17.1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản
$\textbf{Định lý 17.1.}\ $
Cho $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính.
- Nếu $U$ là không gian con của $V$, thì ảnh của $U$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f(U):=\{f(\mathbf{u})\mid \mathbf{u}\in U\}, $$ là một không gian véctơ con của $W$.
- Nếu $T$ là không gian véctơ con của $W$, thì nghịch ảnh của $T$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f^{-1}(T)=\{\mathbf{v}\in V \mid f(\mathbf{v})\in T\}. $$ là một không gian véctơ con của $V$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\ $ Do $\mathbf{0}\in U$ nên $\mathbf{0}=f(\mathbf{0})\in f(U)$.
Vậy $f(U)$ khác rỗng. Với $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in f(U)$, theo định nghĩa,
tồn tại $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\in U$ sao cho $f(\mathbf{u}_1)=\mathbf{v}_1$
và $f(\mathbf{u}_2)=\mathbf{v}_2$. Khi đó, với mọi vô hướng
$\lambda_1, \lambda_2\in \mathbb{K}$ ta có
\[
\lambda_1\mathbf{v}_1
+
\lambda_2\mathbf{v}_2
=
\lambda_1f(\mathbf{u}_1)
+
\lambda_2f(\mathbf{u}_2)
=
f(\lambda_1\mathbf{u}_1+\lambda_2\mathbf{u}_2).
\]
Do $U$ là không gian véctơ con của $V$ nên
$\lambda_1\mathbf{u}_1+\lambda_2\mathbf{u}_2\in U$ và do đó $\lambda_1\mathbf{v}_1
+
\lambda_2\mathbf{v}_2= f(\lambda_1\mathbf{u}_1+\lambda_2\mathbf{u}_2)\in f(U)$.
Vậy $f(U)$ là không gian véctơ con của $W$.
(b)$\ $
Ta có $\mathbf{0}\in T$ và $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ nên $\mathbf{0}\in f^{-1}(T)$.
Với mọi $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in f^{-1}(T)$ và $\lambda_1, \lambda_2\in \mathbb{K}$,
do $f$ là ánh xạ tuyến tính, ta có
$$
f(\lambda_1\mathbf{v}_1
+ \lambda_2\mathbf{v}_2)
=
\lambda_1f(\mathbf{v}_1)
+
\lambda_2f(\mathbf{v}_2).
$$
Do $T$ là không gian véctơ con của $W$ và
$f(\mathbf{v}_1), f(\mathbf{v}_2)\in T$, ta có $\lambda_1f(\mathbf{v}_1)
+
\lambda_2f(\mathbf{v}_2)\in T$. Vậy $f(\lambda_1\mathbf{v}_1
+ \lambda_2\mathbf{v}_2)\in T$, từ đó suy ra $\lambda_1\mathbf{v}_1+ \lambda_2\mathbf{v}_2\in f^{-1}(T)$.
Do vậy $f^{-1}(T)$ là không gian con của $V$.
$\textbf{Mệnh đề 17.2.} \ $
Cho $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Gọi $U$ là một không gian con của $V$.
- Nếu $S$ là một hệ sinh của $U$ thì $f(S)=\{f(\mathbf{u}):\mathbf{u}\in S\}$ là một hệ sinh của~$f(U)$.
- Nếu $\{\mathbf{v}_1, \dots,\mathbf{v}_n\}$ là một tập hợp gồm các véctơ trong $V$ sao cho $\{f(\mathbf{v}_1), \dots,f(\mathbf{v}_n)\}$ là một hệ độc lập tuyến tính, thì $\{\mathbf{v}_1, \dots,\mathbf{v}_n\}$ cũng là một hệ độc lập tuyến tính.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\ $
Lấy một véctơ $\mathbf{w}\in f(U)$, khi đó tồn tại một véctơ $\mathbf{u}\in U$ sao cho
$f(\mathbf{u})=\mathbf{w}$. Do $S$ là hệ sinh của $U$ nên ta có thể viết
$\mathbf{u}=\lambda_1\mathbf{u}_1+\cdots+\lambda_n\mathbf{u}_n$ với
$\lambda_i\in\mathbb{K},\mathbf{u}_i\in S$ với mọi $i=1,2,\dots,n$.
