19.1. Các phép thế
Cho là số nguyên dương và đặt .
Một song ánh được gọi là
một . Tập hợp tất cả các phép thế bậc được ký
hiệu bởi . Với ta thường biểu diễn nó dạng
-
Với , và phép thế bậc 1 duy nhất của chính là ánh xạ
đồng nhất .
-
Với , và có hai phép thế bậc 2 là
và
-
Với , và có 6 phép thế bậc 3 gồm
và
Với thì tích hợp thành của
và được viết: Từ tính chất của các song ánh, ta nhận được
các tính chất sau:
-
với mọi
.
-
Phép thế đồng nhất thỏa với mọi .
-
Với mọi , tồn tại phép thế ngược sao
cho . Các
tính chất trên chính là các tiên đề định nghĩa một nhóm, do đó
lập thành một nhóm và được gọi là . Số phần
tử của là . Hơn nữa, nếu thì tồn tại
sao cho , chẳng
hạn
Cho và cho là các
số đôi một khác nhau.
-
Nếu giữ nguyên số trong và thỏa thì ta ký hiệu và gọi nó là một trên
.
-
Một vòng xích độ dài hai còn được gọi là một .
-
Hai vòng xích được gọi là nếu các
tập nền của chúng không có phần tử chung.
Từ Ví dụ 19.2, ta có với Trong đó , và là
các phép chuyển trí. Tuy nhiên, không tồn tại hai vòng xích độ dài hai tách
rời trong . Trường hợp , các phép chuyển trí và
trong là hai vòng xích tách rời.
Lưu ý rằng vòng xích độ dài 1 trong chỉ là phép thế đồng nhất; hai vòng
xích tách rời thỏa mãn . Kết quả dưới đây chỉ ra rằng chúng ta có thể phân tích một phép thế
thành tích các vòng xích tách rời. Trường hợp là tầm thường nên dưới đây
ta luôn giả thiết .
Mọi phép thế đều biểu diễn được
duy nhất (sai khác thứ tự) dưới dạng tích của các vòng xích tách rời. Đặc
biệt, biểu diễn được dưới dạng tích của các phép chuyển trí.
Ta định nghĩa một quan hệ tương đương trên
bởi Lớp tương đương của số là . Lưu ý rằng . Tồn tại
sao cho và , thế nên
. Gọi là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
. Ta có
Đặc biệt, ánh xạ thu hẹp của lên là một phép
thế của , hơn thế nó là một vòng xích độ dài , tức Khi đó các lớp tương đương lập thành
một phân hoạch của và là tích của các vòng xích tách rời
với chạy trên tập thương của theo quan hệ .
Tiếp theo, ta cần chứng minh thêm rằng mọi vòng xích độ dài biểu diễn
được dưới dạng tích của các phép chuyển trí. Xét vòng xích
. Ta có Vậy ta có điều phải chứng
minh.
Xét phép thế bậc Ta có và
Bây giờ xét các biến và đặt Với mỗi phép thế , tác động của
lên định bởi Vì là một song ánh, nên mỗi nhân tử
của xuất hiện đúng một lần với dấu trong
. Do đó, . Điều này đưa đến
định nghĩa dưới đây.
Cho là một phép thế bậc .
-
Số được gọi là của .
-
gọi là nếu ; là
nếu .
Với , phép thế đồng nhất
là phép thế chẵn, còn phép chuyển trí là phép thế lẻ.
Với hai phép thế , ta có Đặc biệt,
.
Ta có và Hơn nữa, ta có
Như vậy . Vì
và là phép thế chẵn, ta có
, do đó
.
- Mỗi phép chuyển trí đều là phép thế lẻ.
-
Nếu và là tích của các phép
chuyển trí , thì
.
-
Phép thế là phép thế chẵn nếu và chỉ nếu nó là tích của
một số chẵn các phép chuyển trí.
