=1,2,3$): $$\{\begin{array}{ll}{\lambda }_1-{\lambda }_2& =a\\ -2{\lambda }_1+2{\lambda }_2+2{\lambda }_3& =b\\ 3{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3& =c.\end{array}$$ Biến đổi ma trận mở rộng $\bar{A}=[A,\mathbf{b}]$ của hệ về dạng bậc thang rút gọn: $$\begin{array}{rl}[A,\mathbf{b}]& =\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 0& a\\ -2& 2& 2& b\\ 3& 1& 1& c\end{array}\right]\underset{d_3-3d_1}{\overset{d_2+2d_1}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 0& a\\ 0& 0& 2& 2a+b\\ 0& 4& 1& -3a+c\end{array}\right]\\ & \underset{\frac{1}{2}{d}_3}{\overset{d_2\leftrightarrow d_3}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 0& a\\ 0& 4& 1& -3a+c\\ 0& 0& 1& a+\frac{b}{2}\end{array}\right]\underset{\frac{1}{4}{d}_2}{\overset{d_2-d_3}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 0& a\\ 0& 1& 0& -a-\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c\\ 0& 0& 1& a+\frac{b}{2}\end{array}\right]\\ & \stackrel{d_1+d_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c\\ 0& 1& 0& -a-\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c\\ 0& 0& 1& a+\frac{1}{2}b\end{array}\right].\end{array}$$ Vì $\text{rank}(A)=3$ nên hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$ là độc lập tuyến tính theo Nhận xét 11.11. Đồng thời, hệ phương trình trên có nghiệm ${\lambda }_1=-\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c$, ${\lambda }_2=-a-\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c$, ${\lambda }_3=a+\frac{1}{2}b$, nên ta có tổ hợp tuyến tính $$\mathbf{v}=(-\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c){\mathbf{v}}_1+(-a-\frac{1}{8}b+\frac{1}{4}c){\mathbf{v}}_2+(a+\frac{1}{2}b){\mathbf{v}}_3.$$ Vậy ${\mathbb{R}}^3=⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3{⟩}_{\mathbb{R}}$, tức là $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$ là một hệ sinh, và do đó nó là một cơ sở của ${\mathbb{R}}^3$.

Hơn nữa, với véctơ ${\mathbf{v}}_4=(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ bất kỳ, hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4\}$ là phụ thuộc tuyến tính. Thế nên hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4\}$ là một hệ sinh, nhưng không là cơ sở của ${\mathbb{R}}^3$.

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.17.}}$ Một hệ véctơ của $V$ được gọi là độc lập tuyến tính tối đại nếu nó độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véctơ nào vào hệ thì ta được một hệ phụ thuộc tuyến tính.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.18.}}$ Trong Ví dụ 12.16, hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}\subseteq {\mathbb{K}}^3$ là độc lập tuyến tính tối đại.

Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn tương đương của một cơ sở của không gian véctơ.

$\mathbf{\text{Định lý 12.19}}[\mathbf{\text{Tiêu chuẩn đặc trưng của Cơ sở}}]$

Cho $B=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một hệ hữu hạn các véctơ trong $V$. Các khẳng định sau là tương đương.

1. $B$ là một cơ sở của $V$.
2. $B$ là hệ sinh nhỏ nhất của $V$, tức là $B$ là hệ sinh của $V$ nhưng $B\setminus \{{\mathbf{v}}_i\}$ không là hệ sinh của $V$ với mọi $i\in \{1,\dots ,n\}$.
3. Mọi véctơ $\mathbf{v}\in V$ được biểu thị tuyến tính duy nhất dưới dạng $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$$ với $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$.
4. $B$ là một hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại của $V$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$

(a$\Rightarrow$b): Giả sử $B$ là một cơ sở của $V$. Khi đó $B$ là một hệ sinh độc lập tuyến tính của $V$. Nếu tồn tại $i\in \{1,\dots ,n\}$ sao cho $B\setminus \{{\mathbf{v}}_i\}$ cũng là hệ sinh của $V$, thì có $a_j\in \mathbb{K}$ với $j\ne i$ sao cho ${\mathbf{v}}_i=\sum _{j\ne i}{a}_j{\mathbf{v}}_j$. Suy ra $(-1){\mathbf{v}}_i+\sum _{j\ne i}{a}_j{\mathbf{v}}_j=\mathbf{0}$, do đó $B$ là phụ thuộc tuyến tính. Điều này là mâu thuẫn, thế nên $B\setminus \{{\mathbf{v}}_i\}$ không là hệ sinh của $V$ với mọi $i\in \{1,\dots ,n\}$.

(b$\Rightarrow$c): Giả sử $\mathbf{v}\in V$ biểu thị tuyến tính được qua $B$ không duy nhất. Tồn tại $a_i,b_i\in \mathbb{K}$ ($i=1,\dots ,n$) sao cho $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n=b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{v}}_n$$ và không mất tính tổng quá giả sử $a_1\ne b_1$. Bằng việc trừ hai tổ hợp tuyến tính cho nhau và chia cho $a_1-b_1$, ta nhận được $${\mathbf{v}}_1=\frac{b_2-a_2}{a_1-b_1}{\mathbf{v}}_2+\cdots +\frac{b_n-a_n}{a_1-b_1}{\mathbf{v}}_n.$$ Điều này kéo theo rằng $B$ không là hệ sinh nhỏ nhất của $V$.