Do $f$ là ánh xạ tuyến tính nên
$$
\mathbf{w}=f(\mathbf{u})
=\lambda_1f(\mathbf{u}_1)+\cdots+\lambda_nf(\mathbf{u}_n).
$$
Do $f(\mathbf{u}_i)\in f(S)$ với mọi $i=1,2,\dots,n$, ta được $f(S)$ là một hệ sinh của $f(U)$.
(b)$\ $
Giả sử ta có một quan hệ tuyến tính $\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}$,
với $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ là các vô hướng trên $\mathbb{K}$.
Khi đó
$$
\mathbf{0}=f(\mathbf{0})=f(\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_n\mathbf{v}_n)
=\lambda_1f(\mathbf{v}_1)+\cdots+\lambda_nf(\mathbf{v}_n).
$$
Do $\{f(\mathbf{v}_1),\dots,f(\mathbf{v}_n)\}$ là một hệ độc lập tuyến tính, ta có $\lambda_1=\dots=\lambda_n=0$.
Vậy $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ cũng là một hệ véctơ độc lập tuyến tính.
Từ kết quả trên, ta nhận thấy rằng ánh xạ tuyến tính không làm tăng
số chiều của các không gian véctơ.
$\textbf{Hệ quả 17.3.} \ $
Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một đồng cấu. Khi đó, với mọi không gian
véctơ con hữu hạn chiều $U$ của $V$, ta có
$$
\dim(f(U))\le \dim(U).
$$
Từ các kết quả trên, ta có:
$\textbf{Định nghĩa 17.4.}\ $
Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một đồng cấu.
- Không gian con $f^{-1}(\mathbf{0})$ của $V$ được gọi là $\textbf{hạt nhân}$ của $f$, ký hiệu bởi $\mathrm{Ker}(f)$.
- Không gian con $f(V)$ của $W$ được gọi là $\textbf{ảnh}$ của $f$, ký hiệu bởi $\mathrm{Im}(f)$.
- Cho $V$ là không gian véctơ hữu hạn chiều. Số chiều của $\mathrm{Ker}(f)$ được gọi là $\textbf{số khuyết}$ của $f$, được ký hiệu bởi $\mathrm{Def}(f)$. Số chiều của $\mathrm{Im}(f)$ được gọi là $\textbf{hạng}$ của $f$, được ký hiệu bởi $\mathrm{Rank}(f)$.
$\textbf{Ví dụ 17.5.}\ $
Ta biết đạo hàm hình thức
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\colon \mathbb{R}[x]&\longrightarrow \mathbb{R}[x]\\
a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n&\longmapsto a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}
\end{align*}
là một ánh xạ $\mathbb{R}$-tuyến tính.
Đa thức $f$ có đạo hàm bằng $0$ khi và chỉ khi $f$ là đa thức hằng.
Vậy hạt nhân của ánh xạ đạo hàm là tập các đa thức hằng. Với mỗi đa thức hệ số thực $f$,
gọi $F$ là một nguyên hàm của $f$. Khi đó $F$ cũng là một đa thức hệ số thực
và $\frac{d}{dx}(F)=f$. Do vậy $\mathrm{Im}(\frac{d}{dx})=\mathbb{R}[x]$.
$\textbf{Ví dụ 17.6.}\ $
Cho $f\colon\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$ là ánh xạ xác định bởi
$$
f\left([x,y,z,t]^T\right)
= \left([x-2y+3z,y-2z+t,x-z+2t]^T\right) .
$$
Khi đó, với $\{\mathbf{e_1},\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4\}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^4$ thì $\{f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2),f(\mathbf{e_3}),f(\mathbf{e}_4)\}$
là một hệ sinh của $\mathrm{Im}(f)$ (theo Mệnh đề 17.2). Ta có
$$
f(\mathbf{e}_1)=[1,0,1]^T,
f(\mathbf{e}_2)=[-2,1,0]^T,
f(\mathbf{e}_3)=[3,-2,-1]^T,
f(\mathbf{e}_4)=[0,1,2]^T.
