Skip to main content

Mục lục

Bài 19: ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

19.1. Các phép thế

Cho n là số nguyên dương và đặt I:={1,2,,n}.

Định nghĩa 19.1. Một song ánh σ:II được gọi là một phép thế bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu bởi Sn. Với σSn ta thường biểu diễn nó dạng σ=(12nσ(1)σ(2)σ(n)).

Ví dụ 19.2.
  1. Với n=1, I={1} và phép thế bậc 1 duy nhất của S1 chính là ánh xạ đồng nhất idI.  
  2.  Với n=2, I={1,2}S2 có hai phép thế bậc 2 là idI=(1212)σ=(1221). 
  3.  Với n=3, I={1,2,3}S3 có 6 phép thế bậc 3 gồm σ1=idIσ2=(123213),σ3=(123321),σ4=(123132),σ5=(123231),σ6=(123312).

Nhận xét 19.3. Với σ,τSn thì tích hợp thành của στ được viết: τσ=(12nτ(1)τ(2)τ(n))(12nσ(1)σ(2)σ(n))=(12nτ(σ(1))τ(σ(2))τ(σ(n))). Từ tính chất của các song ánh, ta nhận được các tính chất sau:

  1. σ(τϱ)=(στ)ϱ với mọi σ,τ,ϱSn.  
  2. Phép thế đồng nhất id:=idISn thỏa σid=σ=idσ với mọi σSn.
  3. Với mọi σSn, tồn tại phép thế ngược σ1Sn sao cho σσ1=id=σ1σ. Các tính chất trên chính là các tiên đề định nghĩa một nhóm, do đó (Sn,) lập thành một nhóm và được gọi là nhóm đối xứng bậc n. Số phần tử của Snn!=12n. Hơn nữa, nếu n3 thì tồn tại σ,τSn sao cho σττσ, chẳng hạn (123213)(123132)=(123231)(123312)=(123132)(123213).
Định nghĩa 19.4. Cho 1rn và cho i1,...,irI là các số đôi một khác nhau.
  1. Nếu σSn giữ nguyên nr số trong I{i1,,ir} và thỏa σ(i1)=i2, σ(i2)=i3, ..., σ(ir1)=ir, σ(ir)=i1, thì ta ký hiệu σ=(i1,i2,,ir) và gọi nó là một vòng xích độ dài r trên tập nền {i1,,ir}.
  2. Một vòng xích độ dài hai còn được gọi là một phép chuyển trí.
  3. Hai vòng xích σ,τSn được gọi là tách rời nếu các tập nền của chúng không có phần tử chung.

Ví dụ 19.5. Từ Ví dụ 19.2, ta có S3={σ1=id,σ2,σ3,σ4,σ5,σ6} với σ2=(1,2),σ3=(1,3),σ4=(2,3),σ5=(1,2,3),σ6=(1,3,2). Trong đó σ2, σ3σ4 là các phép chuyển trí. Tuy nhiên, không tồn tại hai vòng xích độ dài hai tách rời trong S3. Trường hợp n=4, các phép chuyển trí σ=(1,2)τ=(3,4) trong S4 là hai vòng xích tách rời.

Lưu ý rằng vòng xích độ dài 1 trong Sn chỉ là phép thế đồng nhất; hai vòng xích tách rời σ,τSn thỏa mãn στ=τσ. Kết quả dưới đây chỉ ra rằng chúng ta có thể phân tích một phép thế thành tích các vòng xích tách rời. Trường hợp n=1 là tầm thường nên dưới đây ta luôn giả thiết n2.

Định lý 19.6.  Mọi phép thế σSn đều biểu diễn được duy nhất (sai khác thứ tự) dưới dạng tích của các vòng xích tách rời. Đặc biệt, σ biểu diễn được dưới dạng tích của các phép chuyển trí.

