16.1. Ma trận và công thức đổi tọa độ
Cho $V$ và $W$ là các $\mathbb{K}$-không gian véctơ hữu hạn chiều với các cơ sở tương ứng là $S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$ và $T=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$. Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, $f$ được xác định duy nhất bởi $\set{f(\mathbf{v}_1), f(\mathbf{v}_2),\dots, f(\mathbf{v}_n)}$. Do $T$ là một cơ sở của $W$ nên với mỗi $f(\mathbf{v}_j)$ tồn tại duy nhất bộ vô hướng $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}\in \mathbb{K}$ sao cho $$ f(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{w}_1+a_{2j}\mathbf{w}_2+\cdots+a_{mj}\mathbf{w}_m. $$ Do đó, ánh xạ tuyến tính $f\colon V\rightarrow W$ được xác định duy nhất qua hệ các vô hướng $\{ a_{ij} \mid 1\le i\le m, 1\le j\le n\}$. Điều này dẫn đến định nghĩa sau.
$\textbf{Định nghĩa 16.1.}\ $
Ta gọi ma trận
$$
A:=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$
là \textbf{ma trận của ánh xạ tuyến tính} $f\colon V\rightarrow W$ trong cặp cơ sở
\index{ma trận! của ánh xạ tuyến tính}
$S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots,\mathbf{v}_n\}$ và
$T=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$, ký hiệu là $M_{(S,T)}(f)$.
$\textbf{Ví dụ 16.2.}\ $
Xét ánh xạ tuyến tính $f\colon\mathrm{R}^3\rightarrow\mathrm{R}^4$ cho bởi
$$
f\left(\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}\right)
=
\begin{bmatrix}2x_1-x_2+x_3\\ x_1-2x_2\\ x_1+2x_2-x_3\\ x_2-2x_3\end{bmatrix}.
$$
Gọi $\mathcal{E}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ và
$\mathcal{E}'= \{\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \mathbf{e}'_3, \mathbf{e}'_4\}$
lần lượt là các cơ sở chính tắc của $\mathrm{R}^3$ và $\mathrm{R}^4$.
Khi đó, ta thấy rằng
\begin{align*}
f(\mathbf{e}_1)&=f\left([1, 0, 0]^T\right) = [2, 1, 1, 0]^T =2\mathbf{e}'_1+\mathbf{e}'_2+\mathbf{e}'_3,\\
f(\mathbf{e}_2)&=f\left([0, 1, 0]^T\right) =[-1,-2,2,1]^T
=-\mathbf{e}'_1-2\mathbf{e}'_2+2\mathbf{e}'_3+\mathbf{e}'_4,\\
f(\mathbf{e}_3)&=f\left([0, 0, 1]^T\right)=[1,0,-1,-2]^T
=\mathbf{e}'_1-\mathbf{e}'_3-2\mathbf{e}'_4.
\end{align*}
Thế nên, ma trận của $f$ đối với cặp cơ sở chính tắc $\mathcal{E}$
và $\mathcal{E}'$ được cho bởi
$$
M_{(\mathcal{E},\mathcal{E}')}(f) =
\begin{bmatrix}
2& -1& 1\\
1& -2& 0\\
1&2&-1\\
0&1&-2
\end{bmatrix}.
$$
Hệ véctơ
$$
S= \set{\mathbf{v}_1=[1, 1, 1, 1]^T,\,
\mathbf{v}_2=[1, 1, 1, 0]^T,\,
\mathbf{v}_3= [1, 1, 0, 0]^T,\,
\mathbf{v}_4= [1, 0, 0, 0]^T }
$$
là một cơ sở khác của $\mathbb{R}^4.$ Ta có
\begin{align*}
f(\mathbf{e}_1)&=f\left([1, 0, 0]^T\right) = [2, 1, 1, 0]^T =\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_4,\\
f(\mathbf{e}_2)&=f\left([0, 1, 0]^T\right) =[-1,-2,2,1]^T
=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 -4\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4,\\
f(\mathbf{e}_3)&=f\left([0, 0, 1]^T\right)=[1,0,-1,-2]^T
=-2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4.