(c$\Rightarrow$d): Từ khẳng định c suy ra rằng $B$ là độc lập tuyến tính, vì nếu $B$ là phụ thuộc tuyến tính thì $\mathbf{0}$ biểu thị tuyến tính được qua $B$ theo hai dạng khác nhau. Nếu $\mathbf{v}\in V$, thì tồn tại một tổ hợp tuyến tính $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$$ với $a_i\in \mathbb{K}$ vì $B$ là hệ sinh của $V$, thế nên hệ $n+1$ véctơ $B\cup \{\mathbf{v}\}$ là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy $B$ là hệ độc lập tuyến tính tối đại.

(d$\Rightarrow$a): Giả sử $B$ là hệ độc lập tuyến tính tối đại của $V$. Với mỗi $\mathbf{v}\in V$, hệ véctơ $B\cup \{\mathbf{v}\}$ là phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại $a_1,\dots ,a_n,a\in \mathbb{K}$ sao cho $$a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n+a\mathbf{v}=0.$$ Vì $B$ là độc lập tuyến tính nên $a\ne 0$. Do đó $$\mathbf{v}=\frac{-a_1}{a}{\mathbf{v}}_1+\cdots +\frac{-a_n}{a}{\mathbf{v}}_n,$$ kéo theo $B$ là hệ sinh của $V$. Vậy $B$ là một cơ sở của $V$.

Một hệ sinh trong một không gian véctơ chưa hẳn là một cơ sở vì nó có thể không độc lập tuyến tính. Trong một không gian véctơ hữu hạn sinh, mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng mọi hệ sinh cho trước đều có thể rút gọn thành một cơ sở.

$\mathbf{\text{Mệnh đề 12.20.}}$ Trong không gian véctơ hữu hạn sinh $V$, mọi hệ sinh của $V$ đều chứa một cơ sở. Đặc biệt, $V$ luôn có một cơ sở hữu hạn.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Do $V$ là không gian hữu hạn sinh, nên nó có một hệ sinh hữu hạn $S^{\prime }=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m\}$. Gọi $S=\{{\mathbf{v}}_i\mid i\in I\}$ là một hệ sinh bất kỳ của $V$. Ta biểu thị mỗi véctơ ${\mathbf{w}}_j$ qua hệ sinh $S$ dưới dạng $${\mathbf{w}}_j=a_{j1}{\mathbf{v}}_{i_{j1}}+\cdots +a_{j{n}_j}{\mathbf{v}}_{i_{j{n}_j}}$$ với $a_{jk}\in \mathbb{K}$ và $i_{jk}\in I$ và $n_j>0$. Khi đó ta có $$\begin{array}{rl}V& =⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}=⟨S^{\prime }{⟩}_{\mathbb{K}}\subseteq ⟨{\mathbf{v}}_{i_{jk}}\mid 1\le j\le m,1\le k\le n_j{⟩}_{\mathbb{K}}\subseteq ⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}.\end{array}$$ Vậy $T=\{{\mathbf{v}}_{i_{jk}}\mid 1\le j\le m,1\le k\le n_j\}$ là một hệ sinh hữu hạn của $V$ chứa trong $S$. Bằng cách đánh số lại, ta có thể giả sử  $T=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$.

Việc còn lại là xây dựng từ $T$ một cơ sở của $V$ bằng cách xóa bỏ lần lượt các véctơ biểu thị tuyến tính được qua các véctơ còn lại như sau. Nếu hệ $T$ là độc lập tuyến tính, thì nó là cơ sở của $V$ chứa trong $S$ và mệnh đề được chứng minh. Bây giờ, ta giả sử rằng $T$ là phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại một véctơ của $T$ biểu thị tuyến tính được qua các véctơ còn lại. Không mất tính tổng quát, ta giả sử véctơ đó là ${\mathbf{v}}_n$ và $${\mathbf{v}}_n=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_{n1}{\mathbf{v}}_{n-1}\text{với }{a}_1,\dots ,a_{n-1}\in \mathbb{K}\text{.}$$ Hệ quả 12.4 suy ra rằng hệ $T_n:=T\setminus \{{\mathbf{v}}_n\}$ là một hệ sinh của $V$. Nếu $T_n$ là độc lập tuyến tính, thì nó là cơ sở của $V$ và mệnh đề được chứng minh. Ngược lại, tồn tại một véctơ trong $T_n$ biểu thị tuyến tính được qua các véctơ còn lại của $T_n$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử véctơ đó là ${\mathbf{v}}_{n-1}$ và $${\mathbf{v}}_{n-1}=b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_{n-2}{\mathbf{v}}_{n-2}\text{với }{b}_1,\dots ,b_{n-2}\in \mathbb{K}\text{.}$$ Hệ quả 12.4 lại suy ra rằng hệ $T_{n-1}:=T_n\setminus \{{\mathbf{v}}_{n-1}\}=T\setminus \{{\mathbf{v}}_{n-1},{\mathbf{v}}_n\}$ là một hệ sinh của $V$. Lặp lại quá trình này, do $V\ne ⟨\mathbf{0}⟩$ nên tồn tại $i\le n$ sao cho $T_i$ là hệ sinh độc lập tuyến tính của $V$ thỏa mãn $T_i\subseteq T_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq T_n\subseteq S$. Vậy hệ $T_i$ là một cơ sở của $V$, và ta có điều cần phải chứng minh.