Chứng minh.  Ta định nghĩa một quan hệ tương đương trên I={1,2,,n} bởi ijj=σk(i) với k0 nào đó. Lớp tương đương của số iI[i]={σk(i)kN}. Lưu ý rằng [i]I. Tồn tại k,l0 sao cho σk(i)=σl(i)k<l, thế nên σlk(i)=i. Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho σm(i)=i. Ta có [i]={i,σ(i),,σm1(i)}. Đặc biệt, ánh xạ thu hẹp σ|[i] của σ lên [i] là một phép thế của [i], hơn thế nó là một vòng xích độ dài m, tức σ|[i]=(i,σ(i),,σm1(i)). Khi đó các lớp tương đương lập thành một phân hoạch của Iσ là tích của các vòng xích tách rời σ|[i] với [i] chạy trên tập thương của I theo quan hệ . Tiếp theo, ta cần chứng minh thêm rằng mọi vòng xích độ dài r>2 biểu diễn được dưới dạng tích của các phép chuyển trí. Xét vòng xích (i1,i2,,ir)Sn. Ta có (i1,i2,,ir)=(i1,i2,,ir1)(ir1,ir)==(i1,i2)(i2,i3)(ir1,ir). Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 19.7.  Xét phép thế bậc 9 σ=(123456789641253897)S9. Ta có σ=(1,6,3)(2,4)(5)(7,8,9)=(1,6)(6,3)(2,4)(7,8)(8,9)σ1=(3,6,1)(4,2)(5)(9,8,7)=(3,6)(6,1)(4,2)(9,8)(8,7).

Bây giờ xét các biến x1,,xn và đặt Δn:=1i<jn(xjxi). Với mỗi phép thế σSn, tác động của σ lên Δn định bởi σ(Δn):=1i<jn(xσ(j)xσ(i)).σ là một song ánh, nên mỗi nhân tử xjxi của Δn xuất hiện đúng một lần với dấu ± trong σ(Δ). Do đó, σ(Δn)=±Δn. Điều này đưa đến định nghĩa dưới đây.

Định nghĩa 19.8.  Cho σSn là một phép thế bậc n.
  1. Số sign(σ):=σ(Δn)Δn{±1} được gọi là dấu của σ.
  2. σ gọi là phép thế chẵn nếu sign(σ)=1; là phép thế lẻ nếu sign(σ)=1.

Ví dụ 19.9.  Với n2, phép thế đồng nhất idSn là phép thế chẵn, còn phép chuyển trí τ0=(1,2)Sn là phép thế lẻ.

Mệnh đề 19.10.  Với hai phép thế σ,τSn, ta có sign(τσ)=sign(τ)sign(σ). Đặc biệt, sign(σ1)=sign(σ).

Chứng minh.  Ta có sign(σ)=1i<jnxσ(j)xσ(i)xjxisign(τσ)=1i<jn(xτ(σ(j))xτ(σ(i)))1i<jn(xσ(j)xσ(i))1i<jn(xσ(j)xσ(i))1i<jn(xjxi). Hơn nữa, ta có 1i<jnxτ(σ(j))xτ(σ(i))xσ(j)xσ(i)= i<jσ(i)<σ(j)xτ(σ(j))xτ(σ(i))xσ(j)xσ(i) i<jσ(i)>σ(j)xτ(σ(j))xτ(σ(i))xσ(j)xσ(i) = i<jσ(i)<σ(j)xτ(σ(j))xτ(σ(i))xσ(j)xσ(i) i>jσ(i)<σ(j)xτ(σ(j))xτ(σ(i))xσ(j)xσ(i) =1σ(i)<σ(j)nxτ(σ(j))xτ(σ(i))xσ(j)xσ(i)=sign(τ). Như vậy sign(τσ)=sign(τ)sign(σ). Vì σσ1=idid là phép thế chẵn, ta có sign(σ)sign(σ1)=1, do đó sign(σ)=sign(σ1){±1}.

Hệ quả 19.11. 
  1. Mỗi phép chuyển trí σ=(i,j)Sn đều là phép thế lẻ.
  2. Nếu σSnσ=τ1τk là tích của các phép chuyển trí τ1,,τkSn, thì sign(σ)=(1)k.
  3. Phép thế σSn là phép thế chẵn nếu và chỉ nếu nó là tích của một số chẵn các phép chuyển trí.

