Bài 13: TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ

Trong không gian ${\mathbb{R}}^n$ $(n\ge 1)$, khi ta viết véctơ $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n$ thì nó có nghĩa rằng $\mathbf{v}=a_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{e}}_n$, trong đó $\{{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n\}$ là cơ sở chính tắc của ${\mathbb{R}}^n$. Chẳng hạn, việc biễu diễn véctơ (hay điểm) $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ trong mặt phẳng ${\mathbb{R}}^2$ được hiểu rằng ta di chuyển 1 đơn vị theo hướng ${\mathbf{e}}_1$ và 2 đơn vị theo hướng ${\mathbf{e}}_2$. Ở mục này chúng ta sẽ mở rộng ý tưởng này về việc biểu diễn véctơ ứng với các cơ sở của các không gian véctơ tổng quát. Dưới đây, cho $\mathbb{K}$ là một trường số và $V$ là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên $\mathbb{K}$.

13.1. Tọa độ của véctơ ứng với cơ sở cho trước

Cho $B=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $V$ và $\mathbf{v}\in V$ là một véctơ bất kỳ. Khi đó tồn tại bộ duy nhất gồm các số $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$ sao cho $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n.$$ Do đó, thông qua cơ sở $B$, véctơ $\mathbf{v}$ hoàn toàn được xác định bởi véctơ $$[\mathbf{v}{]}_B=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\in {\mathbb{K}}^n.$$

$\mathbf{\text{Định nghĩa 13.1.}}$ Véctơ $[\mathbf{v}{]}_B$ được gọi là $\mathbf{\text{véctơ tọa độ}}$ của $\mathbf{v}$ ứng với cơ sở $B$ và các số $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$ được gọi là $\mathbf{\text{tọa độ}}$ của $\mathbf{v}$ ứng với cơ sở $B$.

$\mathbf{\text{Nhận xét 13.2.}}$

1. Véctơ tọa độ $[\mathbf{v}{]}_B$ phụ thuộc vào thứ tự của các véctơ trong cơ sở $B$ của~$V$. Từ đây về sau "cơ sở" luôn được giả thiết là cơ sở có thứ tự.
2. Với $i=1,\dots ,n$, ta có $[{\mathbf{v}}_i{]}_B={\left[\begin{array}{c}0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\end{array}\right]}^T$ với $1$ nằm ở vị trí thứ $i$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.3.}}$ Trong không gian véctơ $V={\mathbb{K}}^3$, xét cơ sở $$B=\{{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}$$ và véctơ $\mathbf{v}=2{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2+3{\mathbf{v}}_3\in V$. Khi đó $\mathbf{v}$ có véctơ tọa độ ứng với $B$ là $$[\mathbf{v}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right].$$ Tiếp theo ta tìm véctơ tọa độ của $\mathbf{v}$ ứng với cơ sở chính tắc $\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\}$ của $V$. Ta có $$\begin{array}{rl}\mathbf{v}& =2{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2+3{\mathbf{v}}_3=2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right]\\ & =3{\mathbf{e}}_1+0\cdot {\mathbf{e}}_2+4{\mathbf{e}}_3.\end{array}$$ Vậy ứng với cơ sở $\mathcal{E}$ ta có $[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{E}}=[3,0,4{]}^T$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.4.}}$ Cho $B=\{1+x,-1+2x,x^2\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $\mathbb{K}[x{]}_{\le 2}$ và $\mathbf{v}=4+x+x^2$. Để tìm véctơ tọa độ $[\mathbf{v}{]}_B$, ta cần tìm tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}$ qua $B$. Xét $$\mathbf{v}=a_1(1+x)+a_2(-1+2x)+a_3{x}^2=(a_1-a_2)+(a_1+2a_2)x+a_3{x}^2$$ với $a_1,a_2,a_3\in \mathbb{K}$. Ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{ll}{a}_1-a_2& =4\\ a_1+2a_2& =1\\ a_3& =1.\end{array}$$ Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất là $a_1=3$, $a_2=-1$ và $a_3=1$. Như vậy $[\mathbf{v}{]}_B=[3,-1,1{]}^T$.

