Trong mục này, cho $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$.
Với hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ không gian sinh bởi hệ
còn được viết dưới dạng
$$
\langle \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_\mathbb{K} = \mathbb{K}\mathbf{v}_1+\cdots+\mathbb{K}\mathbf{v}_n.
$$
Điều này có nghĩa là không gian sinh của hệ véctơ là tổng các véctơ
trong không gian véctơ một chiều $\mathbb{K}\mathbf{v}_i$ với $\mathbf{v}_i\ne\mathbf{0}$.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp tổng quát hơn là tổng của các không
gian con bất kỳ của không gian véctơ $V$.
14.1. Tổng của các không gian con
$\textbf{Định nghĩa 14.1.}\ $
Cho $W_1,\dots,W_r$ là các không gian con của $V$. Khi đó
$$
W_1+\dots+W_r :=\set{\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r \in V \mid
\mathbf{w}_1\in W_1,\dots, \mathbf{w}_r\in W_r}
$$
được gọi là $\textbf{tổng}$ của $W_1,\dots,W_r$.
$\textbf{Ví dụ 14.2.}\ $
Trong $\mathbb{K}^3$, xét các không gian con
$$
W_1 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a\in \mathbb{K} }
\quad\text{và}\quad
W_2 = \set{ \begin{bmatrix}0\\ b\\ 0\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid b\in \mathbb{K} }.
$$
Khi đó tổng của $W_1$ và $W_2$ là
$$
W_1+W_2 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ 0\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a,b\in \mathbb{K} }.
$$
Đặc biệt, $W_1+W_2$ là một không gian con của $\mathbb{K}^3$.
$\textbf{Nhận xét 14.3.} \ $
Mỗi véctơ $\mathbf{w}$ của tổng $W_1+\cdots+W_r$ được viết dưới dạng
$$
\mathbf{w} \;=\; \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r
$$
trong đó $w_i\in W_i$ với $i=1,\dots,r$. Cách viết này nói chung là không duy nhất.
Chẳng hạn, xét các không gian con của $\mathbb{K}^3$
$$
W_1 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a+b+c=0 },\quad
W_2 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a+b-c=0 }.
$$
Khi đó véctơ $\mathbf{w} = \begin{bmatrix}1\\ -1\\ 0\end{bmatrix}$ thuộc $W_1\cap W_2$
và do đó nó có hai biểu diễn
$$
\mathbf{w} = \mathbf{w}+\mathbf{0} = \mathbf{0}+\mathbf{w}.
$$
$\textbf{Bổ đề 14.4.} \ $
Cho $W_1,\dots,W_r$ là các không gian con của $V$. Khi đó
-
$W_1+\dots+W_r$ là không gian con nhỏ nhất của $V$
chứa $W_1,\dots,W_r$.
- $\dim(W_1+\dots+W_r)\le \dim(W_1)+\cdots+\dim(W_r)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\quad$
Đặt $W= W_1+\dots+W_r$. Rõ ràng $\mathbf{0}\in W$, nên $W\ne \varnothing$.
Cho $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\cdots+\mathbf{v}_r \in W$
và $\mathbf{w} = \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r\in W$ với
$\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1\in W_1$,
$\dots, \mathbf{v}_r,\mathbf{w}_r\in W_r$ và $a\in \mathbb{K}$.
Ta có $\mathbf{v}_i+\mathbf{w}_i, a\mathbf{v}_i \in W_i$ với mọi $i=1,\dots,r$,
do $W_i$ là không gian con của $V$. Suy ra
\begin{align*}
\mathbf{v}+\mathbf{w} &\;=\;
(\mathbf{v}_1+\mathbf{w}_1)+\cdots+(\mathbf{v}_r+\mathbf{w}_r) \in W,\\
a\mathbf{v} &\;=\; a\mathbf{v}_1+\cdots+a\mathbf{v}_r \in W.
\end{align*}
Theo Mệnh đề 10.7, $W$ là một không gian con của $V$.
Hơn nữa, $W_1,\dots, W_r$ chứa trong $W$, vì mỗi $\mathbf{w}_i\in W_i$ có
thể viết dạng $\mathbf{w}_i = \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r \in W$
với $\mathbf{w}_j=\mathbf{0}$ khi $j\ne i$.