\end{align*}
%
Vậy ma trận của $f$ đối với cặp cơ sở $\mathcal{E}$ và $S$ được cho bởi
$$
M_{(\mathcal{E},S)}(f) =
\begin{bmatrix}
0 & 1&-2\\
1&1&1\\
0&-4&1\\
1&1&1
\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Nhận xét 16.3.} \ $
Cho $V$ là không gian véctơ $n$-chiều và $S,T$ là các cơ sở của $V.$
- Ma trận của ánh xạ đồng nhất $\mathrm{id}_V$ đối với cặp cơ sở $(S,S)$ chính là ma trận đơn vị cấp $n$, tức $M_{(S,S)}(\mathrm{id}_V) = I_n$.
- Ma trận của ánh xạ đồng nhất $\mathrm{id}_V$ đối với cặp cơ sở $(S,T)$ chính là ma trận chuyển cơ sở từ $T$ sang $S$.
- Trường hợp $V=W$ và $S=T$, ta thường gọi $M_{(S,S)}(f)$ là $\textbf{ma trận của tự đồng cấu}$ $f$ trong cơ sở $S$, và thường viết gọn $M_S(f)$.
Bây giờ, giả sử ánh xạ tuyến tính $f\colon V\rightarrow W$ có ma trận trong cặp cơ sở $(S,T)$ cho bởi $M_{(S,T)}(f)=(a_{ij})_{m\times n}$. Véctơ tọa độ của $\mathbf{v}=x_1\mathbf{v}_1+\cdots+x_n\mathbf{v}_n$ ứng với cơ sở $S$ là $[\mathbf{v}]_S = [x_1,\dots,x_n]^T\in \mathbb{K}^n$. Ta cần xác định véctơ tọa độ $[f(\mathbf{v})]_T$ của $f(\mathbf{v})$ ứng với cơ sở $T$. Rõ ràng $$ \begin{aligned} f(\mathbf{v}) &= f\bigg(\sum_{j=1}^nx_j\mathbf{v}_j\bigg)=\sum_{j=1}^nx_jf(\mathbf{v}_j)\\ &=\sum_{j=1}^nx_j \bigg(\sum_{i=1}^ma_{ij}\mathbf{w}_i\bigg) =\sum_{i=1}^m \bigg(\sum_{j=1}^na_{ij}x_j\bigg)\mathbf{w}_i. \end{aligned} $$ Do đó, ta nhận được $$ [f(\mathbf{v})]_T = \begin{bmatrix}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\\ \sum_{j=1}^na_{2j}x_j\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^na_{mj}x_j \end{bmatrix}. $$
Viết lại theo ngôn ngữ tích ma trận ta có công thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính đối với một cặp cơ sở cho trước, được phát biểu như sau.
$\textbf{Định lý 16.4} \ $
Cho $f\colon V\rightarrow W$ là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với
cặp cơ sở $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\}$ và
$T=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$ là $M_{(S,T)}(f)$
và $\mathbf{v}\in V$. Khi đó, ta có công thức
$$
[f(\mathbf{v})]_T = M_{(S,T)}(f) \cdot [\mathbf{v}]_S
$$
cụ thể hơn nếu
$$
M_{(S,T)}(f)
=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix},\
[\mathbf{v}]_S = \begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix},\
[f(\mathbf{v})]_T = \begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_m
\end{bmatrix}
$$
thì
$$
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_m
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Ví dụ 16.5.}\ $
Với giả thiết như Ví dụ 16.2,
xét véctơ $\mathbf{v} =\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3$.
Khi đó $[\mathbf{v}]_\mathcal{E}=\mathbf{v}$ và véctơ tọa độ của $f(\mathbf{v})$
ứng với cơ sở $\mathcal{E}'$ là
$$
[f(\mathbf{v})]_{\mathcal{E}'} =
M_{(\mathcal{E},\mathcal{E}')}(f)\cdot \begin{bmatrix}-1\\ 0 \\1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2&-1&1\\
1&-2&0\\
1&2&-1\\
0&1&-2
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}-1\\ 0 \\1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}-1\\ -1 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix}.
$$
Trong khi đó, véctơ tọa độ của $f(\mathbf{v})$ ứng với cơ sở $S$ là
$$
[f(\mathbf{v})]_{S} =
M_{(\mathcal{E},S)}(f)\cdot \begin{bmatrix}-1\\ 0 \\1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1&-2\\
1&1&1\\
0&-4&1\\
1&1&1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -1\\ 0 \\1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}-2\\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Ví dụ 16.6.}\ $
Xét ánh xạ tuyến tính
\begin{align*}
f\colon \text{Mat}_{2}(\mathbb{R}) &\longrightarrow \mathbb{R}[x]_{\le 2}\\
\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} &\longmapsto (a-c)+(b+2c)x+(3c-d)x^2.