$$
Chú ý rằng,
$$
[3, -2, -1]^T=-2[-2, 1, 0]^T-[1, 0, 1]^T
$$
và
$$
[0, 1, 2]^T =[-2, 1, 0]^T+2[1, 0, 1]^T
$$
nên ta thu được
$$
\begin{bmatrix}f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2), f(\mathbf{e_3}),f(\mathbf{e}_4)\end{bmatrix}_{\mathbb{R}}
= \begin{bmatrix}f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2)\end{bmatrix}_{\mathbb{R}}.
$$
Hệ hai véctơ $\{f(\mathbf{e}_1),f(\mathbf{e}_2)\}$ là độc lập tuyến tính
và cũng là hệ sinh của $\text{Im}(f)$ nên nó là một cơ sở của $\text{Im}(f)$ và do đó ta có $\text{Rank}(f)=2$.
Bây giờ, giả sử $\mathbf{u}=[x,y,z,t]^T \in\text{Ker}(f)$. Khi đó $f(\mathbf{u})=\mathbf{0}$ tương đương với việc $[x,y,z,t]^T$
thỏa mãn hệ phương trình
$$
\begin{cases}
x-2y+3z&=0\\
y-2z+t&=0\\
x-z+2t&=0.
\end{cases}
$$
Hệ phương trình trên tương đương với
$$
\begin{cases}
x-2y+3z&=0\\
y-2z+t&=0,
\end{cases}
$$
và do đó, tập nghiệm của nó được cho bởi
$$
\begin{cases}
x&=s_1-2s_2\\
y&=2s_1-s_2\\
z&=s_1\\
t&=s_2,
\end{cases}
$$
với $s_1,s_2\in\mathbb{R}$. Từ đây, ta thấy
$\{[1,2,1,0]^T,[-2,-1,0,1]^T\}$
là một cơ sở của $\text{Ker}(f)$ và do vậy ta có $\mathrm{Def}(f)=2$.
17.2. Một số tiêu chuẩn đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu
Ảnh và hạt nhân, cũng như các chỉ số $\text{Rank}$, $\text{Def}$ đóng vai trò rất quan trọng trong việc khảo sát các tính chất của đồng cấu. $\textbf{Định lý 17.7.}\ $
Cho $f\colon V\rightarrow W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
- $f$ là toàn cấu;
- $\text{Im}(f)=W$;
- Ảnh của mọi hệ sinh của $V$ là hệ sinh của $W$;
- Ảnh của một cơ sở nào đó của $V$ là một hệ sinh của $W$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\Rightarrow$(b) là hiển nhiên từ định nghĩa.
Ta chứng minh (b)$\Rightarrow$(c). Giả sử $\text{Im}(f)=W$
và gọi $S$ là một hệ sinh của $V$. Lấy $\mathbf{w}$ là một véctơ trong $W$.
Do $\text{Im}(f)=W$, tồn tại véctơ $\mathbf{v}\in V$ với $f(\mathbf{v})=\mathbf{w}$.
Do $S$ là hệ sinh của $V$, ta có thể biểu diễn
$\mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{v}_1+ \cdots+\lambda_n\mathbf{v}_n$ với
$\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{K}$ và
$\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\in S$. Do ánh xạ $f$ là tuyến tính, ta có
$$
\mathbf{w}=f(\mathbf{v})=\lambda_1f(\mathbf{v}_1)+\cdots+\lambda_n f(\mathbf{v}_n).
$$
Mà $f(\mathbf{v}_1),\dots, f(\mathbf{v}_n)\in f(S)$, ta được $f(S)$ là hệ sinh của $W$.
(c)$\Rightarrow$(d) là hiển nhiên vì một cơ sở của $V$ cũng là một hệ sinh của nó.
Ta chứng minh (d)$\Rightarrow$(a). Gọi $S$ là một cơ sở của $V$ sao cho $f(S)$ là một hệ sinh của $W$.
