Trong mục này ta sẽ quy bài toán tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ trên
trường số $\mathbb{K}$ về việc tính định thức của các ma trận vuông cấp nhỏ hơn,
đồng thời ta sẽ xét ứng dụng đầu tiên của định thức là đưa ra công thức tính ma
trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch.
20.1. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông
Cho $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ là một ma trận vuông cấp $n$ trên
$\mathbb{K}$, và cho $1\le i,j\le n$. Gọi
$A_{ij}\in\mathrm{Mat}_{n-1}(\mathbb{K})$ là ma trận nhận được từ ma trận $A$
sau khi xóa đi dòng $i$ và cột $j$. Ta đặt $$ a_{ij}^{\sharp} :=
(-1)^{i+j}\det(A_{ji}),\qquad A^\sharp := (a_{ij}^{\sharp})_{n\times n} \in
\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K}). $$
$\textbf{Định nghĩa 20.1.}$
-
Ma trận $A_{ij}$ được gọi là $\textbf{ma trận bù}$ của phần tử $a_{ij}$;
và định thức $\det(A_{ij})$ được gọi là $\textbf{định thức bù}$ của
$a_{ij}$.
-
Ma trận $A^{\sharp}$ được gọi là $\textbf{ma trận phụ hợp}$ của ma trận
$A$.
$\textbf{Ví dụ 20.2.}\ $ Xét các ma trận $$ A = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4
\end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} 0& 1& 2\\ 3& 4& 5\\ 6& 7& 8 \end{bmatrix}.
$$ Các ma trận bù và ma trận phụ hợp của $A$ và $B$ được tính dưới đây:
-
Ta có $A_{11} = [\,4\,],\ A_{12} = [\,3\,],\ A_{21} = [\,2\,],\ A_{22} =
[\,1\,]$. Suy ra $a_{11}^\sharp =4$, $a_{12}^\sharp =-2$, $a_{21}^\sharp
=-3$, và $a_{22}^\sharp =1$. Do đó $A^\sharp =
\begin{bmatrix}a_{11}^\sharp & a_{12}^\sharp\\ a_{21}^\sharp &
a_{22}^\sharp \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4& -2\\ -3& 1\end{bmatrix}$.
-
Tương tự, ta có \begin{align*} & B_{11} = \begin{bmatrix}4& 5\\
7& 8\end{bmatrix},\quad B_{12} = \begin{bmatrix}3& 5\\ 6& 8\end{bmatrix},
\quad B_{13} = \begin{bmatrix}3& 4\\ 6& 7\end{bmatrix},\\ & B_{21} =
\begin{bmatrix}1& 2\\ 7& 8\end{bmatrix},\quad
B_{22} = \begin{bmatrix}0& 2\\
6& 8\end{bmatrix}, \quad
B_{23} = \begin{bmatrix}0& 1\\ 6& 7\end{bmatrix},\\
& B_{31} = \begin{bmatrix}1& 2\\ 4& 5\end{bmatrix},\quad
B_{32} =
\begin{bmatrix}0& 2\\ 3& 5\end{bmatrix}, \quad
B_{33} = \begin{bmatrix}0& 1\\
3& 4\end{bmatrix}. \end{align*} Kéo theo \begin{align*} & b_{11}^\sharp =
(-1)^{1+1}\det(B_{11})=\det\begin{bmatrix}4& 5\\ 7& 8\end{bmatrix}=-3,\\
& b_{12}^\sharp = (-1)^{1+2}\det(B_{21})= -\det\begin{bmatrix}1& 2\\
7& 8\end{bmatrix}= 6,\\ & b_{13}^\sharp = (-1)^{1+3}\det(B_{31})=
\det\begin{bmatrix}1& 2\\ 4& 5\end{bmatrix}= -3, \end{align*}
\begin{align*}
& b_{21}^\sharp = (-1)^{2+1}\det(B_{12})=-\det\begin{bmatrix}3& 5\\
6& 8\end{bmatrix}=6,\\ & b_{22}^\sharp = (-1)^{2+2}\det(B_{22})=
\det\begin{bmatrix}0& 2\\ 6& 8\end{bmatrix}=-12,\\ & b_{23}^\sharp =
(-1)^{2+3}\det(B_{32})= -\det\begin{bmatrix}0& 2\\ 3& 5\end{bmatrix}=6,
\end{align*} \begin{align*} & b_{31}^\sharp =
(-1)^{1+3}\det(B_{13})=\det\begin{bmatrix}3& 4\\ 6& 7\end{bmatrix}=-3,\\
& b_{32}^\sharp = (-1)^{3+2}\det(B_{23})= -\det\begin{bmatrix}0& 1\\
6& 7\end{bmatrix}=6,\\ & b_{33}^\sharp = (-1)^{3+3}\det(B_{33})=
\det\begin{bmatrix}0& 1\\ 3& 4\end{bmatrix}= -3. \end{align*} Vì vậy
$B^\sharp = \begin{bmatrix}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{bmatrix}$.