12.3. Số chiều của không gian véctơ

Để so sánh số phần tử của các cơ sở của một không gian véctơ người ta phải chuyển đổi hệ các véctơ và thường sử dụng bổ đề dưới đây.

$\mathbf{\text{Bổ đề 12.21.}}$ Cho $B=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $V$ và $\mathbf{w}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$. Nếu $a_i\ne 0$ với $i\in \{1,\dots ,n\}$ thì $$B_i^{\prime }=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_{i-1},\mathbf{w},{\mathbf{v}}_{i+1},\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$$ cũng là một cơ sở của $V$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Bằng việc đánh số lại, ta có thể giả sử $i=1$ và do đó $${\mathbf{v}}_1=\frac{1}{a_1}\mathbf{w}-\frac{a_2}{a_1}{\mathbf{v}}_2-\cdots -\frac{a_n}{a_1}{\mathbf{v}}_n.$$ Ta cần chứng minh rằng $B_1^{\prime }=\{\mathbf{w},{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là cơ sở của $V$.

Nếu $\mathbf{v}\in V$ thì $\mathbf{v}=b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{v}}_n$ với $b_1,\dots ,b_n\in \mathbb{K}$, điều này kéo theo $$\mathbf{v}=\frac{b_1}{a_1}\mathbf{w}+(b_2-\frac{b_1{a}_2}{a_1}){\mathbf{v}}_2+\cdots +(b_n-\frac{b_1{a}_n}{a_1}){\mathbf{v}}_n.$$ Thế nên $B_1^{\prime }$ là một hệ sinh của $V$.

Để chỉ ra tính độc lập tuyến tính của $B_1^{\prime }$, ta giả sử có $c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{K}$ sao cho $$c_1\mathbf{w}+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n=\mathbf{0}.$$ Thay $\mathbf{w}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$ vào đẳng thức trên, ta nhận được $$c_1{a}_1{\mathbf{v}}_1+(c_1{a}_2+c_2){\mathbf{v}}_2+\cdots +(c_1{a}_n+c_n){\mathbf{v}}_n=\mathbf{0},$$ do vậy $c_1{a}_1=c_1{a}_2+c_2=\cdots =c_1{a}_n+c_n=0$ vì $B$ là cơ sở. Vì $a_1\ne 0$ nên $c_1=0$ và $c_2=\cdots =c_n=0$. Vậy $B_1^{\prime }$ là hệ độc lập tuyến tính.

$\mathbf{\text{Định lý 12.22}}[\mathbf{\text{Steinitz, 1899}}]$ Cho $B=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $V$ và $S=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m\}$ là một hệ độc lập tuyến tính trong $V$. Khi đó $m\le n$ và tồn tại tập chỉ số phân biệt $\{i_1,\dots ,i_m\}\subseteq \{1,\dots ,n\}$ sao cho $S\cup (B\setminus \{{\mathbf{v}}_{i_1},\dots ,{\mathbf{v}}_{i_m}\})$ cũng là một cơ sở của $V$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Ta chứng minh quy nạp theo $m$. Với $m=1$ định lý được chứng minh bởi Bổ đề 12.21. Giả sử định lý đúng với $m-1$, tức $m-1\le n$ và tồn tại $\{i_1,\dots ,i_{m-1}\}\subseteq \{1,\dots ,n\}$ sao cho $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_{m-1}\}\cup (B\setminus \{{\mathbf{v}}_{i_1},\dots ,{\mathbf{v}}_{i_{m-1}}\})$ là một cơ sở của $V$. Nếu $n=m-1$ thì $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_{m-1}\}$ là một cơ sở của $V$, do đó Định lý12.19 suy ra rằng $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_{m-1}\}$ là hệ độc lập tuyến tính tối đại, mâu thuẫn với $S$ là độc lập tuyến tính. Thế nên $m-1<n$. Từ giả thiết quy nạp, ta có thể viết $${\mathbf{w}}_m=b_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +b_{m-1}{\mathbf{w}}_{m-1}+\sum _{i\notin \{i_1,\dots ,i_{m1}\}}{a}_i{\mathbf{v}}_i$$ với $a_i,b_j\in \mathbb{K}$. Vì tính độc lập tuyến tính của hệ véctơ $S$ nên tồn tại chỉ số $i_m\in \{1,\dots ,n\}\setminus \{i_1,\dots ,i_{m-1}\}$ sao cho $a_{i_m}\ne 0$. Theo Bổ đề 12.21, thay ${\mathbf{v}}_{i_m}$ bởi ${\mathbf{w}}_m$ thì hệ $S\cup (B\setminus \{{\mathbf{v}}_{i_1},\dots ,{\mathbf{v}}_{i_m}\})$ là một cơ sở của $V$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.23.}}$ Hệ các véctơ $$\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}9\\ 8\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right]\}\subseteq {\mathbb{R}}^3$$ không độc lập tuyến tính trong ${\mathbb{R}}^3$.  Thậy vậy, ${\mathbb{R}}^3$ có cơ sở chính tắc $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\}$ gồm 3 phần tử. Do đó, không tồn tại hệ véctơ nào nhiều hơn 3 phần tử là độc lập tuyến tính.