\end{align*}
Gọi $S =\set{E_{11}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\end{bmatrix}, E_{12}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},
E_{21}=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix}, E_{22}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\end{bmatrix}}$
và $T = \set{1,x,x^2}$ lần lượt là các cơ sở chính tắc của $\text{Mat}_{2}(\mathbb{R})$
và $\mathbb{R}[x]_{\le 2}$.
Khi đó ta có
\begin{align*}
f(E_{11}) &= 1 = 1 + 0\cdot x+ 0\cdot x^2,\\
f(E_{12}) &= x = 0\cdot 1 + x + 0\cdot x^2, \\
f(E_{21}) &= -1+2x+3x^2,\\
f(E_{22}) &= -x^2 = 0\cdot 1+0\cdot x- x^2.
\end{align*}
Do đó, ma trận của $f$ theo cặp cơ sở $(S,T)$ là
$$
M_{(S,T)}(f) = \begin{bmatrix}1& 0& -1& 0 \\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 3&-1 \end{bmatrix}.
$$
Với $A=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}\in \text{Mat}_{2}(\mathbb{R})$, véctơ tọa độ của $A$ ứng với cơ sở $S$
và véctơ tọa độ của $f(A)$ ứng với cơ sở $T$ là
$$
[A]_{S}=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{bmatrix},
[f(A)]_{T} = M_{(S,T)}(f)\cdot [A]_{S}
= \begin{bmatrix}1& 0& -1& 0 \\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 3&-1 \end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}-2\\ 8\\ 5\end{bmatrix}.
$$
16.2. Không gian các ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn
Mối liên hệ giữa không gian các ánh xạ tuyến tính của các không gian hữu hạn chiều và ma trận biểu diễn được mô tả trong định lý dưới đây.
$\textbf{Định lý 16.7.} \ $
Cho $V$ và $W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều với
$\dim V=n$, $\dim W=m$.
Cố định một cặp cơ sở $S, T$ của $V$ và $W$ tương ứng.
Khi đó ánh xạ
$$
\begin{aligned}
\Phi\colon\mathcal{L}(V,W)&\longrightarrow\text{Mat}_{m, n}(\mathbb{K})\\
f&\longmapsto M_{(S,T)}(f)
\end{aligned}
$$
là một đẳng cấu.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Do sự tương ứng 1-1 giữa ánh xạ tuyến tính $f\colon V\rightarrow W$
và ma trận của ánh xạ tuyến tính đó đối với cặp cơ sở $(S,T)$
nên $\Phi$ là một song ánh.
Việc còn lại là chứng minh $\Phi$ là một ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, giả sử $S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\}$,
$T=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\dots,\mathbf{w}_m\}$.
Khi đó, với mọi $\lambda, \mu\in \mathbb{K}$, với mọi $f, g\in \mathcal{L}(V, W)$ với
$$
M_{(S,T)}(f)=(a_{ij})_{m\times n}, \quad
M_{(S,T)}(g)=(b_{ij})_{m\times n}\in\text{Mat}_{m,n}(\mathbb{K}),
$$
với mọi $\mathbf{v}_j\in S$, ta có
$$
\begin{aligned}
(\lambda f+\mu g)(\mathbf{v}_j)
&=
\lambda(a_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+a_{mj}\mathbf{w}_m)
+
\mu(b_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+b_{mj}\mathbf{w}_m)\\
&=
(\lambda a_{1j}+\mu b_{1j})\mathbf{w}_1
+
\cdots
+
(\lambda a_{mj}+\mu b_{mj})\mathbf{w}_m.
\end{aligned}
$$
Điều này dẫn đến
$$
M_{(S,T)}(\lambda f+\mu g)=(\lambda a_{ij}+\mu b_{ij})_{m\times n}
=\lambda M_{(S,T)}(f)+\mu M_{(S,T)}(g).
$$
Do vậy
$$
\Phi(\lambda f+\mu g)
=
M_{(S,T)}(\lambda f+\mu g)
=
\lambda M_{(S,T)}(f)
+
\mu M_{(S,T)}(g)
=
\lambda \Phi(f)
+
\mu\Phi(g).
$$
Vậy $\Phi$ là ánh xạ tuyến tính và do đó nó là một đẳng cấu.