Lấy $\mathbf{w}\in W$. Do $f(S)$ là hệ sinh của $W$, tồn tại
$f(\mathbf{v}_1),\dots,f(\mathbf{v}_n)$ với $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\in S$
và $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{K}$ sao cho
$\mathbf{w}=\lambda_1f(\mathbf{v}_1)+\cdots+\lambda_n f(\mathbf{v}_n)$.
Do ánh xạ $f$ là tuyến tính, ta được $\mathbf{w}=f(\lambda_1\mathbf{v}_1+\dots+\lambda_n\mathbf{v}_n)$.
Vậy $f$ là toàn cấu.
Hệ quả sau đây thu được trực tiếp từ Định lý 17.7.
$\textbf{Hệ quả 17.8.} \ $
Cho $V,W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều. Nếu tồn tại toàn cấu
$f\colon V\rightarrow W$ thì $\dim(V)\geq\dim(W)$.
Bên cạnh việc đặc trưng một đồng cấu là toàn cấu, chúng ta có thể đặc trưng một đồng cấu là đơn cấu thông qua định lý sau đây:
$\textbf{Định lý 17.9.}\ $
Cho $f\colon V\rightarrow W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
- $f$ là đơn cấu;
- $\text{Ker}(f)=\mathbf{0}$;
- Ảnh của mọi hệ độc lập tuyến tính trong $V$ là độc lập tuyến tính trong $W;$
- Ảnh của một cơ sở nào đó của $V$ là một hệ độc lập tuyến tính trong $W$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Trước hết ta chứng minh (a)$\Rightarrow$(b). Gọi $\mathbf{v}\in \mathrm{Ker}(f)$.
Khi đó theo định nghĩa ta có $f(\mathbf{v})=\mathbf{0}$.
Mặc khác do ánh xạ $f$ là tuyến tính, ta cũng có $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$.
Theo giả thiết, $f$ là đơn cấu nên $\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
Vậy $\text{Ker}(f)=\mathbf{0}$.
Tiếp theo, ta chứng minh (b)$\Rightarrow$(c). Gọi $S$ là một hệ độc lập
tuyến tính trong $V$. Giả sử tồn tại một ràng buộc tuyến tính trong $f(S)$
dưới dạng $\lambda_1f(\mathbf{v}_1)+\cdots+\lambda_kf(\mathbf{v}_k)=\mathbf{0}$ với
$\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{K}$ và $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\in S$.
Do $f$ là ánh xạ tuyến tính nên $f(\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_k \mathbf{v}_k)=\mathbf{0}$,
hay $\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_k \mathbf{v}_k\in\mathrm{Ker}(f)$.
Theo giả thiết, $\text{Ker}(f)=\mathbf{0}$ nên
$\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_k \mathbf{v}_k=\mathbf{0}$.
Do $S$ là độc lập tuyến tính nên từ đây ta được
$\lambda_1=\dots=\lambda_k=0$. Vậy $f(S)$ là độc lập tuyến tính.
(c)$\Rightarrow$(d) là hiển nhiên vì một cơ sở của $V$ cũng là một hệ độc lập tuyến tính trong $V$.
Cuối cùng, ta chứng minh (d)$\Rightarrow$(a). Gọi $S$ là một cơ sở của $V$ sao cho $f(S)$
là hệ độc lập tuyến tính trong $W$. Giả sử $\mathbf{v},\mathbf{v}'$ là
các véctơ trong $V$ sao cho $f(\mathbf{v})=f(\mathbf{v}')$.
Do $S$ là cơ sở của $V$ nên ta có thể viết
$\mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_n\mathbf{v}_n,
\mathbf{v}'=\mu_1\mathbf{v}_1+\cdots+\mu_n\mathbf{v}_n$, với
$\lambda_i,\mu_i\in\mathbb{K},\mathbf{v}_i\in S$ với mọi $1\leq i\leq n$.