Từ định lý trên ta nhận được hệ quả sau.

$\mathbf{\text{Hệ quả 12.24.}}$ Cho $B=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $V$. Khi đó:

1. Mọi cơ sở của $V$ đều hữu hạn.
2. Mọi cơ sở của $V$ đều có số phần tử bằng số phần tử của cơ sở $B$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$

1.  Nếu $B^{\prime }=\{{\mathbf{w}}_i\mid i\in I\}$ là một cơ sở của $V$ và $I$ là vô hạn, thì có $i_1,\dots ,i_{n+1}\in I$ sao cho $\{{\mathbf{w}}_{i_1},\dots ,{\mathbf{w}}_{i_{n+1}}\}$ là hệ độc lập tuyến tính trên $\mathbb{K}$. Điều này là mâu thuẫn với Định lý 12.22.
2. Gọi $S=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m\}$ là một cơ sở của $V$. Định lý 12.22 chỉ ra rằng $m\le n$ và $n\le m$, do đó $n=m$.

Từ Hệ quả 12.24 ta đi đến định nghĩa về số chiều của không gian véctơ như sau:

$\mathbf{\text{Định nghĩa 12.25.}}$ $\mathbf{\text{Số chiều}}$ của không gian véctơ $V$ trên $\mathbb{K}$ được xác định bởi $${\dim }_{\mathbb{K}}(V):=\{\begin{array}{ll}0& \text{nếu }V=⟨\mathbf{0}⟩,\\ n& \text{nếu }V\text{ có một cơ sở hữu hạngồm }n\text{ phần tử},\\ \mathrm{\infty }& \text{nếu }V\text{ không có một cơ sở hữu hạn}.\end{array}$$ Trường hợp trường $\mathbb{K}$ được biết rõ ta cũng viết $\dim (V)$ cho số chiều của $V$ trên $\mathbb{K}$. Không gian véctơ $V$ được gọi là $\mathbf{\text{hữu hạn chiều}}$ nếu $\dim (V)$ là  hữu hạn.  Nếu $\dim (V)=n$ thì ta cũng nói $V$ là $\mathbf{\text{không gian véctơ }}n\mathbf{\text{-chiều}}.$

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.26.}}$

1. Ta có ${\dim }_{\mathbb{K}}({\mathbb{K}}^n)=n$, vì ${\mathbb{K}}^n$ có cơ sở chính tắc $\{{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n\}$ gồm $n$ phần tử.
2. Ta có ${\dim }_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}[x{]}_{\le n})=n+1$, trong khi ${\dim }_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}[x])=\mathrm{\infty }$.
3. Rõ ràng ${\dim }_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1$, nhưng ${\dim }_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2$ vì $\{1,i\}$ là một cơ sở của $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{R}$. Tương tự, ${\dim }_{\mathbb{C}}({\mathbb{C}}^2)=2$. Tuy nhiên, nếu xét ${\mathbb{C}}^2$ là $\mathbb{R}$-không gian véctơ, thì nó có một cơ sở là $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}i\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ i\end{array}\right]\}$. Vì vậy ${\dim }_{\mathbb{R}}({\mathbb{C}}^2)=4.$

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.27.}}$ Trong ${\mathbb{R}}^4$, xét không gian véctơ $W$ sinh bởi các véctơ $${\mathbf{w}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right],{\mathbf{w}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{w}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{w}}_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right],{\mathbf{w}}_5=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right].$$ Để tìm số chiều của không gian véctơ $W$ ta cần xác định một cơ sở của $W$. Xét hệ phương trình $a_1{\mathbf{w}}_1+a_2{\mathbf{w}}_2+a_3{\mathbf{w}}_3+a_4{\mathbf{w}}_4+a_5{\mathbf{w}}_5=0$. Hệ tương đương với $$\{\begin{array}{ll}{a}_1+2a_2+a_3+a_4& =0\\ a_2+a_3+2a_4+a_5& =0\\ a_2+a_3+3a_4+2a_5& =0\\ -a_1+a_3+4a_4+3a_5& =0.\end{array}$$ Ta biến đổi ma trận mở rộng của hệ phương trình về dạng bậc thang rút gọn: $$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 1& 3& 2& 0\\ -1& 0& 1& 4& 3& 0\end{array}\right]\underset{d_4+d_1}{\overset{d_3-d_2}{\to }}\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 2& 2& 5& 3& 0\end{array}\right]\\ & \stackrel{d_4-2d_2-d_3}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{d_2-2d_3}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ & \stackrel{d_1-2d_2-d_3}{\to }\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$ Điều này suy ra nghiệm tổng quát của hệ phương trình là $$\{\begin{array}{ll}{a}_1& =a_3-a_5\\ a_2& =-a_3+a_5\\ a_4& =-a_5.\end{array}$$ Các nghiệm riêng $(a_1,\dots ,a_5)=(-1,1,0,-1,1)$ và $(1,-1,1,0,0)$ đưa ra các tổ hợp tuyến tính $$-{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{w}}_2-{\mathbf{w}}_4+{\mathbf{w}}_5={\mathbf{w}}_1-{\mathbf{w}}_2+{\mathbf{w}}_3=\mathbf{0}.$$ Do đó $W=⟨{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,-{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4,{\mathbf{w}}_1{\mathbf{w}}_2+{\mathbf{w}}_4{⟩}_{\mathbb{R}}=⟨{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4{⟩}_{\mathbb{R}},$ tức hệ véctơ $\{{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4\}$ là một hệ sinh của $W$. Hơn nữa, nếu $a_3=a_5=0$ thì $a_1=a_2=a_4=0$, kéo theo $\{{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4\}$ là độc lập tuyến tính trên $\mathbb{R}$. Vì vậy, hệ này là một cơ sở của $W$ và ${\dim }_{\mathbb{R}}(W)=3$.