Tính đẳng cấu của $\Phi$ cho phép ta tính chiều của không gian $\mathcal{L}(V,W)$.
$\textbf{Hệ quả 16.8.} \ $
Cho $V,W$ là các không gian véc tơ hữu hạn chiều. Khi đó
$$
\dim(\mathcal{L}(V, W))=\dim(V)\times\dim(W).
$$
$\textbf{Ví dụ 16.9.}\ $
Không gian các ánh xạ tuyến tính giữa $\text{Mat}_{2}(\mathbb{R})$ và $\mathbb{R}^3$ có số chiều là
$$
\dim(\mathcal{L}(\text{Mat}_{2}(\mathbb{R}), \mathbb{R}^3)) = \dim(\text{Mat}_{2}(\mathbb{R}))\cdot \dim(\mathbb{R}^3)
=4\cdot 3=12.
$$
16.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính hợp thành
$\textbf{Định lý 16.10.}\ $
Cho $U,V,W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều với các cơ sở tương
ứng là $R,S,T$, và cho $f\in \mathcal{L}(U,V)$ và $g\in \mathcal{L}(V,W)$.
Khi đó ma trận của ánh xạ hợp $g\circ f\in\mathcal{L}(U,W)$
đối với cặp cơ sở $(R,T)$ được cho bởi
\[
M_{(R,T)}(g\circ f)\;=\; M_{(S,T)}(g)\cdot M_{(R,S)}(f).
\]
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Gọi $R=\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n\}$,
$S=\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m\}$,
$T=\{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_p\}$ và
$$
M_{(R,S)}(f)
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}
\ \text{và}
\ M_{(S,T)}(g)=\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1m}\\
b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pm}\\
\end{bmatrix}.
$$
Từ cách xác định các ma trận trên, ta có
$$
f(\mathbf{u}_j)
=
a_{1j}\mathbf{v}_1
+
\cdots
+
a_{mj}\mathbf{v}_m
=
\sum_{i=1}^m
a_{ij}\mathbf{v}_i,
$$
và
$$
g(\mathbf{v}_i)
=
b_{1i}\mathbf{w}_1
+
\cdots+b_{pi}\mathbf{w}_p
=
\sum_{k=1}^pb_{ki}\mathbf{w}_k.
$$
Khi đó, do $g\circ f$ cũng là một ánh xạ tuyến tính nên
$$
\begin{aligned}
(g\circ f)(\mathbf{u}_j)
&=
g\bigg(\sum_{i=1}^ma_{ij}\mathbf{v}_i\bigg)
=\sum_{i=1}^ma_{ij}g(\mathbf{v}_i)\\
&=
\sum_{i=1}^ma_{ij}
\bigg(\sum_{k=1}^pb_{ki}\mathbf{w}_k\bigg)\\
&=
\sum_{k=1}^p(\sum_{i=1}^mb_{ki}a_{ij})\mathbf{w}_k.
\end{aligned}
$$
Vậy ma trận của $g\circ f$ đối với cặp cơ sở $(R,T)$ có hệ số tại dòng $k$ và cột $j$ là
$$
c_{kj}=\sum_{i=1}^mb_{ki}a_{ij}
=
\begin{bmatrix}
b_{k1}, \dots, b_{km}
\end{bmatrix}
.
\begin{bmatrix}
a_{1j}\\
\vdots \\
a_{mj}
\end{bmatrix}.
$$
Vậy $M_{(R,T)}(g\circ f)=(c_{kj})_{p\times n}
=(b_{ki})_{p\times m}\cdot(a_{ij})_{m\times n}=M_{(S,T)}(g)\cdot M_{(R,S)}(f)$.