Giả sử $W'$ là một không gian con bất kỳ của $V$ chứa $W_1,\dots,W_r$.
Ta cần chỉ ra $W\subseteq W'$. Gọi $\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r\in W$
với $\mathbf{w}_1\in W_1$, $\dots,\mathbf{w}_r\in W_r$.
Vì $\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_r\in W'$ và $W'$ là không gian con,
nên $\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r\in W'$. Suy ra $W\subseteq W'$.
Vì vậy $W$ là không gian con nhỏ nhất của $V$ chứa $W_1,\dots,W_r$.
(b)$\quad$
Trường hợp một trong các không gian véctơ $W_i$ là vô hạn chiều thì (b) hiển nhiên.
Thế nên ta giả sử rằng $\dim(W_i)=d_i < \infty$ với mọi $i=1,\dots,r$.
Gọi $\set{\mathbf{w}_{i1},\dots,\mathbf{w}_{id_i}}$ là một cơ sở của $W_i$.
Khi đó không gian véctơ $W_1+\cdots+W_r$ có hệ sinh hữu hạn là
$\set{\mathbf{w}_{11},\dots,\mathbf{w}_{1d_1},\dots,
\mathbf{w}_{r1},\dots,\mathbf{w}_{rd_r} }$, tức
$$
W_1+\cdots+W_r = \langle \mathbf{w}_{11},\dots,\mathbf{w}_{1d_1},\dots,
\mathbf{w}_{r1},\dots,\mathbf{w}_{rd_r}\rangle_\mathbb{K}.
$$
Vì mọi hệ sinh hữu hạn đều chứa cơ sở, nên
$\dim(W_1+\dots+W_r)\le d_1+\cdots+d_r$.
Trong trường hợp chỉ có hai không gian con, ta có công thức về chiều cho
tổng của chúng như sau.
$\textbf{Định lý 14.5 } \ $
Cho $W_1$ và $W_2$ là không gian con hữu hạn chiều trong $V$.
Khi đó ta có
$$
\dim(W_1+W_2) = \dim(W_1)+\dim(W_2) - \dim(W_1\cap W_2).
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Gọi $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m}$ là một cơ sở của $W_1\cap W_2$.
Do $W_1\cap W_2\subseteq W_1$ nên ta có thể bổ sung các véctơ
$\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_k$ sao cho
$\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m, \mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_k}$
là một cơ sở của $W_1$.
Tương tự, ta bổ sung $\mathbf{w}'_1,\dots,\mathbf{w}'_l$ sao cho
$\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m, \mathbf{w}'_1,\dots,\mathbf{w}'_l}$
là một cơ sở của $W_2$.
Khi đó $W_1+W_2$ có một hệ sinh là
$\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m, \mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_k,
\mathbf{w}'_1,\dots,\mathbf{w}'_l}$.
Ta chứng minh hệ này là độc lập tuyến tính.
Giả sử $a_1 ,\dots,a_m, b_1,\dots,b_k,b'_1,\dots,b'_l\in \mathbb{K}$ sao cho
\begin{equation} \tag{14.1}
a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_m\mathbf{v}_m+
b_1\mathbf{w}_1+\cdots+b_k\mathbf{w}_k+
b'_1\mathbf{w}'_1+\cdots+b'_l\mathbf{w}'_l
=\mathbf{0}
\end{equation}
Ta đặt
$$
\mathbf{v} := a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_m\mathbf{v}_m+
b_1\mathbf{w}_1+\cdots+b_k\mathbf{w}_k.
$$
Khi đó $\mathbf{v}\in W_1$ và
$-\mathbf{v}=b'_1\mathbf{w}'_1+\cdots+b'_l\mathbf{w}'_l \in W_2$,
do đó $\mathbf{v}\in W_1\cap W_2$.