$\mathbf{\text{Bổ đề 13.5 .}}$ Với $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$ và $a,b\in \mathbb{K}$ ta có $$[a\mathbf{u}+b\mathbf{v}{]}_B=a[\mathbf{u}{]}_B+b[\mathbf{v}{]}_B.$$

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Viết $\mathbf{u}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$ và $\mathbf{v}=b_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{v}}_n$. Khi đó $$a\mathbf{u}+b\mathbf{v}=(a{a}_1+b{b}_1){\mathbf{v}}_1+\cdots +(a{a}_n+b{b}_n){\mathbf{v}}_n.$$ Vì vậy $$[a\mathbf{u}+b\mathbf{v}{]}_B=\left[\begin{array}{c}a{a}_1+b{b}_1\\ ⋮\\ a{a}_n+b{b}_n\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=a[\mathbf{u}{]}_B+b[\mathbf{v}{]}_B.$$

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.6.}}$ Trong $\mathbb{K}[x{]}_{\le 2}$ xét cơ sở $\mathcal{E}=\{1,x,x^2\}$ và các véctơ $\mathbf{u}=3-2x+x^2$ và $\mathbf{v}=-2+3x-4x^2$. Véctơ tọa độ của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ ứng với $\mathcal{E}$ lần lượt là $[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{E}}=[3,-2,1{]}^T$ và $[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{E}}=[-2,3,-4{]}^T$. Khi đó $\mathbf{u}+\mathbf{v}=1+x-3x^4$ và $3\mathbf{u}=9-6x+3x^2$, kéo theo $$[\mathbf{u}+\mathbf{v}{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -4\end{array}\right]=[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{E}}+[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{E}},[3\mathbf{u}{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}9\\ -6\\ 3\end{array}\right]=3[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{E}}.$$

Định lý sau đây cho phép chúng ta đưa bài toán độc lập tuyến tính trong không gian véctơ tổng quát $V$ về bài toán tương đương trong ${\mathbb{K}}^n$.

$\mathbf{\text{Định lý 13.7 }}$ Cho $S=\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m\}$ là một hệ véctơ trong không gian véctơ $V$, $\mathbf{u}\in V$, và $S^{\prime }=\{[{\mathbf{u}}_1{]}_B,\dots ,[{\mathbf{u}}_m{]}_B\}\subseteq {\mathbb{K}}^n$. Các khẳng định sau là đúng:

1. $\mathbf{u}\in ⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}$ nếu và chỉ nếu $[\mathbf{u}{]}_B\in ⟨S^{\prime }{⟩}_{\mathbb{K}}$.
2. $S$ là hệ độc lập tuyến tính trong $V$ nếu và chỉ nếu $S^{\prime }$ là hệ độc lập tuyến tính trong ${\mathbb{K}}^n$.

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Ta thấy hệ phương trình $$\begin{array}{}\text{(13.1)}& \mathbf{u}=x_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +x_m{\mathbf{u}}_m\end{array}$$ tương đương với $$\begin{array}{}\text{(13.2)}& [\mathbf{u}{]}_B=[x_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +x_m{\mathbf{u}}_m{]}_B=x_1[{\mathbf{u}}_1{]}_B+\cdots +x_m[{\mathbf{u}}_m{]}_B\end{array}$$ trong đó đẳng thức cuối suy ra từ Bổ đề 13.5. Khi đó $[a_1,\dots ,a_m{]}^T\in {\mathbb{K}}^m$ là một nghiệm của (13.1) khi và chỉ khi nó là một nghiệm của (13.2). Thế nên $\mathbf{u}\in ⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}$ nếu và chỉ nếu $[\mathbf{u}{]}_B\in ⟨S^{\prime }{⟩}_{\mathbb{K}}$, và (a) được chứng minh. Để chứng minh (b), ta thay $\mathbf{u}=\mathbf{0}$ vào các hệ trên. Ta thu được các hệ phương trình tương đương $$\begin{array}{}\text{(13.3)}& \mathbf{0}=x_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +x_m{\mathbf{u}}_m\end{array}$$ và $$\begin{array}{}\text{(13.4)}& \mathbf{0}=[\mathbf{0}{]}_B=x_1[{\mathbf{u}}_1{]}_B+\cdots +x_m[{\mathbf{u}}_m{]}_B.\end{array}$$ Hệ phương trình (13.3) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi hệ phương trình (13.4) chỉ có nghiệm tầm thường, và điều này suy ra (b).