$\textbf{Ví dụ 16.11.}\ $
Cho $f\colon \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$ và
$g\colon \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3$ là các ánh xạ
tuyến tính xác định bởi
$$
f\left( \begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} a_1+a_3\\ 2a_2+a_3\end{bmatrix},\qquad
g\left( \begin{bmatrix}a_1\\ a_2\end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} -a_1+a_2\\ a_1+a_2\\ 2a_1+a_2\end{bmatrix}.
$$
Gọi $\mathcal{E},\mathcal{E}'$ lần lượt là các cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^2$
và $\mathbb{R}^3$. Khi đó ta có
$$
M_{(\mathcal{E}',\mathcal{E})}(f) = \begin{bmatrix}1& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{bmatrix},\quad
M_{(\mathcal{E},\mathcal{E}')}(g) = \begin{bmatrix}-1&1\\1&1\\ 2&1\end{bmatrix}.
$$
Theo Định lý 16.10, ma trận của
$g\circ f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ và $f\circ g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$
lần lượt là
$$
M_{\mathcal{E}'}(g\circ f) =
\begin{bmatrix}-1&1\\1&1\\ 2&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\
1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 3 \end{bmatrix},\quad
M_{\mathcal{E}}(f\circ g) =
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3\end{bmatrix}.
$$
Bởi vậy, $(g\circ f)\left(\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} -a_1+2a_2\\ a_1+2a_2+2a_3\\ 2a_1+2a_2+3a_3\end{bmatrix}$
và $(f\circ g)\left(\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} a_1+2a_2\\ 4a_1+3a_2\end{bmatrix}$.
$\textbf{Hệ quả 16-12.} \ $
Cho $V$ và $W$ là hai không gian véctơ hữu hạn chiều với các cơ sở
tương ứng là $S$ và $T$. Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một đẳng cấu
và có ma trận đối với cặp cơ sở $(S,T)$ là $A$.
Khi đó ma trận của ánh xạ $f^{-1}$ đối với cặp cơ sở $(T,S)$ là $A^{-1}$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Nhắc lại rằng nếu $f$ là đẳng cấu thì $f^{-1}$ cũng là một đẳng cấu.
Giả sử $\dim V=\dim W=n$. Áp dụng Định lý 16.10, ta được
\[
I_n = M_{S}(\mathrm{id}_V)
=
M_{S}(f^{-1}\circ f)
=
M_{(T,S)}(f^{-1})\cdot M_{(S,T)}(f)
=
M_{(T,S)}(f^{-1})\cdot A.
\]
Vậy $M_{(T,S)}(f^{-1})=A^{-1}$.
$\textbf{Ví dụ 16.13.}\ $
Xét ánh xạ $h:=f\circ g: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ như trong
Ví dụ 16.11.
Ma trận của $h$ trong cơ sở chính tắc là
$M_{\mathcal{E}}(h)=\begin{bmatrix}1&2\\ 4&3\end{bmatrix}$.
Vì hệ phương trình $\begin{bmatrix}1&2\\ 4&3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}$
luôn có nghiệm duy nhất với mọi $\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^2$, thế nên
$h$ là một đẳng cấu. Ma trận của $h^{-1}$ trong cơ sở chính tắc là
$M_{\mathcal{E}}(h^{-1}) =
\begin{bmatrix}\frac{-3}{5}&\frac{2}{5}\\ \frac{4}{5}&\frac{-1}{5}\end{bmatrix}$.
$\textbf{Hệ quả 16.14.} \ $
Cho $S,S',S''$ là các cơ sở của không gian véctơ hữu hạn chiều $V$. Khi đó
\[
P_{(S,S'')}=P_{(S,S')}\cdot P_{(S',S'')}.
\]
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Theo Nhận xét 16.3(b), ta có
$$
P_{(S,S'')}=M_{(S'',S)}(\mathrm{id}_V),\,
P_{(S,S')}=M_{(S',S)}(\mathrm{id}_V),\,
P_{(S',S'')}= M_{(S'',S')}(\mathrm{id}_V).
$$
Áp dụng Định lý 16.10, ta có ngay điều cần chứng minh.
16.4. Ma trận đổi cơ sở của ánh xạ tuyến tính
Trong phần này, ta khảo sát sự thay đổi của ma trận của ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở.
$\textbf{Định lý 16.15.} \ $
Cho $V$ và $W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều và $f\in\mathcal{L}(V,W)$.
Gọi $S_1,S_2$ là các cơ sở của $V$ và $T_1,T_2$ là các cơ sở của $W$.