Tồn tại $a'_1,\dots, a'_m\in \mathbb{K}$ sao cho
$$
\mathbf{v}= a'_1\mathbf{v}_1+\cdots+a'_m\mathbf{v}_m,
$$
kéo theo
$$
a'_1\mathbf{v}_1+\cdots+a'_m\mathbf{v}_m +b'_1\mathbf{w}'_1+\cdots+b'_l\mathbf{w}'_l
=\mathbf{0}.
$$
Từ tính độc lập tuyến tính của cơ sở của $W_2$ suy ra $b'_1=b'_2=\cdots=b'_n=0$.
Thế vào (14.1) và theo tính độc lập tuyến tính của cơ sở của $W_1$,
ta thu được $a_1=\cdots=a_m=b_1=\cdots=b_k=0$.
Do đó, hệ sinh gồm $m+k+l$ véctơ trên là độc lập tuyến tính,
nên nó là một cơ sở của $W_1+W_2$ và công thức về chiều được suy ra.
$\textbf{Ví dụ 14.6.}\ $
Trong $\mathbb{K}^3$ xét các không gian con
$$
W_1 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a+b+c=0 },\quad
W_2 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a+b-c=0 }.
$$
Khi đó $W_1$ và $W_2$ là các không gian con có chiều bằng 2 với cơ sở
lần lượt là
$$
\set{ \begin{bmatrix}1\\ -1\\ 0\end{bmatrix},\,\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix} },\quad
\set{ \begin{bmatrix}1\\ -1\\ 0\end{bmatrix},\,\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 1\end{bmatrix} }.
$$
Giao của $W_1$ và $W_2$ là
$$
W_1\cap W_2 \;=\;
\set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \, \Big|\,
\begin{array}{l} a+b+c=0\\ a+b-c=0 \end{array} } \;=\;
\set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ 0\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \, \Big|\, a+b=0 },
$$
đặc biệt, $W_1\cap W_2$ là không gian con có chiều bằng 1 với cơ sở là
$\set{\begin{bmatrix}1\\ -1\\ 0\end{bmatrix}}$.
Theo công thức chiều trong Định lý 14.5, ta có
$$
\dim(W_1+ W_2) = \dim(W_1)+\dim(W_2)-\dim(W_1\cap W_2)=3,
$$
vì vậy $W_1+W_2=\mathbb{K}^3$.
14.2. Tổng trực tiếp các không gian con
$\textbf{Hệ quả 14.7.} \ $
Cho $W_1,W_2$ là các không gian con của $V$.
Nếu $V=W_1+W_2$ thì các điều kiện sau là tương đương:
-
$W_1\cap W_2=\set{\mathbf{0}}$.
-
Mỗi véctơ $\mathbf{v}\in V$ được biểu diễn duy nhất dạng
$\mathbf{v}=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2$ với $\mathbf{w}_1\in W$,
$\mathbf{w}_2\in W_2$.
- Hệ gồm hai véctơ khác không $\mathbf{w}_1\in W_1$ và $\mathbf{w}_2\in W_2$
là độc lập tuyến tính.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\Rightarrow$(b): $\ $ Nếu $\mathbf{v}=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2 =
\hat{\mathbf{w}}_1+\hat{\mathbf{w}}_2$ thì
$$
\mathbf{w}_1 - \hat{\mathbf{w}}_1 = \hat{\mathbf{w}}_2-\mathbf{w}_2 \in W_1\cap W_2.
$$
Do đó (a) suy ra $\mathbf{w}_1 = \hat{\mathbf{w}}_1$ và
$\mathbf{w}_2=\hat{\mathbf{w}}_2$.
(b)$\Rightarrow$(c):$\ $
Nếu hệ gồm hai véctơ khác không $\mathbf{w}_1\in W_1$ và $\mathbf{w}_2\in W_2$ là
phụ thuộc tuyến tính, thì véctơ không có hai cách biểu diễn, mâu thuẫn
với giả thiết (b).
(c)$\Rightarrow$(a):$\ $
Nếu $\mathbf{0}\ne \mathbf{v}\in W_1\cap W_2$, thì
$$
1\cdot \mathbf{v} +(-1)\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}
$$
tức có hệ $\set{\mathbf{v},\mathbf{v}}$ gồm hai véctơ khác không với $\mathbf{v}\in W_1$
và $\mathbf{v}\in W_2$ là phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết (c).