Khi đó, do $f$ là tuyến tính, ta có
$$
\begin{aligned}
\mathbf{0}
&=f(\mathbf{v})-f(\mathbf{v}')\\
&=f(\lambda_1\mathbf{v}_1+\cdots+\lambda_n\mathbf{v}_n
-\mu_1\mathbf{v}_1-\cdots-\mu_n\mathbf{v}_n)\\
&=(\lambda_1-\mu_1)f(\mathbf{v}_1)
+
\cdots +(\lambda_n-\mu_n)f(\mathbf{v}_n).
\end{aligned}
$$
Theo giả thiết, hệ các véctơ $\set{f(\mathbf{v}_1), \dots, f(\mathbf{v}_n)}$
là độc lập tuyến tính nên $\lambda_i=\mu_i$ với mọi $i=1,2,\dots,n$.
Vậy $\mathbf{v}=\mathbf{v}'$ và do đó ánh xạ $f$ là một đơn cấu.
$\textbf{Hệ quả 17.10.} \ $
Cho $V$ và $W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều.
Nếu tồn tại đơn cấu $f\colon V\rightarrow W$ thì $\dim(V)\leq\dim(W)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Gọi $s$ là số chiều của không gian véctơ $V$ và hệ $S=\{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_s\}$
là một cơ sở của $V$. Do $f$ là một đơn cấu nên theo Định lý 17.9,
hệ các véctơ $\set{f(\mathbf{v}_1),\dots, f(\mathbf{v}_s)}$ là độc lập tuyến tính.
Theo Định lý Steiniz 12.22, ta có $s\le \dim(W),$ hệ quả được chứng minh.
$\textbf{Hệ quả 17.11.} \ $
Cho $V$ và $W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều và $f\colon V\rightarrow W$
là ánh xạ tuyến tính. Khi đó, $f$ là đơn cấu khi và chỉ khi $\text{Rank}(f)=\dim (V)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Nếu $f$ là một đơn cấu, theo Định lý 17.9, ảnh của một cơ sở của $V$ là độc lập tuyến tính. Vậy
$$
\text{rk}(f)=\dim(\text{Im}(f))=\dim(V).
$$
Ngược lại, nếu $\text{rk}(f)=\dim(V)$ thì do $\text{rk}(f)=\dim(\text{Im}(f))$ nên $\dim(\text{Im}(f))=\dim(V)$.
Gọi $S=\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_s\}$ là một cơ sở của $V$. Theo Mệnh đề 17.2,
hệ $\{f(\mathbf{v}_1),\dots, f(\mathbf{v}_s)\}$ là hệ sinh của $\mathrm{Im}(f).$
Hơn thế, từ giả thiết, $\dim(\text{Im}(f))=\dim(V)=s$, hệ $\{f(\mathbf{v}_1),\dots, f(\mathbf{v}_s)\}$
là độc lập tuyến tính trong $f(V),$ và do đó cũng là một hệ độc lập tuyến tính trong $W$ (theo Nhận xét 11.8).
Áp dụng Định lý 17.9 ta có ánh xạ $f$ là một đơn cấu.
Kết hợp các Định lý 17.7, 17.9, ta thu được
$\textbf{Định lý 17.12.} \ $
Cho $f\colon V\rightarrow W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
Trong trường hợp hữu hạn chiều, từ định lý cơ bản về sự tồn tại ánh xạ tuyến tính
và tiêu chuẩn đẳng cấu (xem Định lý 15.11 và Định lý 17.12), để xác định hai không gian
véctơ có đẳng cấu với nhau hay không, ta chỉ cần kiểm tra số chiều của chúng.
- $f$ là đẳng cấu;
- $\text{Ker}(f)=\mathbf{0}$ và $\text{Im}(f)=W$;
- Nếu $S$ là một cơ sở của $V$, thì $f(S)$ là một cơ sở của $W$.
$\textbf{Hệ quả 17.13.} \ $
Hai không gian véctơ hữu hạn chiều đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau.
17.3. Định lý cơ bản về phân tích ánh xạ tuyến tính
$\textbf{Định lý 17.14} \ $
Cho $f\colon U\rightarrow W$ là ánh xạ tuyến tính và $g\colon U\rightarrow V$ là toàn cấu sao cho
$\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(f)$.
Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính $h\colon V\rightarrow W$ sao cho $f=h\circ g$.
Hơn thế nữa
- $h$ là toàn cấu khi và chỉ khi $f$ là toàn cấu;
- $h$ là đơn cấu khi và chỉ khi $\text{Ker}(f)=\text{Ker}(g)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Với mọi $\mathbf{v}\in V$, do $g$ là toàn cấu nên tồn tại véctơ $\mathbf{u}\in U$ sao cho
$g(\mathbf{u})=\mathbf{v}$. Đặt $h(\mathbf{v})=f(\mathbf{u})$.
Trước hết ta chứng minh với cách đặt này thì $h$ là một ánh xạ.
Giả sử có hai véctơ $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in U$ sao cho
$g(\mathbf{u}_1)=g(\mathbf{u}_2)=\mathbf{v}$, ta cần chứng minh $f(\mathbf{u}_1)=f(\mathbf{u}_2)$. T
hật vậy, do $g(\mathbf{u}_1)=g(\mathbf{u}_2)$ nên
$g(\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2)=\mathbf{0}$, hay $\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2\in\text{Ker}(g)$.
Theo giả thiết, $\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(f)$,
vậy nên $\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2\in\text{Ker}(f)$.
Từ đó ta có $$f(\mathbf{u}_1)- f(\mathbf{u}_2)= f(\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2)=0,$$
và $f(\mathbf{u}_1)=f(\mathbf{u}_2)$. Vậy $h$ là một ánh xạ.
Tiếp theo ta kiểm tra tính tuyến tính của $h$. Lấy $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V$ và
$\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{K}$. Theo giả thiết, $g$ là toàn cấu nên tồn tại
$\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in U$ sao cho $g(\mathbf{u}_i)=\mathbf{v}_i$ với $(i=1,2)$.
Theo cách xây dựng $h$ ta có $h(\mathbf{v}_i)=f(\mathbf{u}_i)$ với $ (i=1,2)$.
Do $g$ là ánh xạ tuyến tính nên
$g(\lambda_1\mathbf{u}_1+\lambda_2\mathbf{u}_2)=\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2$.
Theo cách xây dựng $h$ và từ tính tuyến tính của $f$, ta có
$$
\begin{aligned}
h(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2)&
=f(\lambda_1\mathbf{u}_1+\lambda_2\mathbf{u}_2)
=\lambda_1f(\mathbf{u}_1)+\lambda_2f(\mathbf{u}_2)\\
&=\lambda_1h(\mathbf{v}_1)+\lambda_2h(\mathbf{v}_2).\\
\end{aligned}
$$ Vậy ánh xạ $h$ là tuyến tính.
Từ cách xác định $h$, ta có $f=h\circ g$. Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất.
Giả sử $h'\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính thỏa $f=h'\circ g$.
Lấy véctơ $\mathbf{v}\in V$, do $g$ là toàn cấu nên tồn tại $\mathbf{u}\in U$
sao cho $g(\mathbf{u})=\mathbf{v}$. Ta có $$
h'(\mathbf{v})=h'(g(\mathbf{u}))=f(\mathbf{u})= h(\mathbf{v}).
$$
Vậy $h'\equiv h$.
Tiếp theo ta chứng minh khẳng định $(1)$. Do $g$ là toàn cấu nên $h(V)=h(g(U)=f(U)$.
Vậy $h$ là toàn cấu khi và chỉ khi $f$ là toàn cấu.
Cuối cùng, ta chứng minh $(2)$. Trước hết giả sử $h$ là đơn cấu.
Lấy $\mathbf{u}\in\text{Ker}(f)$. Khi đó $h(g(\mathbf{u}))=f(\mathbf{u})=\mathbf{0}$.
Do đó $g(\mathbf{u})\in\text{Ker}(h)$. Do $h$ đơn cấu nên từ đây ta được
$g(\mathbf{u})=\mathbf{0}$, hay $\mathbf{u}\in\text{Ker}(g)$.