$\mathbf{\text{Hệ quả 12.28.}}$ Cho $V$ là không gian véctơ $n$ chiều. Khi đó,

1. Mọi hệ sinh của $V$ có $n$ phần tử là một cơ sở.
2. Mọi hệ độc lập tuyến tính của $V$ có $n$ phần tử là một cơ sở.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$

1. Giả sử $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là hệ sinh của $V$. Với $i\in \{1,\dots ,n\}$, nếu $S\setminus \{{\mathbf{v}}_i\}$ cũng là hệ sinh của $V$ thì nó chứa một cơ sở của $V$ với số phần tử $<n$ theo Mệnh đề 12.20, suy ra $n={\dim }_{\mathbb{K}}(V)<n$, mâu thuẫn. Do đó $S$ là hệ sinh nhỏ nhất của $V$, và theo Định lý 12.19 $S$ là cơ sở của $V$.
2. Nếu $S$ là một hệ độc lập tuyến tính của $V$ gồm $n$ phần tử, thì Định lý 12.22 chỉ ra rằng $S$ là hệ độc lập tuyến tính tối đại. Vì vậy $S$ là cơ sở của $V$ theo Định lý 12.19.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.29.}}$ Với giả thiết như Ví dụ 12.27, hệ 3 véctơ ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_5$ là độc lập tuyến tính trong không gian 3-chiều $W$ nên nó là một cơ sở của không gian véctơ $W$.

12.4. Cơ sở và số chiều của không gian con, không gian thương

Một không gian con của không gian véctơ hữu hạn chiều có tính chất sau đây.

$\mathbf{\text{Mệnh đề 12.30.}}$ Cho $V$ là không gian véctơ hữu hạn chiều và $W$ là không gian con của $V$. Khi đó,

1.  $W$ là không gian véctơ hữu hạn chiều.
2. $\dim (W)\le \dim (V)$, và nếu $W⊊V$ thì $\dim (W)<\dim (V).$
3. Mọi cơ sở của $W$ đều có thể bổ sung để thành một cơ sở của $V.$

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$

1.  Do $W$ là không gian con của  $V$ nên mọi hệ cơ sở của $W$ đều là hệ độc lập tuyến tính trong $V$. Do không gian véctơ $V$ có chiều hữu hạn, nên mọi hệ độc lập tuyến tính trong $V$ có hữu hạn phần tử. Vậy $W$ là không gian véctơ hữu hạn chiều.
2. Gọi $S$ là một cơ sở của $W$. Khi đó $S$ là hữu hạn và độc lập tuyến tính trong $V$. Theo Định lý 12.22, hệ $S$ có thể bổ sung thành một cơ sở của $V$. Do đó  ${\dim }_{\mathbb{K}}(W)\le {\dim }_{\mathbb{K}}(V).$ Giả sử ${\dim }_{\mathbb{K}}(W)={\dim }_{\mathbb{K}}(V)=n$ và $S=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n\}$ là một cơ sở của $W$. Hệ $S$ là hệ độc lập tuyến tính trong $V$, nên nó cũng là một cơ sở của $V$ theo Hệ quả 12.28. Suy ra $V=⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}=W$.
3. Điều này suy ra từ Định lý 12.22 và rằng mọi cơ sở của $W$ đều là hệ độc lập tuyến tính trong $V$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.31.}}$ Như trong Ví dụ 12.27, $W$ là không gian con của $V={\mathbb{R}}^4$. Vì vậy ta có ${\dim }_{\mathbb{R}}(W)=3<4={\dim }_{\mathbb{R}}(V)$. Theo Mệnh đề 12.30 , ta có thể bổ sung vào cơ sở $B=\{{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4\}$ của $W$ số véctơ là $4-3=1$ để trở thành một cơ sở của $V$. Đặt $\mathbf{w}=[0,0,0,1{]}^T$ và $B^{\prime }=\{{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4,\mathbf{w}\}.$ Khi đó, hệ véctơ $B^{\prime }$ là độc lập tuyến tính trong không gian 4-chiều $V$ nên nó là một cơ cở của $V$.