Từ định lý trên, ta suy ra ngay kết quả sau.

$\mathbf{\text{Hệ quả 13.8.}}$ Cho $S=\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m\}$ là một hệ véctơ trong không gian véctơ $V$, $\mathbf{u}\in V$, và $S^{\prime }=\{[{\mathbf{u}}_1{]}_B,\dots ,[{\mathbf{u}}_m{]}_B\}\subseteq {\mathbb{K}}^n$. Khi đó $S$ là một cơ sở của $V$ nếu và chỉ nếu $T$ là một có sở của ${\mathbb{K}}^n$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.9.}}$ Áp dụng hệ quả trên ta chỉ ra $B=\{1+x,-1+2x,x^2\}$ là một cơ sở của $\mathbb{K}[x{]}_{\le 2}$ như giả thiết trong Ví dụ 13.4. Xét cơ sở $\mathcal{E}=\{1,x,x^2\}$. Khi đó ta có các véctơ tọa độ $$[1+x{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],[-1+2x{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right],[x^2{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$$ Rõ ràng $\text{rank}(\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right])=3$, do đó các véctơ $[1+x{]}_{\mathcal{E}},[-1+2x{]}_{\mathcal{E}},[x^2{]}_{\mathcal{E}}$ là độc lập tuyến tính trong ${\mathbb{K}}^3$ và lập thành một cơ sở của ${\mathbb{K}}^3$. Vì vậy $B$ là một cơ sở của $\mathbb{K}[x{]}_{\le 2}$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.10.}}$ Xét không gian véctơ $V={\text{Mat}}_2(\mathbb{K})$. Khi đó dễ thấy rằng tập $\mathcal{E}=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$ với $$E_{11}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],E_{12}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],E_{21}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],E_{22}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$ là một cơ sở của $V$, gọi là cơ sở chính tắc của $V$. Cho $S=\{A_1,A_2,A_3\}\subseteq V$ với $$A_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 4\end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 1\end{array}\right].$$ Ta áp dụng Hệ quả 13.8 để xác định một cơ sở của không gian con $W=⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}$ như sau. Ta có $$[A_1{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right],[A_2{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 4\end{array}\right],[A_3{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 2\\ 1\end{array}\right].$$ Đặt $S^{\prime }:=\{[A_1{]}_{\mathcal{E}},[A_2{]}_{\mathcal{E}},[A_3{]}_{\mathcal{E}}\}\subseteq {\mathbb{K}}^4$. Bây giờ, ta tìm một cơ sở của $⟨S^{\prime }{⟩}_{\mathbb{K}}$. Vì $$[A_3{]}_{\mathcal{E}}=[A_2{]}_{\mathcal{E}}-[A_1{]}_{\mathcal{E}},$$ nên $⟨S^{\prime }{⟩}_{\mathbb{K}}=⟨[A_1{]}_{\mathcal{E}},[A_2{]}_{\mathcal{E}}{⟩}_{\mathbb{K}}$. Hơn nữa, hệ véctơ $\{[A_1{]}_{\mathcal{E}},[A_2{]}_{\mathcal{E}}\}$ là độc lập tuyến tính, do $\text{rank}(\left[\begin{array}{c}[A_1{]}_{\mathcal{E}},[A_2{]}_{\mathcal{E}}\end{array}\right])=2$. Từ đó suy ra $\{[A_1{]}_{\mathcal{E}},[A_2{]}_{\mathcal{E}}\}$ là một cơ sở của $⟨S^{\prime }{⟩}_{\mathbb{K}}$, và vì vậy $\{A_1,A_2\}$ là một cơ sở của $⟨S{⟩}_{\mathbb{K}}$.