Vậy $\text{Ker}(f)\subset\text{Ker}(g)$. Theo giả thiết, ta có $\text{Ker}(g)\subset\text{Ker}(f)$.
Từ đó ta được $\text{Ker}(f)=\text{Ker}(g)$. Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại.
Giả sử $\text{Ker}(f)=\text{Ker}(g)$. Lấy $\mathbf{v}\in\text{Ker}(h)$ và giả sử
$\mathbf{v}=g(\mathbf{u})$. Khi đó $\mathbf{0}=h(\mathbf{v})=h(g(\mathbf{u}))=f(\mathbf{u})$.
Từ đây suy ra $\mathbf{u}\in\text{Ker}(f)=\text{Ker}(g)$, do đó $\mathbf{v}=g(\mathbf{u})=\mathbf{0}$.
Vậy $\text{Ker}(h)=\mathbf{0}$, theo Định lý 17.9 ta có $h$ là đơn cấu.
$\textbf{Hệ quả 17.15.} \ $
Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một đồng cấu. Gọi $p\colon V\rightarrow V/\text{Ker}(f),$
$p(\mathbf{v})=\mathbf{v}+\text{Ker}(f)$ là phép chiếu tự nhiên.
Khi đó ánh xạ $\overline{f}: V/\text{Ker}(f)\rightarrow W$ xác định bởi
$\overline{f}(\mathbf{v}+\text{Ker}(f))=f(\mathbf{v}),$ là
đơn cấu duy nhất thỏa mãn $f=\overline{f}\circ p$, nó cảm sinh một đẳng cấu
$\overline{f}: V/\text{Ker}(f)\rightarrow \text{Im}(f)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Từ cách xây dựng đồng cấu $p$, thì $p$ là một toàn cấu.
Theo Định lý 17.14, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
$\overline{f}: V/\text{Ker}(f)\rightarrow W$ xác định bởi
$\overline{f}(p(\mathbf{v}))=\overline{f}(\mathbf{v}+\text{Ker}(f))=f(\mathbf{v}).$ Hơn thế,
$$
\text{Ker}(p)=\{\mathbf{v} \mid \mathbf{v}+\text{Ker}(f)=0+\text{Ker}(f)\}=\text{Ker}(f)$$
nên theo Định lý 17.14, ánh xạ $\overline{f}$ là một đơn cấu. Đơn cấu này cảm sinh một đẳng cấu
$\overline{f}: V/\text{Ker}(f)\rightarrow \text{Im}(f)$.
$\textbf{Hệ quả 17.16.} \ $
Cho $V$ là một không gian véctơ hữu hạn chiều. Khi đó, với mỗi đồng cấu $f\colon V\rightarrow W$ ta có
$$
\dim(V)=\dim(\text{Ker}(f))+\dim(\text{Im}(f)).
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Theo Hệ quả 17.15, ta có
$$
V/\text{Ker}(f)\cong \text{Im}(\overline{f})\cong \text{Im}(f).
$$
Do vậy, áp dụng định lý 17.13, ta được $\dim(V)-\dim(\text{Ker}(f))=\dim(\text{Im}(f))$.
Chuyển vế ta được đẳng thức cần chứng minh.
$\textbf{Hệ quả 17.17.} \ $
Giả sử $f: V\rightarrow V$ là một tự đồng cấu của không gian hữu hạn chiều $V$. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
- $f$ là một đẳng cấu.
- $f$ là một đơn cấu.
- $f$ là một toàn cấu.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Ta có $\dim (V)=\dim (f(V))+\dim(\text{Ker}(f))$. Do đó
$$
\begin{aligned}
f\, \text{là đơn cấu}
&\Leftrightarrow \text{Ker}(f)=\mathbf{0} \;\Leftrightarrow\;
\dim(\text{Ker}(f))=0 \;\Leftrightarrow\; \dim(f(V))=\dim(V)\\
&\Leftrightarrow f(V)=V \;\Leftrightarrow\; f\,\text{là toàn cấu}.