Về số chiều của không gian thương ta có công thức sau.

$\mathbf{\text{Mệnh đề 12.32.}}$ Cho $V$ là không gian véctơ hữu hạn chiều và $W$ là không gian con của $V$. Khi đó $${\dim }_{\mathbb{K}}(V/W)={\dim }_{\mathbb{K}}(V)-{\dim }_{\mathbb{K}}(W).$$

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Theo Mệnh đề 12.30, $W$ là hữu hạn chiều và ta có thể giả sử tồn tại hệ véctơ $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m,{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k\}$ là một cơ sở của $V$ sao cho $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m\}$ là một cơ sở của $W$. Ta chứng minh hệ $\{{\mathbf{v}}_1+W,\dots ,{\mathbf{v}}_k+W\}$ là một cơ sở của $V/W.$

Thật vậy, xét véctơ $\mathbf{v}+W\in V/W$, ta có $\mathbf{v}\in V$ và do $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m,{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k\}$ là một cơ sở của $V$ nên tồn tại $a_1,\dots ,a_m,b_1,\dots ,b_k\in K$ sao cho $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +a_m{\mathbf{w}}_m+b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_k{\mathbf{v}}_k.$$ Từ đó, ta có tổ hợp tuyến tính

$$\begin{array}{rl}\mathbf{v}+W& =a_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +a_m{\mathbf{w}}_m+b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_k{\mathbf{v}}_k+W\\ & =b_1({\mathbf{v}}_1+W)+\cdots +b_k({\mathbf{v}}_k+W).\end{array}$$ Suy ra $\{{\mathbf{v}}_1+W,\dots ,{\mathbf{v}}_k+W\}$ là một hệ sinh của $V/W.$

Giả sử $\mathbf{0}+W$ có tổ hợp tuyến tính $$b_1({\mathbf{v}}_1+W)+\cdots +b_k({\mathbf{v}}_k+W)=\mathbf{0}+W,$$ với $b_1,\dots ,b_k\in \mathbb{K}$. Khi đó, ta có $b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_k{\mathbf{v}}_k\in ⟨{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}$.  Vì hệ véctơ $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m,{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k\}$ độc lập tuyến tính, nên $b_1=\cdots =b_k=0$, kéo theo hệ $\{{\mathbf{v}}_1+W,\dots ,{\mathbf{v}}_k+W\}$ là độc lập tuyến tính. Vậy hệ này là cơ sở của $V/W$ và ta thu được $${\dim }_{\mathbb{K}}(V/W)=k=(m+k)-m={\dim }_{\mathbb{K}}(V)-{\dim }_{\mathbb{K}}(W).$$

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.33.}}$ Như trong Ví dụ 12.27, với $V={\mathbb{R}}^4$, không gian thương $V/W$ có số chiều là ${\dim }_{\mathbb{R}}(V/W)={\dim }_{\mathbb{R}}(V)-{\dim }_{\mathbb{R}}(W)=4-3=1$. Từ Ví dụ 12.31, một cơ sở của không gian thương $V/W$  là $\mathbf{w}+W.$

Phần còn lại mục này, ta xét việc tìm một cơ sở của một không gian con khác không $W$ trong ${\mathbb{R}}^n$ thông qua lý thuyết ma trận trong chương trước. Giả sử $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_m\}$ là một hệ sinh của $W$. Lập ma trận $$A=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1^T\\ ⋮\\ {\mathbf{v}}_m^T\end{array}\right]\in {\text{Mat}}_{m,n}(\mathbb{K})$$ với dòng thứ $i$ của $A$ chính là ${\mathbf{v}}_i$ được viết theo dòng (tức ${\mathbf{v}}_i^T$). Khi đó không gian $W$ còn được gọi là $\mathbf{\text{không giandòng}}$ của ma trận $A$.

Một cơ sở của $W$ có thể được tính bằng kết quả sau.

$\mathbf{\text{Định lý 12.34.}}$ Nếu $A$ tương đương với ma trận bậc thang $B$ thì các dòng khác không của $B$ lập thành một cơ sở của $W$ và ${\dim }_{\mathbb{K}}(W)=\text{rank}(A)$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Trước tiên, ta chỉ ra rằng không gian dòng của $B$ cũng là $W$. Vì $B$ nhận được từ $A$ qua các phép biến đổi dòng sơ cấp, nên bằng quy nạp ta có thể giả sử $B$ nhận được từ $A$ bởi một phép biến đổi dòng sơ cấp. Viết ${\mathbf{a}}_i:={\mathbf{v}}_i^T$ (dòng thứ $i$ của $A$) với $i=1,\dots ,m$. Để ý rằng nếu $m=1$ thì khẳng định trên là hiển nhiên, do đó giả sử $m\ge 2$.