13.2. Ma trận chuyển cơ sở

Trong không gian $n$-chiều $V$, xét hai cơ sở $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ và $T=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n\}$. Khi đó mỗi véctơ $\mathbf{v}\in V$ có véctơ tọa độ khác nhau ứng với mỗi cơ sở. Viết $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n=b_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{w}}_n$$ tức là $[\mathbf{v}{]}_S={\left[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_n\end{array}\right]}^T$ và $[\mathbf{v}{]}_T={\left[\begin{array}{c}{b}_1,\dots ,b_n\end{array}\right]}^T$. Mối liên hệ giữa hai véctơ tọa độ này được biểu diễn như sau: $$\begin{array}{rl}{}_S& =[b_1{\mathbf{w}}_1+\cdots +b_n{\mathbf{w}}_n{]}_S=b_1[{\mathbf{w}}_1{]}_S+\cdots +b_n[{\mathbf{w}}_n{]}_S\\ & =\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{w}}_1{]}_S,\dots ,[{\mathbf{w}}_n{]}_S\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{w}}_1{]}_S,\dots ,[{\mathbf{w}}_n{]}_S\end{array}\right]\cdot [\mathbf{v}{]}_T\end{array}$$ trong đó ma trận $\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{w}}_1{]}_S,\dots ,[{\mathbf{w}}_n{]}_S\end{array}\right]$ là ma trận vuông cấp $n$ trên $\mathbb{K}$. Công thức trên cho phép tính toán tọa độ của $\mathbf{v}$ ứng với $S$ từ tọa độ của $\mathbf{v}$ ứng với $T$ qua tích của ma trận với véctơ. Điều này đưa ta tới định nghĩa dưới đây.

$\mathbf{\text{Định nghĩa 13.11.}}$ Cho $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ và $T=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n\}$ là hai cơ sở của không gian véctơ $V$, và $\mathbf{v}\in V$.

1. Ma trận vuông cấp $n$ $$P_{(S,T)}:=\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{w}}_1{]}_S,\dots ,[{\mathbf{w}}_n{]}_S\end{array}\right]$$ được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ $S$ sang $T$.
2. Công thức $[\mathbf{v}{]}_S=P_{(S,T)}\cdot [\mathbf{v}{]}_T$ được gọi là $\mathbf{\text{công thức đổi tọa độ}}$ giữa $S$ và $T$.

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.12.}}$ Xét không gian véctơ $V={\mathbb{K}}^3$ với hai cơ sở $\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\}$ và $$B=\{{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}.$$ Ta có $$\begin{array}{rl}{\mathbf{v}}_1& =2{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3\\ {\mathbf{v}}_2& ={\mathbf{e}}_1+2{\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3\\ {\mathbf{v}}_3& =0\cdot {\mathbf{e}}_1+0\cdot {\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3\end{array}\}\Rightarrow [{\mathbf{v}}_i{]}_{\mathcal{E}}={\mathbf{v}}_i(i=1,2,3),$$ do đó ma trận chuyển cơ sở từ $\mathcal{E}$ sang $B$ là $$P_{(\mathcal{E},B)}=\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{v}}_1{]}_{\mathcal{E}},[{\mathbf{v}}_2{]}_{\mathcal{E}},[{\mathbf{v}}_3{]}_{\mathcal{E}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right].$$ Để tìm ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $\mathcal{E}$, ta cần tìm $[{\mathbf{e}}_i{]}_B$ for $i=1,2,3$. Do đó ta cần giải ba hệ phương trình tuyến tính $$\begin{array}{rl}{a}_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+a_3{\mathbf{v}}_3& ={\mathbf{e}}_1\\ b_1{\mathbf{v}}_1+b_2{\mathbf{v}}_2+b_3{\mathbf{v}}_3& ={\mathbf{e}}_2\\ c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3& ={\mathbf{e}}_3\end{array}$$ và thực hiện biến đổi ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn đồng thời cho 3 hệ phương trình và nhận được $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}2& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \frac{2}{3}& \frac{-1}{3}& 0\\ 0& 1& 0& \frac{-1}{3}& \frac{2}{3}& 0\\ 0& 0& 1& \frac{-1}{3}& \frac{-1}{3}& 1\end{array}\right].\end{array}$$ Vậy $$P_{(B,\mathcal{E})}=\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{e}}_1{]}_B,[{\mathbf{e}}_2{]}_B,[{\mathbf{e}}_3{]}_B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{-1}{3}& 0\\ \frac{-1}{3}& \frac{2}{3}& 0\\ \frac{-1}{3}& \frac{-1}{3}& 1\end{array}\right].$$ Hơn nữa, theo quá trình tính $P_{(B,\mathcal{E})}$ ta thấy $P_{(B,\mathcal{E})}=P_{(\mathcal{E},B)}^{-1}$ (xem Thuật toán 9.7).