Rõ ràng (b) và (c) được suy ra ngay từ Mệnh đề 19.10
và (a). Bây giờ ta chứng minh khẳng định (a). Ta biết rằng phép chuyển trí
là một phép thế lẻ. Gọi là phép thế
hoán vị 1 cho và 2 cho . Khi đó . Ta sẽ chỉ ra rằng Thật vậy, đặt . Ta có Với , ta có
, kéo theo Thế nên
. Vì vậy, Mệnh đề 19.10 kéo theo
Phép thế được biểu diễn
dạng Thế nên
, tức là phép thế lẻ.
Tập hợp tất cả các phép thế chẵn trong được ký hiệu là Với mỗi
ta đặt Nếu thì ta có .
Cho là phép thế lẻ. Khi đó Đặc biệt,
.
Cho là phép thế lẻ. Khi đó, theo
Mệnh đề 19.10, ta có . Thế nên . Suy ra .
Đồng thời, mỗi phép thế thỏa mãn
, do đó . Mặt khác, ánh
xạ rõ ràng là một song
ánh. Vì , ta có .
19.2. Định thức của ma trận
Cho là một ma trận vuông
cấp trên trường số .
của ma trận được xác
định bởi
Định thức của ma trận còn được ký hiệu bởi Vào năm 1690, nhà toán học Leibniz
thiết lập ra công thức (19.1). Công thức này khá cổ điển nhưng thường có ích để
hiểu sâu về định thức. Rõ ràng, tổng ở vế phải của công thức có tất cả
số hạng, và mỗi số hạng là một tích của phần tử trong đó
không có hai phần tử nào cùng dòng hoặc cùng cột.
-
Nếu thì , vì và phép thế đồng nhất
là phép thế chẵn.
-
Nếu , thì và Chẳng hạn, định
thức của ma trận là
Nếu , thì có 6 phần tử với do đó
Khi là ma trận
vuông cấp 3, có thể được tính theo như sau:
-
Viết ma trận và thêm theo thứ tự cột một và cột hai ngay sau cột thứ ba
của .
-
Ba số hạng mang dấu cộng trong là tích của các phần tử nằm trên
đường song song với đường chéo chính.
-
Ba số hạng mang dấu trừ trong là tích của các phần tử nằm trên
đường song song với đường chéo phụ.
Tính định thức của ma trận sau Theo quy tắc Sarrus,
ta có
[]
Cho là ma trận vuông cấp , trong đó
là các véctơ dòng của , và cho
. Khi đó định thức có ba tính chất cơ bản sau.
-
() Nếu với
thì
-
() Nếu có hai dòng bằng nhau thì
.
- () Ta có .
-
Ta tính
-
Giả sử có dòng thứ và dòng thứ bằng nhau với . Gọi . Theo Bổ đề 19.13, ta có và . Nếu thì và
. Khi chạy khắp thì
cũng chạy khắp . Do đó Vì hai
dòng thứ và bằng nhau, nên ta có Suy ra hai số hạng trong (19.2) ứng
với mỗi là đối nhau. Vậy .
-
Ta có , ở đây là ký hiệu
Kronecker. Với ta thấy Do vậy
Với ba đặc trưng trên, ánh xạ định thức là
xác định duy nhất (xem [Hung2001, Hệ quả 3.7, trang 134] hay [Fischer2014, Mục
3.2.5, trang 192]). Một số tính chất cơ bản khác của định thức được liệt kê ở
mệnh đề sau đây.
Cho
là ma trận vuông cấp .
-
Ta có với mọi
.
- Nếu chứa dòng không thì .
-
Nếu ma trận nhận được từ ma trận qua phép đổi chỗ hai dòng thì
.
-
Nếu ma trận nhận được từ qua phép cộng một tích của
với dòng thứ vào dòng thứ () thì
.
-
Nếu là ma trận tam giác trên thì .
- nếu và chỉ nếu .
- Ta có .