Với $1\le i,j\le n$, ta xét ma trận $\widetilde{A}_{ij}$ nhận được từ $A$
bằng việc thay $a_{ij}$ bằng 1 và thay các phần tử khác trên dòng $i$
và cột $j$ bởi $0$, tức là
$$
\widetilde{A}_{ij} = \begin{bmatrix}
a_{11}&\dots&a_{1\, j-1}&0&a_{1\,j+1}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{i-1\,1}&\dots&a_{i-1\, j-1}&0&a_{i-1\,j+1}&\dots&a_{i-1\,n}\\
0&\dots&0&1&0&\dots&0\\
a_{i+1\,1}&\dots&a_{i+1\, j-1}&0&a_{i+1\,j+1}&\dots&a_{i+1\,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{n\, j-1}&0&a_{n\,j+1}&\dots&a_{nn}
\end{bmatrix}.
$$
Hơn nữa, ta viết
$$
A = \begin{bmatrix}\mathbf{a}_1\\ \vdots \\ \mathbf{a}_n\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}A_1,\dots,A_n\end{bmatrix}\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})
$$
với $\mathbf{a}_i$ (t.ư. $A_i$) là dòng thứ $i$ (t.ư. cột thứ $i$) của $A$,
và gọi $\set{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{K}^n$.
$\textbf{Bổ đề 20.3.} \ $
Ta có
$$
\begin{aligned}
\det(\widetilde{A}_{ij}) & = (-1)^{i+j}\det(A_{ij})
= \det\begin{bmatrix}\vdots\\ \mathbf{a}_{i-1}\\ \mathbf{e}_j^\mathrm{T}\\ \mathbf{a}_{i+1}\\ \vdots \end{bmatrix}\\
& = \det\begin{bmatrix}A_1,\dots,A_{j-1},\mathbf{e}_i,A_{j+1},\dots,A_n\end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Thông qua đổi chỗ dòng thứ $i$ lên phía trên cùng dưới
các phép biến đổi dòng sơ cấp $d_k\leftrightarrow d_{k-1}$
với $k=i,\dots,2$, và sau đó đổi chỗ cột thứ $j$ về bên trái
dưới các phép biến đổi cột sơ cấp $c_k\leftrightarrow c_{k-1}$
với $k=j,\dots,2$, ta đưa ma trận $\widetilde{A}_{ij}$ về dạng
$$
\widetilde{B} =
\begin{bmatrix}
1& 0 \\ 0& A_{ij}
\end{bmatrix}.
$$
Theo Mệnh đề 19.20.c, ta có
$\det(\widetilde{A}_{ij}) = (-1)^{i-1+j-1}\det(\widetilde{B})$.