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.13.}}$ Xét hai cơ sở $\mathcal{E}=\{1,x,x^2\}$ và $B=\{1+x,-1+2x,x^2\}$ của không gian véctơ $V=\mathbb{K}[x{]}_{\le 2}$ như trong Ví dụ 13.9. Ta có $$P_{(\mathcal{E},B)}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$ Để tính $P_{(B,\mathcal{E})}$ ta cần giải ba hệ phương trình $$\begin{array}{rl}{a}_1(1+x)+a_2(-1+2x)+a_3{x}^2& =1\\ b_1(1+x)+b_2(-1+2x)+b_3{x}^2& =x\\ c_1(1+x)+c_2(-1+2x)+c_3{x}^2& =x^2.\end{array}$$ Các hệ phương trình có cùng ma trận hệ số là $P_{(\mathcal{E},B)}$ và ta biến đổi ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn đồng thời cho 3 hệ và có $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}1& -1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 1& 0& \frac{-1}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$ Suy ra $$P_{(B,\mathcal{E})}=P_{(\mathcal{E},B)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ \frac{-1}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$ Hơn nữa, để tính $[1+2x+3x^2{]}_B$, ta có $[1+2x+3x^2{]}_{\mathcal{E}}={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]}^T$, do vậy $$[1+2x+3x^2{]}_B=P_{(B,\mathcal{E})}\cdot [1+2x+3x^2{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ \frac{-1}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}\\ 3\end{array}\right].$$

Tổng quát hóa hai ví dụ trên ta có tính chất sau.

$\mathbf{\text{Mệnh đề 13.14.}}$ Cho $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ và $T=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n\}$ là hai cơ sở của không gian véctơ $V$. Khi đó các ma trận chuyển cơ sở thỏa mãn $P_{(T,S)}=P_{(S,T)}^{-1}.$

$\mathbf{\text{Chứng minh.}}$ Ta viết ${\mathbf{w}}_j=a_{1j}{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_{nj}{\mathbf{v}}_n$ và ${\mathbf{v}}_k=b_{1k}{\mathbf{w}}_1+\cdots +b_{nk}{\mathbf{w}}_n$ trong đó $a_{ij},b_{jk}\in \mathbb{K}$ với $1\le i,j,k\le n$. Khi đó $${\mathbf{v}}_k=\sum _{j=1}^n{b}_{jk}{\mathbf{w}}_j=\sum _{j=1}^n{b}_{jk}(\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{\mathbf{v}}_i)=\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}){\mathbf{v}}_i.$$ Do $S$ là cơ sở của $V$ nên $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}={\delta }_{ik}$ (ký hiệu Kronecker: ${\delta }_{ik}=0$ nếu $i\ne k$ và ${\delta }_{ik}=1$ nếu $i=k$). Từ đó ta nhận được $$P_{(S,T)}\cdot P_{(T,S)}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \dots & b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& \dots & b_{nn}\end{array}\right]=(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{)}_{n\times n}=I_n.$$ Vậy $P_{(T,S)}=P_{(S,T)}^{-1}.$

$\mathbf{\text{Ví dụ 13.15.}}$ Trong không gian $V={\mathbb{R}}^4$, các hệ véctơ $$S=\{{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}$$ và $$T=\{{\mathbf{w}}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{w}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{w}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{w}}_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 1\end{array}\right]\}$$ là các cơ sở của $V$. Ta có biểu diễn $${\mathbf{w}}_1={\mathbf{v}}_4,{\mathbf{w}}_2={\mathbf{v}}_3+{\mathbf{v}}_4,{\mathbf{w}}_3={\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_4,{\mathbf{w}}_4={\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_3$$ nên $$[{\mathbf{w}}_1{]}_S=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],[{\mathbf{w}}_2{]}_S=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right],[{\mathbf{w}}_3{]}_S=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right],[{\mathbf{w}}_4{]}_S=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right].$$ Vậy ma trận chuyển cơ sở từ $S$ sang $T$ là $$P_{(S,T)}=\left[\begin{array}{c}[{\mathbf{w}}_1{]}_S,[{\mathbf{w}}_2{]}_S,[{\mathbf{w}}_3{]}_S,[{\mathbf{w}}_4{]}_S\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 1& 1& -1& 0\end{array}\right].$$ Ma trận chuyển cơ sở từ $T$ sang $S$ là $$\begin{gathered} P_{(T,S)}=P_{(S,T)}^{-1} \\ ={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 1& 1& -1& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}-3& 2& -1& 1\\ 2& -1& 1& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]. \end{gathered}$$