Bổ đề 14.7 đưa tới định nghĩa sau.
$\textbf{Định nghĩa 14.8.}\ $
Không gian véctơ $V$ là $\textbf{tổng trực tiếp}$ của hai không gian con
$W_1$ và $W_2$, ký hiệu $V=W_1\oplus W_2$, nếu $V= W_1+W_2$ và mỗi véctơ
$\mathbf{v}\in V$ được biểu diễn duy nhất dạng
$\mathbf{v}=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2$ với $\mathbf{w}_1\in W$,
$\mathbf{w}_2\in W_2$.
$\textbf{Ví dụ 14.9.}\ $
Trong $\mathbb{K}^3$ xét các không gian con
$$
W_1 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ 0\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a,b\in \mathbb{K} },\quad
W_2 = \set{ \begin{bmatrix}0\\ 0\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid c\in \mathbb{K} }.
$$
Khi đó
$$
W_1+W_2 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} \in \mathbb{K}^3 \mid a,b,c\in \mathbb{K} }= \mathbb{K}^3,
\quad W_1\cap W_2 = \varnothing.
$$
Vì vậy $\mathbb{K}^3 = W_1\oplus W_2$.
$\textbf{Ví dụ 14.10.}\ $
Xét hai không gian con $W_1$ và $W_2$ trong $\mathbb{K}^3$ ở Ví dụ 14.6.
Ta thấy rằng $\mathbb{K}^3 = W_1+W_2$ nhưng tổng này không là tổng trực tiếp, vì
$W_1\cap W_2$ là không gian con có chiều bằng 1, khác không.
$\textbf{Mệnh đề 14.11.} \ $
Giả sử $V$ là không gian hữu hạn chiều và $W_1$, $W_2$ là các không gian con của $V$.
Các điều kiện sau là tương đương:
-
$V=W_1\oplus W_2$.
- Nếu $\set{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_k}$ và
$\set{\mathbf{w}'_1,\dots,\mathbf{w}'_l}$ lần lượt là cơ sở của $W_1$ và $W_2$, thì
$\set{\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_k,\mathbf{w}'_1,\dots,\mathbf{w}'_l}$
là một cơ sở của $V$.
- $V=W_1+W_2$ và $\dim(V)=\dim(W_1)+\dim(W_2)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\Rightarrow$(b)$\Rightarrow$(c): $\ $ Điều này được suy ra từ chứng minh của
Định lý 14.5 trong trường hợp đặc biệt
$W_1\cap W_2=\set{\mathbf{0}}$.
(c)$\Rightarrow$(a): $\ $
Theo công thức chiều trong Định lý 14.5, ta có
$\dim(W_1\cap W_2)=0$, thế nên $W_1\cap W_2=\set{\mathbf{0}}$.
$\textbf{Hệ quả 14.12.} \ $
Nếu $V$ là không gian hữu hạn chiều và $W\subseteq V$ là không gian con, thì
tồn tại một không gian con $W'\subseteq V$ sao cho
$$
V=W\oplus W'.
$$
Không gian con $W'$ gọi là $\textbf{phần bù tuyến tính}$ của $W$ trong $V$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Gọi $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m}$ là một cơ sở của $W$.
Ta mở rộng cơ sở này thành một cơ sở
$\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_m,\mathbf{v}_{m+1},\dots,\mathbf{v}_n}$
của $V$. Đặt $W' = \langle \mathbf{v}_{m+1},\dots,\mathbf{v}_n\rangle_\mathbb{K}$.
Khi đó Mệnh đề 14.11 suy ra $V=W_1\oplus W_2$.
$\textbf{Nhận xét 14.13.} \ $
Giả sử $V=W_1\oplus W_2$. Mỗi $v\in V$ có biểu diễn duy nhất dạng
$\mathbf{v}=\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2$ với $\mathbf{w}_1\in W_1$,
$\mathbf{w}_2)\in W_2$. Khi đó, các ánh xạ
$$
\text{pr}_1\colon V\rightarrow W_1,\, \mathbf{v}\mapsto \mathbf{w}_1; \quad
\text{pr}_2\colon V\rightarrow W_2,\, \mathbf{v}\mapsto \mathbf{w}_2
$$
được gọi là các $\textbf{phép chiếu tự nhiên}$ của $V$ xuống hạng tử
trực tiếp của nó.