Chứng minh.  Rõ ràng (b) và (c) được suy ra ngay từ Mệnh đề 19.10 và (a). Bây giờ ta chứng minh khẳng định (a). Ta biết rằng phép chuyển trí τ0=(1,2) là một phép thế lẻ. Gọi τ=(1,i)(2,j) là phép thế hoán vị 1 cho i và 2 cho j. Khi đó τ1=τ. Ta sẽ chỉ ra rằng σ=(i,j)=ττ0τ1. Thật vậy, đặt σ:=ττ0τ1. Ta có σ(i)=τ(τ0(1))=τ(2)=j=σ(i)  và  σ(j)=τ(τ0(2))=τ(1)=i=σ(j). Với k{i,j}, ta có τ1(k){1,2}, kéo theo σ(k)=τ(τ0(τ1(k)))=τ(τ1(k))=k=σ(k). Thế nên σ=σ. Vì vậy, Mệnh đề 19.10 kéo theo sign(σ)=sign(τ)sign(τ0)sign(τ1)=sign(τ0)=1.

Ví dụ 19.12.  Phép thế σ=(123456789641253897)S9 được biểu diễn dạng σ=(1,6)(6,3)(2,4)(7,8)(8,9). Thế nên sign(σ)=(1)5=1, tức σ là phép thế lẻ.

Tập hợp tất cả các phép thế chẵn trong Sn được ký hiệu là An:={σSnsign(σ)=1}Sn. Với mỗi τSn ta đặt Anτ:={στσAn}. Nếu sign(τ)=1 thì ta có Anτ=An.

Mệnh đề 19.13.  Cho τSn là phép thế lẻ. Khi đó Sn=AnAnτAnAnτ=. Đặc biệt, |An|=n!2.

Chứng minh.  Cho σSn là phép thế lẻ. Khi đó, theo Mệnh đề 19.10, ta có sign(στ1)=1. Thế nên σ=(στ1)τAnτ. Suy ra Sn=AnAnτ. Đồng thời, mỗi phép thế σAnτ thỏa mãn sign(σ)=1, do đó AnAnτ=. Mặt khác, ánh xạ AnAnτ,σστ rõ ràng là một song ánh. Vì |Sn|=n!, ta có |An|=|Anτ|=|Sn|2=n!2.

19.2. Định thức của ma trận

Cho A=(aij)n×nMatn(K) là một ma trận vuông cấp n trên trường số K.
Định nghĩa 19.14.  Định thức của ma trận A được xác định bởi (19.1)det(A):=σSnsign(σ)a1σ(1)anσ(n)
Định thức của ma trận A còn được ký hiệu bởi |A|hoặc|a11a1nan1ann|. Vào năm 1690, nhà toán học Leibniz thiết lập ra công thức (19.1). Công thức này khá cổ điển nhưng thường có ích để hiểu sâu về định thức. Rõ ràng, tổng ở vế phải của công thức có tất cả |Sn|=n! số hạng, và mỗi số hạng là một tích của n phần tử aij trong đó không có hai phần tử nào cùng dòng hoặc cùng cột.
Ví dụ 19.15. 
  1. Nếu A=(a11)Mat1(K) thì det(A)=a11K, vì S1={id} và phép thế đồng nhất id là phép thế chẵn.
  2. Nếu A=[a11a12a21a22]Mat2(K), thì S2={id,(1,2)}det(A)=|a11a12a21a22|=a11a22a12a21. Chẳng hạn, định thức của ma trận [1234]|1234|=1423=2.