Đặt $A=M_{(S_1,T_1)}(f)$, $B=M_{(S_2,T_2)}(f)$,
$C_1=P_{(S_1,S_2)}$, $C_2=P_{(T_1,T_2)}$. Khi đó ta có
\[
B \;=\; C_2^{-1}\cdot A\cdot C_1.
\]
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Từ đẳng thức $f\circ\mathrm{id}_V=\mathrm{id}_W\circ f$, ta có
\[
M_{(S_2,T_1)}(f\circ\mathrm{id}_V)
=
M_{(S_2,T_1)}(\mathrm{id}_W\circ f).
\]
Theo Định lý 16.10, ta thu được
\[
M_{(S_1,T_1)}(f)\cdot M_{(S_2,S_1)}(\mathrm{id}_V)
=
M_{(T_2,T_1)}(\mathrm{id}_W)\cdot M_{(S_2,T_2)}(f),
\]
hay một cách tương đương $AC_1=C_2B$. Nhân $C_2^{-1}$ vào hai vế ta được $B=C_2^{-1}AC_1$.
$\textbf{Ví dụ 16.16.}\ $
Xét ánh xạ tuyến tính $f\colon \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$ với
$f\left( \begin{bmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{bmatrix}\right)
= \begin{bmatrix} a_1+a_3\\ 2a_2+a_3\end{bmatrix}$. Từ Ví dụ 16.11,
ma trận của $f$ ứng với cặp cơ sở chính tắc $(\mathcal{E}',\mathcal{E})$ là
$$
A=M_{(\mathcal{E}',\mathcal{E})}(f) = \begin{bmatrix}1& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{bmatrix}.
$$
Xét cặp cơ sở mới $S=\set{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}$
và $T = \set{\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}}$ tương ứng của $\mathbb{R}^3$ và $\mathbb{R}^2$.
Ma trận chuyển cơ sở từ $\mathcal{E}'$ sang $S$ là
$$
C_1 = P_{(\mathcal{E}',S)} =\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{bmatrix}.
$$
Ma trận chuyển cơ sở từ $\mathcal{E}$ sang $T$ là
$$
C_2 = P_{(\mathcal{E},T)} =\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&1\end{bmatrix},\quad C_2^{-1} = \begin{bmatrix}1&-1\\ -1&2\end{bmatrix}.
$$
Vậy ma trận của $f$ đối với cặp cơ sở $(S,T)$ là
$$
B = C_2^{-1}\cdot A\cdot C_1
= \begin{bmatrix}1&-1\\ -1&2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{bmatrix}.
$$
Đối với trường hợp các tự đồng cấu, Định lý 16.15 có hệ quả trực tiếp dưới đây.
$\textbf{Hệ quả 16.17.} \ $
Giả sử $A$ là ma trận của tự đồng cấu $f\colon V\rightarrow V$ đối
với một cơ sở $S$ của $V$. Cho $S'$ là một cơ sở khác của $V$ và $C$ là ma trận chuyển
cơ sở từ $S$ sang $S'$. Khi đó ma trận của $f$ trong cơ sở $S'$ là $C^{-1}AC$.
16.5. Ứng dụng trong Đồ họa máy tính
Đại số ma trận và ánh xạ tuyến tính là công cụ cơ bản của đồ họa máy tính để xử lý hình ảnh trên màn hình máy tính. Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận việc một ánh xạ tuyến tính tác động lên một điểm như thế nào và hình ảnh thu được của một họ các tập điểm ra làm sao.
A. Dịch chuyển 1 điểm trong mặt phẳng
Nhắc lại rằng mỗi điểm có tọa độ $(a,b)$ trong mặt phẳng $Oxy$ được biểu diễn đại số bởi ma trận cột $\begin{bmatrix}a\\ b\end{bmatrix}$. Chẳng hạn, điểm có tọa độ $P=(3,2)$ được biểu diễn bởi $\begin{bmatrix}3\\ 2\end{bmatrix}$.
- Phép đối xứng $f$ qua trục $Ox$ có ma trận
$T=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{bmatrix}$.
- Phép giãn nở (hoặc phép co) $f$ dọc theo trục $Ox$ với tỉ số $c$
có ma trận $T= \begin{bmatrix}
c & 0\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}$.
- Phép kéo $f$ dọc theo trục $Ox$ với tỉ số $c$ có ma trận
$T=\begin{bmatrix}
1 & c \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}$.