Xét các trường hợp sau:

1.  $B$ thu được từ $A$ qua phép đổi chỗ hai dòng $d_i\leftrightarrow d_j$. Rõ ràng không gian dòng của $B$ cũng là $⟨{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_j,\dots ,{\mathbf{a}}_i,\dots ,{\mathbf{a}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}=W$.
2. $B$ thu được từ $A$ qua nhân $0\ne \lambda \in \mathbb{K}$ vào dòng thứ $i$ ($\lambda d_i$). Khi đó không gian dòng của $B$ là $⟨{\mathbf{a}}_1,\dots ,\lambda {\mathbf{a}}_i,\dots ,{\mathbf{a}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}=⟨{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_i,\dots ,{\mathbf{a}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}=W$.
3. $B$ thu được từ $A$ qua phép biến đổi dòng $d_i+\lambda d_j$ với $\lambda \in \mathbb{K}$. Khi đó không gian dòng của $B$ là $W^{\prime }=⟨{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_i+\lambda {\mathbf{a}}_j,\dots ,{\mathbf{a}}_j,\dots ,{\mathbf{a}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}$. Theo Hệ quả 12.4,  $W^{\prime }\subseteq W$. Nếu $\mathbf{v}\in W$ thì $$\mathbf{v}=c_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +c_i{\mathbf{a}}_i+\cdots +c_j{\mathbf{a}}_j+\cdots +c_m{\mathbf{a}}_m$$ với $c_1,\dots ,c_m\in \mathbb{K}$, do đó $$\mathbf{v}=c_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +c_i({\mathbf{a}}_i+\lambda {\mathbf{a}}_j)+\cdots +(c_j-\lambda c_i){\mathbf{a}}_j+\cdots +c_m{\mathbf{a}}_m\in W^{\prime }.$$ Thế nên $W=W^{\prime }$.

Vậy không gian dòng của $B$ là $W$, đặc biệt các dòng khác không của $B$ là một hệ sinh của $W$. Vì $B$ là ma trận bậc thang, nên các dòng khác không của $B$ là độc lập tuyến tính theo Nhận xét 11.11. Do đó chúng lập thành một cơ sở của $W$ và ${\dim }_{\mathbb{K}}(W)=\text{rank}(B)=\text{rank}(A)$.Ta áp dụng Định lý 12.34 vào ví dụ cụ thể sau.

$\mathbf{\text{Ví dụ 12.35.}}$ Xét không gian con $W$ của $V={\mathbb{R}}^4$ trong Ví dụ 12.27. Để tìm một cơ sở của $W$ ta lập ma trận và biến đổi nó về dạng bậc thang (rút gọn) và nhận được $$\begin{array}{rl}A& =\left[\begin{array}{c}{\mathbf{w}}_1^T\\ ⋮\\ {\mathbf{w}}_5^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 2& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\end{array}\right]\underset{d_4-d_1}{\overset{d_2-2d_1,d_3-d_1}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 2& 3& 5\\ 0& 1& 2& 3\end{array}\right]\\ & \underset{d_5-d_2}{\overset{d_3-d_2,d_4-2d_2}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]\underset{d_4-d_3}{\overset{d_3\leftrightarrow d_5}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\\ & \stackrel{d_2-d_3}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$ Vậy các cơ sở của $W$ là $$\{[1,0,0,-1{]}^T,[0,1,1,2{]}^T,[0,0,1,1{]}^T\},$$ $$\begin{gathered} \{[1,0,0 \\ -1{]}^T,[0,1,0,1{]}^T,[0,0,1,1{]}^T\}. \end{gathered}$$

Lưu ý rằng tương tự như các phép biến đổi dòng sơ cấp, chúng ta cũng có các phép biến đổi cột sơ cấp đối với ma trận $A$ sau đây:

1. Đổi chỗ hai cột thứ $i$ và thứ $j$ cho nhau, ký hiệu $c_i\leftrightarrow c_j$.
2. Nhân một hằng số khác không $\lambda \in \mathbb{K}$ vào cột thứ $i$, ký hiệu $\lambda c_i$.
3. Cộng một tích của cột thứ $j$ với hằng số $\lambda \in \mathbb{K}$ vào cột thứ $i$, ký hiệu $c_i+\lambda c_j.$

Hơn nữa, mệnh đề sau đây chỉ ra rằng các phép biến cột sơ cấp cũng không làm thay đổi hạng của ma trận $A$.