Ví dụ 19.16.  Nếu A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]Mat3(K), thì S3 có 6 phần tử với S3={id,(1,2,3),(1,3,2),(1,3),(2,3),(1,2)}, do đó det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33.
Nhận xét 19.17.  Khi AMat3(K) là ma trận vuông cấp 3, det(A) có thể được tính theo Quy tắc Sarrus như sau:
  • Viết ma trận A và thêm theo thứ tự cột một và cột hai ngay sau cột thứ ba của A.
  • Ba số hạng mang dấu cộng trong det(A) là tích của các phần tử nằm trên đường song song với đường chéo chính.
  • Ba số hạng mang dấu trừ trong det(A) là tích của các phần tử nằm trên đường song song với đường chéo phụ.
Ví dụ 19.18.  Tính định thức của ma trận sau A=[121211321]. Theo quy tắc Sarrus, ta có det(A)=11(1)+213+12211311222(1)=1+6+432+4=8.

Định lý 19.19 [Tính chất đặc trưng của định thức]

Cho A=[a1an]Matn(K) là ma trận vuông cấp n, trong đó a1,,an là các véctơ dòng của A, và cho i{1,,n}. Khi đó định thức có ba tính chất cơ bản sau.
  1. (Tuyến tính theo dòng)   Nếu ai=λai+μai với λ,μK thì det[ai]=λdet[ai]+μdet[ai].
  2. (Thay phiên)  Nếu A có hai dòng bằng nhau thì det(A)=0.
  3. (Chuẩn hóa)  Ta có det(In)=1.

Chứng minh. 

  1. Ta tính det[λai+μai]=σSnsign(σ)a1σ(1)(λaiσ(i)+μaiσ(i))anσ(n)=σSnsign(σ)a1σ(1)(λaiσ(i))anσ(n)+σSnsign(σ)a1σ(1)(μaiσ(i))anσ(n)=λdet[ai]+μdet[ai].
  2. Giả sử A có dòng thứ k và dòng thứ l bằng nhau với l>k. Gọi τ=(k,l)Sn. Theo Bổ đề 19.13, ta có Sn=AnAnτAnAnτ=. Nếu σAn thì sign(σ)=1σ(στ)=1. Khi σ chạy khắp An thì στ cũng chạy khắp Anτ. Do đó (19.2)det(A)=σAna1σ(1)anσ(n)σAna1σ(τ(1))anσ(τ(n)) Vì hai dòng thứ kl bằng nhau, nên ta có a1σ(τ(1))akσ(τ(k))alσ(τ(l))anσ(τ(n))=a1σ(τ(1))akσ(l)alσ(k)anσ(τ(n))=a1σ(τ(1))akσ(k)alσ(l)anσ(τ(n))=a1σ(τ(1))anσ(τ(n)). Suy ra hai số hạng trong (19.2) ứng với mỗi σAn là đối nhau. Vậy det(A)=0.
  3. Ta có In=(δij)n×n, ở đây δij là ký hiệu Kronecker. Với σSn ta thấy δ1σ(1)δnσ(n)={0 nếu σNeid,1 nếu σ=id. Do vậy det(In)=σSnsign(σ)δ1σ(1)δnσ(n)=sign(id)=1.
Với ba đặc trưng trên, ánh xạ định thức det:Matn(K)K,Adet(A) là xác định duy nhất (xem [Hung2001, Hệ quả 3.7, trang 134] hay [Fischer2014, Mục 3.2.5, trang 192]). Một số tính chất cơ bản khác của định thức được liệt kê ở mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 19.20.  Cho A=(aij)Matn(K) là ma trận vuông cấp n.

  1. Ta có det(λA)=λndet(A) với mọi λK.
  2. Nếu A chứa dòng không thì det(A)=0.
  3. Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A qua phép đổi chỗ hai dòng thì det(B)=det(A).
  4. Nếu ma trận B nhận được từ A qua phép cộng một tích của λK với dòng thứ j vào dòng thứ i (ij) thì det(B)=det(A).
  5. Nếu A là ma trận tam giác trên thì det(A)=a11a22ann.
  6. det(A)=0 nếu và chỉ nếu rk(A)<n.
  7. Ta có det(AT)=det(A).