Bỏ qua dòng thứ nhất, ta lại dùng các phép biến đổi dòng sơ cấp
$d_k\leftrightarrow d_l$ và $d_k+\lambda d_l$ để đưa $\widetilde{B}$
về ma trận dạng tam giác trên
$$
\begin{bmatrix}
1& 0 \\ 0& B_{ij}
\end{bmatrix}.
$$
Gọi $m$ là số lần phép đổi chỗ hai dòng được thực hiện trong quá trình
trên. Mệnh đề 19.20.c-e suy ra
$$
\det(\widetilde{B}) = (-1)^m\cdot 1\cdot \det(B_{ij})
= (-1)^m\det(B_{ij}) = \det(A_{ij}).
$$
Vì vậy
$$
\det(\widetilde{A}_{ij}) = (-1)^{i-1+j-1}\det(\widetilde{B})
=(-1)^{i+j}\det(A_{ij}).
$$
Tiếp theo ta chỉ ra đẳng thức dấu bằng thứ hai.
Nhân dòng thứ $i$ với một số thích hợp rồi cộng vào mỗi dòng còn lại,
ta có thể đưa ma trận $A'= \begin{bmatrix}\vdots\\ \mathbf{a}_{i-1}\\
\mathbf{e}_j^\mathrm{T}\\ \mathbf{a}_{i+1}\\ \vdots\end{bmatrix}$
về ma trận $\widetilde{A}_{ij}$. Do đó, Mệnh đề 19.20.d
suy ra $\det(\widetilde{A}_{ij}) = \det(A')$.
Đẳng thức dấu bằng cuối cùng được suy ra tương tự theo Nhận xét 19.21.
$\textbf{Định lý 20.4.} \ $
Ta có $A^\sharp A= A A^\sharp = \det(A)\cdot I_n$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Viết $A^\sharp =(a_{ij}^\sharp)_{n\times n}$.
Áp dụng Bổ đề 20.3, ta tính các phần tử của $AA^\sharp$:
\begin{align*}
\sum_{j=1}^{n} a_{ij} a_{jk}^\sharp
&= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\det(\widetilde{A}_{kj})
= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \det\begin{bmatrix}\vdots\\ \mathbf{a}_{k-1}\\
\mathbf{e}_j^\mathrm{T}\\ \mathbf{a}_{k+1}\\ \vdots\end{bmatrix}
= \det\begin{bmatrix}\vdots\\ \mathbf{a}_{k-1}\\
\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\mathbf{e}_j^\mathrm{T}\\ \mathbf{a}_{k+1}\\ \vdots\end{bmatrix}\\
&= \det\begin{bmatrix}\vdots\\ \mathbf{a}_{k-1}\\
\mathbf{a}_i\\ \mathbf{a}_{k+1}\\ \vdots\end{bmatrix}
=\delta_{ik}\cdot\det(A).
\end{align*}
Như vậy ta có $A A^\sharp= \det(A)\cdot I_n$. Tính toán tương tự
đối với $A^\sharp A = \det(A)\cdot I_n$.
$\textbf{Ví dụ 20.5.}\ $
Ta biết rằng ma trận phụ hợp của các ma trận
$$
A = \begin{bmatrix}
1&2\\
3&4
\end{bmatrix},\qquad
B = \begin{bmatrix}
0&1&2\\
3&4&5\\
6&7&8
\end{bmatrix}
$$
là
$$
A^\sharp =\begin{bmatrix}4&-2\\ -3&1\end{bmatrix},\qquad
B^\sharp = \begin{bmatrix}-3&6&-3\\ 6&-12&6\\ -3&6&-3\end{bmatrix}.
$$
Khi đó $A A^\sharp = -2\cdot I_2$ và $\det(A)=-2$.
Trong khi đó $BB^\sharp = 0\cdot I_3$ và $\det(B)=0$.
20.2. Khai triển Laplace của định thức
Với các khái niệm và ký hiệu được giới thiệu trong mục trên, ta phát biểu
và chứng minh định lý dưới đây.
$\textbf{Định lý 20.6}$ [$\textbf{Khai triển Laplace}$]
Cho $n\ge 2$, ma trận vuông $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ và $1\le i,j\le n$.
Ta có công thức khai triển định thức sau:
- Khai triển theo dòng $i$:
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det(A_{ij}).
$$
- Khai triển theo cột $j$:
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det(A_{ij}).