- Phép quay $f$ với tâm $O$ một góc $\theta$ ngược chiều kim đồng hồ cho bởi ma trận
$
T=\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}.
$
B. Di chuyển hình vẽ trên mặt phẳng
Ngôi nhà dưới đây được tạo hình bằng cách nối các đỉnh để tạo ra các đường gấp khúc liền mạch.
Sử dụng Maple
Ở phần này, chúng ta sẽ dùng $\texttt{Maple}$ để tính toán ma trận của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ đối với cặp cơ sở $(S,T)$ cho trước, trong đó $S=\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ là cơ sở của $\mathbb{R}^n$ và $T=\set{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_m}$ là cơ sở của $\mathbb{R}^m$. Nhận thấy rằng $$ \begin{bmatrix}f(\mathbf{v}_1),\dots,f(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_m\end{bmatrix}\cdot M_{(S,T)}(f) $$ do đó \begin{equation}\tag{16.1} M_{(S,T)}(f) = \begin{bmatrix}\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_m\end{bmatrix}^{-1}\cdot \begin{bmatrix}f(\mathbf{v}_1),\dots,f(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix} \end{equation} Đối với ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^4$ trong Ví dụ 16.2, ta tính ma trận của nó ứng với cặp cơ sở $(\mathcal{E},S)$ theo các bước sau. Trước hết lập ánh xạ tuyến tính $f$ theo định nghĩa của nó:$\texttt{> with(LinearAlgebra):}$
$\texttt{> f := v -> <<2*v[1,1]-v[2,1]+v[3,1], v[1,1]-2*v[2,1],}$
$\hspace{1cm}\texttt{ v[1,1]+2*v[2,1]-v[3,1], v[2,1]-2*v[3,1]>>:}$
Ở đây để ý rằng véctơ $\texttt{v}$ trong $\mathbb{R}^3$ được xem như một ma trận cột và
có 3 thành phần lần lượt là $\texttt{v[1,1], v[2,1], v[3,1]}.$
Tiếp đó, đưa vào cơ sở $\mathcal{E}$ của $\mathbb{R}^3$ và cơ sở $S$ của $\mathbb{R}^4$,
đồng thời tính ma trận $f(\mathcal{E})$ và viết $S$ như một ma trận lập bởi
các cột véctơ của nó:
$\texttt{> e1:=<<1, 0, 0>>: e2:=<<0, 1, 0>>: e3:=<<0, 0, 1>>:}$
$\texttt{> fE := < f(e1)| f(e2) | f(e3) >:}$
$\texttt{> v1 :=<<1,1,1,1>>: v2 :=<<1,1,1,0>>: }$
$\texttt{> v3 :=<<1,1,0,0>>: v4 :=<<1,0,0,0>>:}$
$\texttt{> S := < v1 | v2 | v3 | v4 >:}$
Sau cùng là tính ma trận nghịch đảo của $S$ và lập ma trận của $f$ theo công thức (16.1):
$\texttt{> S1 := MatrixInverse(S);}$
$\texttt{> Mf := S1.fE: Mf;}$
kết quả là
$$
\begin{bmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&0\\ 1&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\ 0&0&1&-1\\ 0&1&-1&0\\ 1&-1&0&0\end{bmatrix},
M_{(\mathcal{E},S)}(f)=\begin{bmatrix}0&1&-2\\ 1&1&1\\ 0&-4&1\\ 1&1&1\end{bmatrix}.
$$
Hơn nữa, kết quả tính toán ma trận $B$ của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với
cặp cơ sở $(S,T)$ trong Ví dụ 16.16 có thể được kiểm tra
bằng $\texttt{Maple}$ bởi các dòng lệnh sau:
$\texttt{> f := v -> <<v[1,1]+v[3,1], 2*v[2,1]+v[3,1]>>:}$
$\texttt{> v1 :=<<1,1,0>>: v2:=<<0,1,1>>: v3:=<<1,0,1>>:}$
$\texttt{> w1 := <<2,1>>: w2 := <<1,1>>:}$
$\texttt{> gS := < g(v1) | g(v2) | g(v3) >;}$
$\texttt{> T := < w1 | w2 >;}$
$\texttt{> MatrixInverse(T).gS;}$
Comments
Post a Comment