Chứng minh.  Trước hết, ta nhận thấy rằng các khẳng định a và b được suy ra ngay từ Định lý 19.19.a. Bây giờ ta chứng minh các khẳng định còn lại.

c.  Giả sử B nhận được từ A qua phép biến đổi dòng sơ cấp didj với j>i. Gọi ai là dòng thứ i của ma trận A với i=1,,n. Khi đó, theo Định lý 19.19.a-b, ta có det[aiaj]+det[ajai]=det[aiai]+det[aiaj]+det[ajai]+det[ajaj]=det[aiai+aj]+det[ajai+aj]=det[ai+ajai+aj]=0, tức det(A)+det(B)=0, và do đó c được chứng minh.

d.  Gọi B là ma trận nhận từ A qua phép biến đổi dòng sơ cấp di+λdj với λK. Theo Định lý 19.19.a-b, ta thấy rằng det(B)=det[ai+λajaj]=det(A)+λdet[ajaj]=det(A).

e.  Giả sử A là ma trận tam giác trên. Trước tiên ta xét trường hợp aii0 với mọi i=1,,n. Khi đó, dùng phép biến đổi dòng sơ cấp di+λdj, tính chất d và Định lý 19.19, ta có det(A)=det[a1100ann]=a11anndet(In)=a11ann. Trường hợp tồn tại i sao cho aii=0, ta chọn i lớn nhất trong số các chỉ số này, tức ajj0 với mọi j=i+1,,n. Lại dùng phép biến đổi dòng sơ cấp di+λdj với j{i+1,,n}, ta đưa dòng thứ i trở thành dòng không. Theo b, ta thu được det(A)=a11ann=0.

f.  Qua các phép biến đổi dòng sơ cấp didjdi+λdj, ta đưa ma trận A về ma trận B dạng bậc thang. Đặc biệt, vì A là ma trận vuông nên B là ma trận tam giác trên. Từ c-d, ta có det(A)=±det(B). Hơn nữa, rk(A)=rk(B). Theo e, ta nhận được rk(B)=ndet(B)=b11bnn0.

g.  Xét A=(aij)n×n. Khi đó AT=(aij)n×n với aij=aji. Ta có det(AT)=σSnsign(σ)a1σ(1)anσ(n)=σSnsign(σ)aσ(1)1aσ(n)n=()σSnsign(σ1)a1σ1(1)anσ1(n)=()det(A). Ở trên () được suy ra bởi sign(σ)=sign(σ1) từ Mệnh đề 19.10 và aσ(1)1aσ(n)n=a1σ1(1)anσ1(n) với mọi σSn; còn () được suy ra bởi thực tế rằng ánh xạ SnSn,σσ1, là song ánh vì tính duy nhất của phép thế ngược.

Nhận xét 19.21.  Cho ma trận vuông AMatn(K).

  1. Trong thực hành tính định thức của ma trận A, người ta sử dụng các phép biến đổi dòng sơ cấp như sau. Dùng các phép biến đổi dòng sơ cấp dạng didjdi+λdj để biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên B. Gọi k là số lần phép biến đổi didj được thực hiện trong quá trình trên. Khi đó det(A)=(1)kdet(B)=(1)kb11bnn.
  2. Tương tự các phép biến đổi dòng sơ cấp, ta có các phép biến đổi cột sơ cấp cicj, λci, ci+λcj đối với ma trận A. Đặc biệt, tính chất g của Mệnh đề 19.20 chỉ ra rằng chúng ta có thể tính det(A) qua các phép biến đổi cột sơ cấp, hay qua việc kết hợp các phép biến đổi dòng và cột sơ cấp. Đặc biệt, các tính chất của định thức đúng với dòng thì cũng đúng với cột.
Ví dụ 19.22.  Bằng phép biến đổi dòng sơ cấp tính định thức của ma trận sau A=[121211321]. Ta có det(A)=|121211321|=d22d1d33d1|121031044|=(4)|121031011|=d2d34|121011031|=d3+3d24|121011002|=4112=8.