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Theo Định lý 20.4, phần tử thứ $i$ trên đường
chéo chính của $AA^\sharp$ là
$$
\det(A) =
\sum_{j=1}^{n} a_{ij} a_{ji}^\sharp
= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot\det(\widetilde{A}_{ij})
= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\cdot\det(A_{ij})
$$
trong đó đẳng thức cuối được suy ra từ
$a_{ji}^\sharp =\det(\widetilde{A}_{ij})=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$
theo Bổ đề 20.3.
Thực hiện tính toán tương tự trên ma trận $A^\sharp A$
ta nhận được công thức khai triển định thức $\det(A)$ theo cột $j$.
$\textbf{Nhận xét 20.7.}\ $
Từ Định lý 20.4, với $i\ne k$ ta có
$$
\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j+k}\cdot a_{ij}\cdot \det(A_{kj})=
\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j+i}\cdot a_{jk}\cdot \det(A_{ji})=0.
$$
$\textbf{Ví dụ 20.8.}\ $
Áp dụng khai triển Laplace để tính định thức của ma trận
$$
A = \begin{bmatrix}
1& 2& 0& 2\\ -1& 2& 3& 1\\ -3& 2& -1& 0\\ 2& -3& -2& 1
\end{bmatrix}.
$$
Ta khai triển theo dòng thứ nhất
\begin{align*}
\det(A) & = (-1)^{1+1}\cdot 1\cdot
\left| \begin{matrix} 2& 3& 1\\ 2& -1& 0\\ -3& -2& 1 \end{matrix}\right|
+ (-1)^{1+2}\cdot 2\cdot
\left| \begin{matrix} -1& 3& 1\\ -3& -1& 0\\ 2& -2& 1 \end{matrix}\right| \\
& \quad +(-1)^{1+3}\cdot 0\cdot
\left| \begin{matrix} -1& 2& 1\\ -3& 2& 0\\ 2& -3& 1 \end{matrix}\right|
+(-1)^{1+4}\cdot 2\cdot
\left| \begin{matrix} -1& 2& 3\\ -3& 2& -1\\ 2& -3& -2 \end{matrix}\right|\\
& =\left| \begin{matrix} 2& 3& 1\\ 2& -1& 0\\ -3& -2& 1 \end{matrix}\right|
-2\cdot \left| \begin{matrix} -1& 3& 1\\ -3& -1& 0\\ 2& -2& 1 \end{matrix}\right|
-2\cdot \left| \begin{matrix} -1& 2& 3\\ -3& 2& -1\\ 2& -3& -2 \end{matrix}\right|.
\end{align*}
Khai triển tương tự, ta tính từng số hạng:
\begin{align*}
& \left| \begin{matrix} 2& 3& 1\\ 2& -1& 0\\ -3& -2& 1 \end{matrix}\right|
= 2\cdot \left| \begin{matrix} -1& 0\\ -2& 1\end{matrix}\right|
-3 \cdot \left| \begin{matrix} 2& 0\\ -3& 1\end{matrix}\right|
+ \left| \begin{matrix} 2& -1\\ -3& -2\end{matrix}\right|
= -15, \\
& \left| \begin{matrix} -1& 3& 1\\ -3& -1& 0\\ 2& -2& 1 \end{matrix}\right|
= -1\cdot \left| \begin{matrix} -1& 0\\ -2& 1\end{matrix}\right|
-3 \cdot \left| \begin{matrix} -3& 0\\ 2& 1\end{matrix}\right|
+ \left| \begin{matrix} -3& -1\\ 2& -2\end{matrix}\right|
= 18,\\
& \left| \begin{matrix} -1& 2& 3\\ -3& 2& -1\\ 2& -3& -2 \end{matrix}\right|
= -1\cdot \left| \begin{matrix} 2& -1\\ -3& -2\end{matrix}\right|
-2 \cdot \left| \begin{matrix} -3& -1\\ 2& -2\end{matrix}\right|
+ 3\cdot \left| \begin{matrix} -3& 2\\ 2& -3\end{matrix}\right|
= 6.