Đặc biệt, ta có
$
\text{pr}_i(a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2)
=a_1\text{pr}_i(\mathbf{v}_1)+a_2\text{pr}_i(\mathbf{v}_2)
$
với mọi $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in V$,
với mọi $a_1, a_2 \in \mathbb{K}$, và với mọi $i=1,2$.
Trường hợp tổng quát với hữu hạn không gian con, ta có định nghĩa tổng trực tiếp sau.
$\textbf{Định nghĩa 14.14.}\ $
Cho số nguyên dương $r\ge 2$ và cho $W_1,\dots,W_r$ là các không gian con của $V$.
Khi đó tổng $W_1+\cdots+W_r$ gọi là $\textbf{tổng trực tiếp}$ của
$W_1,\dots,W_r$, ký hiệu $W_1\oplus\cdots\oplus W_r$, nếu mỗi véctơ
$\mathbf{v}\in W_1+\cdots+W_r$ được biểu diễn duy nhất dạng
$$
\mathbf{v} \;=\; \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r
$$
với $\mathbf{w}_1\in W_1,\dots,\mathbf{w}_r\in W_r$.
$\textbf{Ví dụ 14.15.}\ $
Không gian véctơ $\mathbb{K}^n$ có cơ sở chính tắc là
$$
\mathcal{E} \;=\; \set{\mathbf{e}_1=[1, 0, \dots, 0]^T,\;
\mathbf{e}_2=[0, 1, \dots, 0]^T,\dots,\;
\mathbf{e}_n=[0, 0, \dots, 1]^T }.
$$
Đặt $E_i := \set{a\mathbf{e}_i \mid a\in \mathbb{K}} = \langle \mathbf{e}_i\rangle_\mathbb{K}$
với $i=1,\dots,n$. Khi đó ta có
$$
\mathbb{K}^n = E_1\oplus E_2\oplus \cdots\oplus E_n.
$$
$\textbf{Ví dụ 14.16.}\ $
Trong $\mathbb{K}^3$, cho cơ sở chính tắc $\mathcal{E}=\set{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3}$,
và xét các không gian con
$$
W_1 = \langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 \rangle_\mathbb{K},\quad
W_2 = \langle \mathbf{e}_3\rangle_\mathbb{K},\quad
W_3 = \langle \mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3 \rangle_\mathbb{K}.
$$
Rõ ràng $\mathbb{K}^3 = W_1+W_2+W_3$, vì mỗi véctơ trong $\mathbb{K}^3$ được viết dạng
$$
\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\\ b\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 0\\ c\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}
=(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2)+c\mathbf{e}_3+0\cdot(\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3).
$$
Tuy nhiên, $\mathbb{K}^3 = W_1+W_2+W_3$ không là tổng trực tiếp, do véctơ $\mathbf{0}$
có hai cách biểu diễn dạng $\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2+\mathbf{w}_3$ với
$\mathbf{w}_i\in W_i$. Cụ thể là
$$
\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0\\ -1\\ -1\end{bmatrix}
\;=\; \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Định lý 14.17.} \ $
Cho số nguyên $r\ge 2$ và $W_1,\dots, W_r$ là các không gian con của $V$
và đặt $W := W_1+W_2+\cdots+W_r$. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
-
$W = W_1\oplus \cdots \oplus W_r$.
-
$\forall \mathbf{w}_1\in W_1$, $\dots,\forall \mathbf{w}_r\in W_r$: $\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r=\mathbf{0}$ $\;\Rightarrow\;$
$\mathbf{w}_1=\cdots=\mathbf{w}_r=\mathbf{0}$.