Ví dụ 19.23.  Tính định thức ma trận sau B=[1234212332124321]. Ta có det(B)=|1234212332124321|=c1+c45|1234112312121321|=i=2,3,4did15|1234011100220113|=d4+d25|1234011100220024|=d4d35|1234011100220002|=20. Tổng quát hơn, ta tính định thức ma trận Cn cấp n2 Cn=[123n212n1321n2nn1n21]. như sau: Ta có det(Cn)=|123n212n1321n2nn1n21|=i=1,,n1ci+cn|n+1n+2n+3nn+1nn+1n1n+1nn1n2n+1nn11|=i=n,,2didi1|n+1n+2n+3n022100210001|=(n+1)(1)n12n2.

19.3. Định lý nhân định thức

Một trong các tính chất cơ bản của định thức của ma trận là định lý sau.

Định lý 19.24  Cho A,BMatn(K) là hai ma trận vuông cấp n. Ta có det(AB)=det(BA)=det(A)det(B).

Chứng minh.  Viết A=(aij)n×n, B=(bjk)n×nAB=(cik)n×n, và gọi bi (t.ư. ci) là dòng thứ i của B (t.ư. AB). Khi đó, phần tử thứ k của ci[ci]k=cik=j=1naijbjk=j=1naij[bj]k=[j=1naijbj]k, do đó ci=ai1b1++ainbn. Từ tính tuyến tính theo dòng của định thức ta có det(AB)=det[a11b1++a1nbnan1b1++annbn]=i1=1nin=1ndet[a1i1bi1aninbin]=i1=1nin=1na1i1anindet[bi1bin]. Các số hạng trong tổng cuối là bằng không nếu ik=il với kl, vì định thức của ma trận có hai dòng bằng nhau là 0 theo Mệnh đề 19.20. Thế nên, tổng cuối ở trên chỉ cần lấy trên các hoán vị i1,,ir của 1,,n, suy ra det(AB)=σSna1σ(1)anσ(n)det[bσ(1)bσ(n)]=σSna1σ(1)anσ(n)sign(σ)det[b1bn]=(σSnsign(σ)a1σ(1)anσ(n))det(B)=det(A)det(B). Vì vậy det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA).

Hệ quả 19.25  Nếu AMatn(K) là ma trận khả nghịch thì det(A1)=1det(A).

Chứng minh.  Ta biết rằng A là khả nghịch nếu và chỉ nếu rk(A)=n theo Định lý 9.6. Từ Mệnh đề 19.20.f ta có det(A)0. Do vậy, Định lý 19.24 và tính chuẩn hóa của định thức suy ra det(A)det(A1)=det(AA1)=det(In)=1.

Ví dụ 19.26.  Tính định thức của ma trận vuông cấp n sau A=[1+a1b11+a1b21+a1bn1+a2b11+a2b21+a2bn1+anb11+anb21+anbn] Nhận thấy rằng A=[1a1001a2001an00][111b1b2bn000000] Do đó det(A)=|1a1001a2001an00||111b1b2bn000000|={0  nếu n>2,(a2a1)(b2b1)  nếu n=2.

Sử dụng Maple

Lệnh tính định thức của một ma trận trong gói LinearAlgebra của MapleDeterminant. Chẳng hạn, ta tính định thức của ma trận A trong Ví dụ 19.18 như sau:
> with(LinearAlgebra);
> A := <<1, 2, 3>|<2, 1, 2>|<1, 1, -1>>:
> Determinant(A);
8
như vậy tính toán chỉ ra det(A)=8. Hơn nữa, chúng ta có thể kiểm tra công thức định thức của ma trận Cn trong Ví dụ 19.23 qua tính toán một số trường hợp của n như sau:

+ Với n=4, ta thấy

> C4 := <<1,2,3,4>|<2,1,2,3>|<3,2,1,2>|<4,3,2,1>>:
> Determinant(C4);
-20
và kết quả trùng với tính toán ở Ví dụ 19.23 là det(B)=det(C4)=20=(4+1)(1)3242.