\end{align*}
Vì vậy
$$
\det(A)=-15 -2\cdot 18 -2\cdot 6 = -63.
$$
$\textbf{Ví dụ 20.9.}\ $
Hãy chỉ ra rằng định thức $\textbf{Vandermonde}$ cấp $n$ thỏa mãn
\begin{equation} \tag{20.1}
D_n :=\left|
\begin{matrix}
1& x_1& x_1^2& \dots& x_1^{n-1}\\
1& x_2& x_2^2& \dots& x_2^{n-1}\\
1& x_3& x_3^2& \dots& x_3^{n-1}\\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
1& x_n& x_n^2& \dots& x_n^{n-1}
\end{matrix}
\right| = \prod_{1\le i < j\le n} (x_j-x_i).
\end{equation}
Với $n=1, 2$ ta có $D_1=1$ và
$D_2 = \left|\begin{matrix} 1& x_1\\ 1& x_2 \end{matrix}\right| =x_2-x_1$
và công thức (20.1) đúng.
Giả sử $n>2$ và công thức (20.1) đúng với $n-1$.
Khi đó
$$
\begin{aligned}
& D_n \xlongequal[\forall j=n,...,2]{c_j-x_n\cdot c_{j-1}}
\left|\begin{matrix}
1 & x_1-x_n & x_1^2-x_1x_n& \dots & x_1^{n-1}-x_1^{n-2}x_n\\
1 & x_2-x_n & x_2^2-x_2x_n & \dots & x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_{n-1}x_n& \dots& x_{n-1}^{n-1}-x_{n-1}^{n-2}x_n\\
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
\end{matrix}\right| \\
& \xlongequal[]{\text{khai triển dòng $n$}} (-1)^{n+1}
\left|\begin{matrix}
x_1-x_n & x_1^2-x_1x_n& \dots & x_1^{n-1}-x_1^{n-2}x_n\\
x_2-x_n & x_2^2-x_2x_n & \dots & x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_{n-1}x_n& \dots& x_{n-1}^{n-1}-x_{n-1}^{n-2}x_n\\
\end{matrix}\right| \\
& \xlongequal[]{}
(x_n-x_1)\cdots(x_n-x_{n-1})\cdot
\left|\begin{matrix}
1 & x_1 & \dots & x_1^{n-2}\\
1 & x_2 & \dots & x_2^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_{n-1} & \dots & x_{n-1}^{n-2}
\end{matrix}\right|\\
& \xlongequal[]{\text{quy nạp}}
(x_n-x_1)\cdots(x_n-x_{n-1})\cdot \prod_{1\le i < j\le n-1} (x_j-x_i)\\
& = \prod_{ 1\le i < j\le n} (x_j-x_i).
\end{aligned}
$$
Vì vậy công thức (20.1) đúng với mọi $n\ge 1$.
20.3. Công thức tính ma trận nghịch đảo
Tính chất sau đây cho phép ta tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch
thông qua ma trận phụ hợp của nó.
$\textbf{Mệnh đề 20.10}\ $
Một ma trận vuông $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ là ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu
$\det(A)\ne 0$. Trong trường hợp này ta có
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^\sharp.
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Đặc trưng trên của ma trận khả nghịch nhận được từ Định lý 9.6 và
Mệnh đề 19.20.f. Hơn nữa, khi $\det(A)\ne 0$, thì
Định lý 20.4 kéo theo
$$
A(\frac{1}{\det(A)}A^\sharp) = (\frac{1}{\det(A)}A^\sharp)A=I_n.
$$
Như vậy, tính duy nhất của ma trận nghịch đảo suy ra
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^\sharp$.
$\textbf{Nhận xét 20.11.}\ $
Nếu $A$ là ma trận khả nghịch và viết
$C=(c_{ij})_{n\times n}\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ với
$$
c_{ij} := (-1)^{i+j}\cdot \det(A_{ij}) \quad (=a_{ji}^\sharp)
$$
thì
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot C^\mathrm{T}.
$$
Chẳng hạn, trường hợp $n=2$ ta có
$$
\begin{bmatrix}
a& b\\ c& d
\end{bmatrix}^{-1}
= \frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{bmatrix}
d& -c\\ -b&a
\end{bmatrix}^\mathrm{T}
= \frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{bmatrix}
d&-b\\ -c&a
\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Ví dụ 20.12.}\ $
Tính ma trận phụ hợp của
$A=\begin{bmatrix}
1& -1& 2\\ 2& 1& -3\\ 2& 1& 1
\end{bmatrix}$ và tìm $A^{-1}$ (nếu có).