$\mathbf{\text{Mệnh đề 12.36.}}$ Với $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}\in {\text{Mat}}_{m,n}(\mathbb{K})$ ta có $\text{rank}(A)=\text{rank}(A^T)$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Giả sử $r=\text{rank}(A)$. Gọi ${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_m$ là các dòng của $A$ là $A_1,\dots ,A_n$ là các cột của $A$. Đặt $W=⟨{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_m{⟩}_{\mathbb{K}}$, tức $W$ là không gian con sinh bởi các dòng của $A$ (ở đây ta giữ véctơ ${\mathbf{a}}_i$ viết theo dòng). Theo Định lý 12.34, ${\dim }_{\mathbb{K}}(W)=\text{rank}(A)=r$. Gọi $\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_r\}$ là một cơ sở của $W$ với ${\mathbf{w}}_j=\left[\begin{array}{c}{w}_{j1},\dots ,w_{jn}\end{array}\right]$ ($j=1,\dots ,r$). Ta có biểu diễn $$\begin{array}{lll}\left[\begin{array}{c}{a}_{11},\dots ,a_{1n}\end{array}\right]& ={\mathbf{a}}_1=c_{11}{\mathbf{w}}_1+\cdots +& c_{1r}{\mathbf{w}}_r\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ \left[\begin{array}{c}{a}_{m1},\dots ,a_{mn}\end{array}\right]& ={\mathbf{a}}_m=c_{m1}{\mathbf{w}}_1+\cdots +& c_{mr}{\mathbf{w}}_r\end{array}$$ với $c_{ij}\in \mathbb{K}$. So sánh thành phần thứ $j$ của mỗi đẳng thức trên kéo theo $$A_j=\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right]=w_{1j}\left[\begin{array}{c}{c}_{11}\\ ⋮\\ c_{m1}\end{array}\right]+\cdots +w_{rj}\left[\begin{array}{c}{c}_{1r}\\ ⋮\\ c_{mr}\end{array}\right]$$ với $1\le j\le n$. Thế nên, Hệ quả 12.4 suy ra $$\{A_1,\dots ,A_n\}\subseteq U:=⟨A_1,\dots ,A_n{⟩}_{\mathbb{K}}\subseteq ⟨\left[\begin{array}{c}{c}_{11}\\ ⋮\\ c_{m1}\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}{c}_{1r}\\ ⋮\\ c_{mr}\end{array}\right]{⟩}_{\mathbb{K}}.$$ Theo Định lý 12.34, ta nhận được $\text{rank}(A^T)={\dim }_{\mathbb{K}}(U)\le r=\text{rank}(A)$. Vì $(A^T{)}^T=A$, lập luận tương tự trên chỉ ra $\text{rank}(A)\le \text{rank}(A^T)$. Như vậy $\text{rank}(A)=\text{rank}(A^T)$.

Sử dụng Maple

Trong mục trước chúng ta đã biết kiểm tra tính độc lập tuyến tính của một hệ véctơ trong ${\mathbb{K}}^n$ với $\mathtt{\text{Maple}}$. Ở mục này chúng ta tìm hiểu về việc tìm một cơ sở của không gian véctơ trong ${\mathbb{K}}^n$. Xét không gian véctơ $W\subseteq {\mathbb{K}}^4$ trong Ví dụ 12.27 sinh bởi các véctơ $${\mathbf{w}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right],{\mathbf{w}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{w}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{w}}_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right],{\mathbf{w}}_5=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right].$$ Ta biết rằng hệ véctơ $\{{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,{\mathbf{w}}_4\}$ là một cơ sở của $W$. Trong $\mathtt{\text{Maple}}$ ta nhận được qua lệnh $\mathtt{\text{Basis}}$ như sau:

$\mathtt{\text{> with(LinearAlgebra):}}$

$\mathtt{\text{> w1 := <1, 0, 0, -1>: w2 := <2, 1, 1, 0>:}}$

$\mathtt{\text{> w3 := <1, 1, 1, 1>: w4 := <1, 2, 3, 4>:}}$

$\mathtt{\text{> w5 := <0, 1, 2, 3>}}$

$\mathtt{\text{> Basis([w1, w2, w3, w4]);}}$

hoặc với $\mathtt{\text{Basis({w1, w2, w3, w4, w5});}}.$ Hơn nữa để nhận được cơ sở của $W$ như trong Ví dụ 12.35 ta cần lập ma trận $A$ với các dòng là các véctơ ${\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_5$. Dùng lệnh $\mathtt{\text{GaussianElimination}}$ để tìm ma trận bậc thang tương đương

$\mathtt{\text{> A := <<1, 2, 1, 1, 0>, <0, 1, 1, 2, 1>,}}$

$\mathtt{\text{ <0, 1, 1, 3, 2>, <-1, 0, 1, 4, 3>>:}}$

$\mathtt{\text{> GaussianElimination(A);}}$

và nhận được $B=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ và cơ sở $\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\}$ của $W$. Trong khi đó dùng lệnh

$\mathtt{\text{> ReducedRowEchelonForm(A);}}$

cho ta ma trận bậc thang rút gọn tương đương với $A$. Để tính số chiều của $W$ thì áp dụng Định lý 12.34 và tính hạng của $A$:

$\mathtt{\text{> Rank(A);}}$

$\mathtt{\text{ 3}}$

do đó ${\dim }_{\mathbb{K}}(W)=\text{rank}(A)=3$. Trong $\mathtt{\text{Maple}}$ có lệnh $\mathtt{\text{Dimension}},$ tuy nhiên lệnh này chỉ tính kích thước của véctơ hay ma trận, chẳng hạn

$\mathtt{\text{> Dimension(A);}}$

$\mathtt{\text{ 5, 4}}$

chỉ ra rằng kích thước của $A$ là $5\times 4$ và $\mathtt{\text{Dimension(w1)}}$ cho kết quả là $\mathtt{\text{4}},$ tức ${\mathbf{w}}_1\in {\mathbb{K}}^4$.