+ Với n=5, ta có

> C5 := <<1,2,3,4,5>|<2,1,2,3,4>|<3,2,1,2,3>
 |<4,3,2,1,2>|<5,4,3,2,1>>:
> Determinant(C5);
48
và thế nên det(C5)=48=(5+1)(1)423 và công thức của det(Cn)=(n+1)(1)n12n2 cũng đúng với n=5, v.v. Hơn nữa, ta có thể kiểm tra công thức bằng vòng lặp for cho n=1,...,10 như sau:
> for n from 1 by 1 to 10 do
 f := (j, k)->|j-k|:
 Cn := Matrix(n,n,1) +Matrix(n,f): #tạo ma trận Cn
 evalb(Determinant(Cn) = (n+1)*(-1)^(n-1)*2^(n-2));
 end do
Trong trường hợp, ma trận chứa tham số thì Maple vẫn cho phép ta tính toán định thức của ma trận, chẳng hạn:
 > A := <<1+a*x,1+b*x>|<1+a*y,1+b*y>>:
 > Determinant(A);
 a*x-a*y-b*x+b*y
> B := <<1+a*x,1+b*x,1+c*x>|<1+a*y,1+b*y,1+c*y>
|<1+a*z,1+b*z,1+c*z>>:
> Determinant(B);
 0
tức là det(A)=|1+ax1+ay1+bx1+by|=(ab)(xy) and det(B)=|1+ax1+ay1+az1+bx1+by1+bz1+cx1+cy1+cz|=0.

Comments

Popular posts from this blog

Bài 8: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

Trong các mục trước, ma trận là một công cụ hữu hiệu dùng để giải hệ phương trình tuyến tính. Thật ra, chính bản thân nội tại của ma trận cũng có nhiều tính chất thú vị. Các phép toán được giới thiệu sau đây cho thấy sự hữu ích của nó về cả lý thuyết và thực hành trong các chương tiếp theo. Chẳng hạn, nếu xem ma trận là một ngôn ngữ để diễn tả khái niệm trừu tượng ánh xạ tuyến tính trong Chương 4, thì các phép toán này là vốn từ vựng cần thiết. 8.1. Cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số Hai phép toán đầu tiên được giới thiệu ở đây là phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với một số. Cho K là trường số (Q, R hay C), m,n là hai số nguyên dương, và cho hai ma trận A=(aij)m×n, B=(bij)m×nMatm,n(K)λK. Định nghĩa 8.1.  Tổng của hai ma trận AB, ký hiệu là A+B, là một ma trận cấp m×n trên trường K xác định bởi...

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ    1 TẬP HỢP  2 ÁNH XẠ  3 VÀNH VÀ TRƯỜNG SỐ  Chương II: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH   4 GIỚI THIỆU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  5 MA TRẬN   6 PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN   7 BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG  8 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN  9 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH VÀ CÁC TÍNH CHẤT  Chương III: KHÔNG GIAN VÉCTƠ  10 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VÉCTƠ  11 HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 12 CƠ SỞ VÀ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ 13 TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ  14 TỔNG VÀ TỔNG TRỰC TIẾP Chương  IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   15 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  16 MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  17 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ĐỒNG CẤU  18 KHÔNG GIAN VÉCTƠ ĐỐI NGẪU Chương V: ĐỊNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG   19 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN   20 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC.  21 CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC   Chương VI: GIÁ TRỊ RIÊNG V...

Bài 3: VÀNH VÀ TRƯỜNG SỐ

Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu ngắn gọn các khái niệm ``tổng quát'' về vành, trường và vành đa thức trên trường cùng một số tính chất cơ bản của chúng. Tiếp đó chúng ta sẽ xem xét về cấu trúc của trường số phức và các biểu diễn của số phức. 3.1. Vành Giả sử R là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Một phép toán  ``'' trong R là một quy tắc ứng mỗi cặp (a,b)R2 với một phần tử của R, ký hiệu là ab. Nói cách khác, mỗi phép toán ``'' trong R là một ánh xạ :R2R,(a,b)f(a,b)=ab. Chẳng hạn, ta có phép toán cộng a+b và phép toán nhân ab thông thường trong các tập số N, Z, Q, R. Định nghĩa 3.1.  Một vành R là một tập khác rỗng có hai phép toán cộng và nhân $$ +: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a+b,\quad \cdot: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a\...