Ta tính các định thức bù của các $a_{ij}$:
$$
\small{
\begin{aligned}
& \det(A_{11}) = \left|\begin{matrix} 1& -3\\ 1& 1\end{matrix}\right| =4,
& & \det(A_{12}) = \left|\begin{matrix} 2& -3\\ 2& 1\end{matrix}\right| =8,
& & \det(A_{13}) = \left|\begin{matrix} 2& 1\\ 2& 1\end{matrix}\right| =0,\\
& \det(A_{21}) = \left|\begin{matrix} -1& 2\\ 1& 1\end{matrix}\right| =-3,
& & \det(A_{22}) = \left|\begin{matrix} 1& 2\\ 2& 1\end{matrix}\right| =-3,
& & \det(A_{23}) = \left|\begin{matrix} 1& -1\\ 2& 1\end{matrix}\right| =3,\\
& \det(A_{31}) = \left|\begin{matrix} -1& 2\\ 1& -3\end{matrix}\right| =1,
& & \det(A_{32}) = \left|\begin{matrix} 1& 2\\ 2& -3\end{matrix}\right| =-7,
& & \det(A_{33}) = \left|\begin{matrix} 1& -1\\ 2& 1\end{matrix}\right| =3.
\end{aligned}
}
$$
Suy ra ma trận phụ hợp chuyển vị $(A^\sharp)^\mathrm{T} = \begin{bmatrix}
4& -8& 0\\ 3& -3& -3\\ 1& 7& 3
\end{bmatrix}$, do đó $A^\sharp = \begin{bmatrix}
4& 3& 1\\ -8& -3& 7\\ 0& -3& 3
\end{bmatrix}$. Ta thấy $AA^\sharp = 12\cdot I_3$, thế nên
$\det(A)=12\ne 0$ và $A$ là ma trận khả nghịch.
Ma trận nghịch đảo của $A$ là
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot A^\sharp = \frac{1}{12}\begin{bmatrix}
4& 3& 1\\ -8& -3& 7\\ 0& -3& 3
\end{bmatrix}.
$$
Đối với các trường hợp ma trận chứa tham số, công thức tính ma trận nghịch
đảo ở trên là hữu ích.
$\textbf{Ví dụ 20.13.}\ $
Cho các số $a,b\in \mathbb{K}$ và xét ma trận
$A=\begin{bmatrix}
a& 1&b\\ 1&1&1\\ b&1& a
\end{bmatrix}$.
Ma trận phụ hợp chuyển vị là
%
\begin{equation}\tag{20.2}
(A^\sharp)^\mathrm{T} = \begin{bmatrix}
a-1 & -(a-b)& 1-b\\
-(a-b) & a^2-b^2 & -(a-b)\\
1-b &-(a-b) & a-1
\end{bmatrix}
\end{equation}
và $\det(A) = a^2+2b-b^2-2a=(a-b)(a+b-2)$.
Khi $a\ne b$ và $a+b\ne 2$ thì $A$ là ma trận khả nghịch
và có ma trận nghịch đảo là
$$
A^{-1} =\! \frac{1}{\det(A)}\cdot A^\sharp
=\! \frac{1}{(a-b)(a+b-2)}\begin{bmatrix}
a-1 & -(a-b)& 1-b\\
-(a-b) & a^2-b^2 & -(a-b)\\
1-b & -(a-b) & a-1
\end{bmatrix}.
$$
Sử dụng Maple
Trong gói lệnh $\texttt{LinearAlgebra}$, chúng ta có thể tính ma trận bù
và định thức bù của mỗi phần tử $a_{ij}$ trong ma trận
$A\in\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$ theo lệnh $\texttt{Minor}$, và tính ma trận phụ hợp
của $A$ theo lệnh $\texttt{Adjoint}$. (Lưu ý rằng để tính ma trận
bù ta còn có thể sử dụng lệnh $\texttt{SubMatrix}$ như trong Chương II.)