- $W_i\cap (\sum_{j\ne i} W_j)=\{\mathbf{0}\}, i=1,\dots, r.$
- $W_i\cap (\sum_{j> i} W_j)=\{\mathbf{0}\}, i=1,\dots,r-1.$
Hơn nữa, nếu $W$ là hữu hạn chiều thì các phát biểu trên tương đương với
- $\dim(W)=\dim(W_1)+\cdots+\dim(W_r)$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a)$\Rightarrow$(b): $\ $ Điều này rõ ràng từ định nghĩa tổng trực tiếp.
(b)$\Rightarrow$(c): $\ $
Giả sử có $i\in\{1,\dots,r\}$ sao cho
$W_i\cap (\sum_{j\ne i} W_j)\ne \{\mathbf{0}\}$.
Gọi $\mathbf{0}\ne \mathbf{w}_i\in W_i\cap (\sum_{j\ne i} W_j)$.
Do $\mathbf{w}_i\in \sum_{j\ne i} W_j$ nên tồn tại $\mathbf{w}_j\in W_j$
sao cho $\mathbf{w}_i=\sum_{j\ne i}\mathbf{w}_j.$
Do đó ta có
$$
\mathbf{w}_i-\sum_{j\ne i}\mathbf{w}_j =\mathbf{0}
$$
và điều này mâu thuẫn với giả thiết (b).
(c)$\Rightarrow$(d): $\ $ Điều này là hiển nhiên.
(d)$\Rightarrow$(a): $\ $
Giả sử $\mathbf{v}\in W$ được viết dưới dạng
$$
\mathbf{v} \;=\; \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r
\;=\; \mathbf{w}'_1+\cdots+\mathbf{w}'_r
$$
với $\mathbf{w}_i,\mathbf{w}'_i\in W_i$ ($i=1,\dots,r$).
Ta thấy
$$
(\mathbf{w}_1-\mathbf{w}'_1) \;=\; (\mathbf{w}'_2 -\mathbf{w}_2)+
\cdots+(\mathbf{w}'_r -\mathbf{w}_r) \in W_1\cap(\sum_{j> 1} W_j).
$$
Giả thiết (d) suy ra $\mathbf{w}_1=\mathbf{w}'_1$ và do đó
$$
(\mathbf{w}_2-\mathbf{w}'_2) \;=\; (\mathbf{w}'_3 -\mathbf{w}_3)
+\cdots+(\mathbf{w}'_r -\mathbf{w}_r) \in W_2\cap(\sum_{j> 2} W_j).
$$
Thế nên $\mathbf{w}_2=\mathbf{w}'_2$ theo giả thiết (d).
Tiếp tục quá trình này, ta nhận được $\mathbf{w}_i=\mathbf{w}'_i$
với mọi $i=1,\dots,r$. Vậy $W = W_1\oplus\cdots\oplus W_n$.
Bây giờ ta giả sử rằng $W$ là hữu hạn chiều.
Gọi $\set{\mathbf{v}_{i1},\dots,\mathbf{v}_{id_i}}$ là một cơ sở
của $W_i$ với $d_i=\dim(W_i)$. Ta biết rằng
$\mathcal{B}:=\set{\mathbf{v}_{11},\dots,\mathbf{v}_{1d_1},\dots,
\mathbf{v}_{r1},\dots,\mathbf{v}_{rd_r} }$
là một hệ sinh của $W$.
Xét biểu thị tuyến tính
\begin{equation}\tag{14.2}
a_{11}\mathbf{v}_{11}+\cdots+a_{1d_1}\mathbf{v}_{1d_1}+
a_{r1}\mathbf{v}_{r1}+\cdots+a_{rd_r}\mathbf{v}_{rd_r}=
\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r=\mathbf{0}
\end{equation}
với $a_{ij}\in \mathbb{K}$ và $\mathbf{w}_i =a_{i1}\mathbf{v}_{i1}+\cdots+a_{id_i}\mathbf{v}_{id_i} \in W_i$.
Ta thấy rằng $\mathcal{B}$ là cơ sở của $W$ nếu và chỉ nếu
$\mathcal{B}$ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu
$$
\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r=\mathbf{0}\,\;\Rightarrow\;\,
\mathbf{w}_1=\cdots=\mathbf{w}_r=\mathbf{0}
$$
với $\mathbf{w}_i\in W_i$ ($i=1,\dots,r$). Vì vậy các phát biểu (b) và (e) là tương đương
và định lý được chứng minh.