Trước hết, ta nhận thấy rằng các khẳng định a và b
được suy ra ngay từ Định lý 19.19.a. Bây giờ ta chứng minh các khẳng định còn
lại.
c. Giả sử nhận được từ qua phép biến đổi dòng sơ cấp
với . Gọi là dòng thứ của ma
trận với . Khi đó, theo Định lý 19.19.a-b, ta có tức
, và do đó c được chứng minh.
d. Gọi là ma trận nhận từ qua phép biến đổi dòng sơ cấp với . Theo Định lý 19.19.a-b, ta thấy rằng
e. Giả sử là ma trận tam giác trên. Trước tiên ta xét trường hợp
với mọi . Khi đó, dùng phép biến đổi dòng sơ cấp
, tính chất d và Định lý 19.19, ta có Trường hợp tồn tại sao cho , ta chọn lớn nhất
trong số các chỉ số này, tức với mọi . Lại dùng
phép biến đổi dòng sơ cấp với , ta
đưa dòng thứ trở thành dòng không. Theo b, ta thu được .
f. Qua các phép biến đổi dòng sơ cấp và , ta đưa ma trận về ma trận dạng bậc thang. Đặc biệt, vì
là ma trận vuông nên là ma trận tam giác trên. Từ c-d, ta có
. Hơn nữa,
. Theo e, ta nhận được
g. Xét . Khi đó với . Ta có
Ở trên được suy ra bởi
từ Mệnh đề 19.10 và với mọi ; còn được suy ra
bởi thực tế rằng ánh xạ là
song ánh vì tính duy nhất của phép thế ngược.
Cho ma trận vuông .
-
Trong thực hành tính định thức của ma trận , người ta sử dụng các phép
biến đổi dòng sơ cấp như sau. Dùng các phép biến đổi dòng sơ cấp dạng
và để biến đổi ma trận về ma
trận tam giác trên . Gọi là số lần phép biến đổi được thực hiện trong quá trình trên. Khi đó
-
Tương tự các phép biến đổi dòng sơ cấp, ta có các phép biến đổi cột sơ cấp
, , đối với ma trận
. Đặc biệt, tính chất g của Mệnh đề 19.20 chỉ ra rằng chúng ta có thể
tính qua các phép biến đổi cột sơ cấp, hay qua việc kết
hợp các phép biến đổi dòng và cột sơ cấp. Đặc biệt, các tính chất của định
thức đúng với dòng thì cũng đúng với cột.
Bằng phép biến đổi dòng sơ cấp tính định thức của ma
trận sau Ta
có
Tính định thức ma trận sau Ta có Tổng quát hơn, ta tính định
thức ma trận cấp như sau: Ta có
19.3. Định lý nhân định thức
Một trong các tính chất cơ bản của định thức của ma trận là định lý sau.
Cho là hai ma
trận vuông cấp . Ta có
Viết , và , và gọi (t.ư. )
là dòng thứ của (t.ư. ). Khi đó, phần tử thứ của
là do đó Từ tính tuyến tính theo dòng
của định thức ta có Các số hạng trong tổng
cuối là bằng không nếu với , vì định thức của ma trận có hai
dòng bằng nhau là 0 theo Mệnh đề 19.20. Thế nên, tổng cuối ở trên chỉ cần lấy
trên các hoán vị của , suy ra Vì vậy
.
Nếu là ma trận khả
nghịch thì
Ta biết rằng là khả nghịch nếu và chỉ nếu
theo Định lý 9.6. Từ Mệnh đề 19.20.f ta có
. Do vậy, Định lý 19.24 và tính chuẩn hóa của định thức
suy ra
Tính định thức của ma trận vuông cấp sau Nhận thấy rằng Do đó
Sử dụng Maple
Lệnh tính định thức của một ma trận trong gói của
là . Chẳng hạn, ta tính định thức của
ma trận trong Ví dụ 19.18 như sau:
như vậy tính toán chỉ ra . Hơn nữa, chúng ta có thể kiểm
tra công thức định thức của ma trận trong Ví dụ 19.23 qua tính toán một
số trường hợp của như sau:
+ Với , ta thấy
và kết quả trùng với tính toán ở Ví dụ 19.23 là
+ Với , ta có
và thế nên và công thức của
cũng đúng với , v.v. Hơn nữa,
ta có thể kiểm tra công thức bằng vòng lặp cho như
sau:
Trong trường hợp, ma trận chứa tham số thì vẫn cho phép ta
tính toán định thức của ma trận, chẳng hạn:
tức là and
Comments
Post a Comment