Sử dụng Maple

Trong trường hợp chúng ta muốn tìm một cơ sở của không gian con $U$ trong $\mathbb{K}[x{]}_{\le n}$, ta áp dụng Hệ quả 13.8, tức là ta tính hệ véctơ tọa độ trong ${\mathbb{K}}^{n+1}$ của hệ sinh của $U$ ứng với cơ sở $\{1,x,\dots ,x^n\}$, sau đó tìm cơ sở của không gian sinh bởi hệ véctơ tọa độ và suy ra cơ sở của $U$. Chẳng hạn, xét không gian con $U$ trong $\mathbb{K}[x{]}_{\le 3}$ sinh bởi hệ véctơ $$\{2+2x+x^2,1-x^3,1+2x+x^2+x^3,x-2x^2-2x^3\}.$$ Khi đó, ta lập hệ véctơ tọa độ tương ứng $${\mathbf{u}}_1=[2,2,1,0{]}^T,{\mathbf{u}}_2=[1,0,0,-1{]}^T,{\mathbf{u}}_3=[1,2,1,1{]}^T,{\mathbf{u}}_4=[0,1,-2,2{]}^T$$ và không gian $U^{\prime }$ sinh bởi hệ trên. Một cơ sở của $U^{\prime }$ là $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_4\}$ được tính bởi $\mathtt{\text{Maple}}$ bằng dòng lệnh sau:

$\mathtt{\text{> with(LinearAlgebra): }}$

$\mathtt{\text{> u1 := < 2, 2, 1, 0>: u2 := < 1, 0, 0, -1>: }}$

$\mathtt{\text{> u3 := < 1, 2, 1, 1>: u4 := <0, 1, -2, 2>: }}$

$\mathtt{\text{> Basis([u1, u2, u3, u4]); }}$

Từ đây ta suy ra một cơ sở của $U$ là $\{2+2x+x^2,1-x^3,x-2x^2-2x^3\}$. Tương tự đối với các không gian con trong ${\mathrm{Mat}}_{m,n}(\mathbb{K})$. Việc tìm véctơ tọa độ của một véctơ ứng với một cơ sở cho trước của không gian $V$ thường đưa về việc giải hệ phương trình tuyến tính và chúng ta có thể sử dụng $\mathtt{\text{Maple}}$ để giải các hệ phương trình này. Trong trường hợp $V={\mathbb{K}}^n$ với hai cơ sở $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ và $T=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n\}$. Để tìm ma trận chuyển cơ sở từ $S$ sang $T$ thì ta lập ma trận mở rộng $[S\mid T]$ và biến đổi sơ cấp dòng về ma trận bậc thang rút gọn dạng $[I_n\mid P]$. Khi đó $P_{(S,T)}=P$ và $P_{(T,S)}=P^{-1}$. Chẳng hạn, kết quả trong Ví dụ 13.15 được tính với $\mathtt{\text{Maple}}$ như sau:

$\mathtt{\text{> A := < < 1, 1, 1, 1>, <0, 1, 1, 1>, <0, 0, 1, 1>, }}$

$\mathtt{\text{ <0, 0, 0, 1>, <0, 0, 0, 1>, <0, 0, 1, 2>, }}$

$\mathtt{\text{ <0, 1, 2, 1>, <1, 2, 1, 1>>: }}$

$\mathtt{\text{> B := ReducedRowEchelonForm(A); B; }}$

dòng lệnh trên đưa ra ma trận bậc thang rút gọn $B$ tương đương với $A$ với $$B=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& -1& 0\end{array}\right]\Rightarrow P:=P_{(S,T)}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 1& 1& -1& 0\end{array}\right].$$ Do đó lệnh $\mathtt{\text{MatrixInverse(P)}}$ đưa ra ma trận chuyển cơ sở $P_{(T,S)}$ từ $T$ sang $S$.