Xét ma trận $B$ trong Ví dụ 20.2.
Với $i=j=1$ ta có ma trận bù và định thức bù của $b_{11}$ được tính bởi
$\texttt{> B := << 0, 3, 6>|< 1, 4, 7>|< 2, 5, 8>>:}$
$\texttt{> > Minor(B, 1, 1, output = 'matrix');}$
$\quad \texttt{|4 5|}$
$\quad \texttt{|7 8|}$
$\texttt{> Minor(B, 1, 1, output = 'determinant');}$
$\quad \texttt{-3}$
do đó $B_{11} = \begin{bmatrix}4& 5\\ 7& 8\end{bmatrix}$ và $\det(B_{11})=-3$.
Ma trận phụ hợp $B^\sharp$ của $B$ và tích $BB^\sharp$ được tính bởi
$\texttt{> Ad := Adjoint(B): Ad;}$
$\texttt{> B*Ad;}$
kết quả trả về là
$B^\sharp = \begin{bmatrix}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{bmatrix}$
và tích $BB^\sharp =O$, do đó $\det(B)=0.$
Với ma trận $A$ chứa tham số trong Ví dụ 20.13,
ma trận phụ hợp của $A$ và $AA^\sharp$ dễ dàng nhận được qua các lệnh:
$\texttt{> A := << a,1,b>|< 1,1,1>|< b,1,a>>:}$
$\texttt{> Ad := Adjoint(A): Ad;}$
$\texttt{> simplify(A*Ad); }$
trong đó $A^\sharp$ cho bởi công thức (20.2) và
$$
AA^\sharp = (a^2-b^2-2a+2b)\cdot I_3 = (a-b)(a+b-2)\cdot I_3
$$
kéo theo $\det(A) = (a-b)(a+b-2)$.
Tiếp theo, xét định thức Vandermonde $D_n$ trong Ví dụ 20.9.
Ma trận Vandermonde $V_n$ cấp $n$
ứng với giá trị cụ thể của $n$, chẳng hạn $n=5$,
được lập trong $\texttt{Maple}$ như sau:
$\texttt{> n := 5:}$
$\texttt{> Vn := Matrix(n,n,shape=Vandermonde[[seq(x[i], i=1..n)]]);}$
Khi đó lệnh $\texttt{Determinant(Vn)}$ sẽ tính $D_n$ nhưng được viết
dưới dạng đa thức. Để đưa ra công thức của $D_n$ như trong
Ví dụ 20.9 ta dùng thêm lệnh $\texttt{factor}$:
$\texttt{> factor(Determinant(Vn));}$
Trong trường hợp đặc biệt $x_i=i$ với mọi $i=1,\dots,n$ ta thu được
$$
D_n =\left|\begin{matrix}
1& 1& 1& \dots& 1\\
1& 2& 2^2& \dots& 2^{n-1}\\
1& 3& 3^2& \dots& 3^{n-1}\\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
1& n& n^2& \dots& n^{n-1}
\end{matrix}\right| = \prod_{1\le i < j\le n}(j-i)
=1!2!\cdots(n-1)!
$$
và ta kiểm tra đẳng thức dấu bằng cuối với $n=1,\dots,10$ bằng
$\texttt{Maple}$ như sau:
$\hspace{0cm}\texttt{> for n from 1 by 1 to 10 do}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ Vn := Matrix(n,n,shape = Vandermonde[[seq(i, i=1..n)]]);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ RightHS := product(k!, k = 1..(n-1)):}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ evalb(Determinant(Vn) = RightHS);}$
$\hspace{0cm}\texttt{ end do}$
Chẳng hạn, với $n=6$ ta có $D_6 = 34560 = 1!2!3!4!5!$.
Lưu ý rằng ma trận Vandermonde trong trường hợp này cũng có
thể lập bởi:
$\hspace{0cm}\texttt{> f := (j, k)-> j^(k-1): Vn := Matrix(n, f);}$
Comments
Post a Comment