\end{aligned}
$$
Cho $f: V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính và $A$ là ma trận của $f$ đối với một cặp cơ sở nào đó của $V, W$. Khi đó, hạng của ma trận $A$ không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở và được xác định như sau:
$\textbf{Định lý 17.18.}\ $
Cho $V$ và $W$ là các không gian véctơ hữu hạn chiều.
Giả sử đồng cấu $f: V\rightarrow W$ có ma trận $A$ trong
một cơ sở nào đó của $V$ và $W$. Khi đó
$$
\text{Rank}(f)=\text{Rank}(A).
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Giả sử $f$ có ma trận $A$ trong cặp cơ sở
$S=\{\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_n\}$
của $V$ và $T=\{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m\}$.
Theo định nghĩa và Mệnh đề 12.36 ta có
$$\text{Rank}(f)=\dim(\text{Im}(f))
=\text{Rank} \begin{bmatrix}f(\mathbf{v}_1), \dots,f(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}.
$$
Do $\mathbf{w}_1,\dots, \mathbf{w}_m$ là một cơ sở của $W$ nên ánh xạ
$$
g\colon W\rightarrow \mathbb{K}^m,\, b_1\mathbf{w}_1+\cdots+b_m\mathbf{w}_m\mapsto
\begin{bmatrix}
b_1\\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
$$
là một đẳng cấu tuyến tính vì nó chuyển một cơ sở của $W$
thành một cơ sở của~$\mathbb{K}^m$. Theo định nghĩa, đẳng cấu $g$
chuyển $f(\mathbf{v}_i)$ thành cột thứ $i$ của ma trận $A$.
Vì đẳng cấu tuyến tính bảo toàn hạng của một hệ véctơ, nên ta có
$$
\text{Rank}(f)=\text{Rank}\begin{bmatrix}f(\mathbf{v}_1),\dots,f(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}=\text{Rank}(A).
$$
$\textbf{Hệ quả 17.19.} \ $
Cho $f\in\text{End}(V)$ là tự đồng cấu trên không gian véctơ hữu hạn chiều $V$.
Ánh xạ $f$ là tự đẳng cấu khi và chỉ khi ma trận của $f$ trong cơ sở nào đó của $V$ là khả nghịch.
Sử dụng Maple
Ở phần này, chúng ta sẽ dùng $\texttt{Maple}$ để tìm ảnh và hạt nhân của một đồng cấu $f$ cho trước. Chẳng hạn, để tìm ảnh của ánh xạ $f:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3$ với $$ f\left([x,y,z,t]^T\right) = \left([x-2y+3z,y-2z+t,x-z+2t]^T\right) $$ như trong Ví dụ 17.6, ta cần tính ảnh của cơ sở chính tắc và từ đó thu được hệ sinh cũng như cơ sở của $\mathrm{Im}(f)$.$\texttt{> with(Student[LinearAlgebra]):}$
$\texttt{> e1:= (1, 0, 0, 0):}$
$\texttt{> e2:= (0, 1, 0, 0):}$
$\texttt{> e3:= (0, 0, 1, 0):}$
$\texttt{> e4:= (0, 0, 0, 1):}$
$\texttt{> f :=(x,y,z,t)-> < x -2y +3z, y -2z +t, x -z +2t>:}$
Ảnh của $f$ và cơ sở của $\mathrm{Im}(f)$ được tính bằng:
$\texttt{> Imf := [ f(e1), f(e2), f(e3), f(e4) ];}$
$\texttt{> B := Basis(Im(f));}$
kết quả là
$$
\mathrm{Im}(f)=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\-2\\-1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}\end{bmatrix},\
B= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}3\\-2\\-1\end{bmatrix}\end{bmatrix}.
$$
Do đó, hạng của $f$ chính bằng $2$. Bằng $\texttt{Maple}$,
ta cũng có thể tính hạng của $f$ thông qua hạng ma trận bởi:
$\texttt{> Rank(< f(e1)| f(e2)| f(e3)| f(e4)>);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{2}$
Comments
Post a Comment