Sử dụng Maple
Trong phần này ta xét các không gian con trong không gian véctơ $\mathbb{K}^n$
với số nguyên $n\ge 1$. Để tính tổng của các không gian con
$W_1,\dots,W_r$ trong $\mathbb{K}^n$ ta chỉ cần lấy hợp của các tập sinh
của mỗi không gian con và tính cơ sở và biết chiều của nó qua
lệnh $\texttt{Basis}$ trong gói lệnh $\texttt{LinearAlgebra}$
(như mục trước). Hơn nữa, ta có thể dùng lệnh $\texttt{SumBasis}$
để tính cơ sở của tổng các không gian con như ví dụ cụ thể sau.
Trong $\mathbb{K}^3$, xét các véctơ
$$
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\ -1\\ 0\end{bmatrix},
\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix},
\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}0\\ 2\\ -2\end{bmatrix},
\mathbf{v}_4 = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 2\end{bmatrix},
\mathbf{v}_5 = \begin{bmatrix}2\\ 0\\ 2\end{bmatrix},
\mathbf{v}_6 = \begin{bmatrix}0\\ 3\\ 3\end{bmatrix}
$$
và các không gian $W_1 =\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\rangle_\mathbb{K}$,
$W_2 =\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_4, \mathbf{v}_5\rangle_\mathbb{K}$, and
$W_3 =\langle \mathbf{v}_6\rangle_\mathbb{K}$. Khi đó, tính toán với $\texttt{Maple}$
ở dưới cho ta biết cơ sở của $W_1$ là
$\set{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2}$, của $W_2$ là
$\set{\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_4}$, và của $W_3$ là $\set{\mathbf{v}_6}$.
$\hspace{0cm}\texttt{> with(LinearAlgebra):}$
$\hspace{0cm}\texttt{> v1 := <1|-1|0>: v2 := <1|0|-1>: v3 := <0|2|-2>:}$
$\hspace{0cm}\texttt{> v4 := <0|0|2>: v5 := <2|0|2>: v6 := <0|3|3>:}$
$\hspace{0cm}\texttt{> W1 := [v1, v2, v3]: W2 := [v2, v4, v5]: W3 := [v6]:}$
$\hspace{0cm}\texttt{> Basis(W1);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ [[1, -1, 0], [1, -1, 0]]}$
$\hspace{0cm}\texttt{> Basis(W2);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ [[1, -1, 0], [0, 0, 2]]}$
$\hspace{0cm}\texttt{> Basis(W3);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ [[0, 3, 3]]}$
Cơ sở của các tổng $W_1+W_2$ và $W_1+W_3$ được tính bởi
$\hspace{0cm}\texttt{> SumBasis([W1,W2]);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ [[1, -1, 0], [1, -1, 0], [0, 0, 2]]}$
$\hspace{0cm}\texttt{> SumBasis([W1,W3]);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ [[1, -1, 0], [1, -1, 0], [0, 3, 3]]}$
Điều này suy ra rằng $W_1+W_2 = W_1+W_3 = \mathbb{K}^3$.
Theo Định lý 14.7 và
$$
\dim(W_1)+\dim(W_2)
=
4>3
=
\dim(\mathbb{K}^3)
=
\dim(W_1)+\dim(W_3),
$$
ta thu được $\mathbb{K}^3=W_1\oplus W_3$, trong khi $\mathbb{K}^3=W_1+W_2$
không phải tổng trực tiếp. Đặc biệt, ta có $W_1\cap W_3=\set{\mathbf{0}}$,
trong khi $W_1\cap W_2\ne \set{\mathbf{0}}$ và có cơ sở được tính bới
lệnh $\texttt{IntersectionBasis}$:
$\hspace{0cm}\texttt{> IntersectionBasis([W1,W2]);}$
$\hspace{0cm}\texttt{ [[1, 0, -1]] }$
tức $\set{\mathbf{v}_2}$ là cơ sở của $W_1\cap W_2$.
Comments
Post a Comment