Bài 1: TẬP HỢP

1.1. Khái niệm tập hợp

Đối tượng của toán học gồm nhiều loại khác nhau, trong đó chúng ta đã quen thuộc với các đối tượng như các số, điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, đường tròn, phương trình, vv. Thông thường các đối tượng có cùng một tính chất chung được gom thành các tập hợp, và chúng có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Tập hợp là một khái niệm cơ bản và thâm nhập vào toàn bộ cách nghĩ trong toán học ngày nay. Tập hợp là một khái niệm không được định nghĩa mà được hiểu một cách trực giác như sau. Tất cả những đối tượng được xác định theo một quy tắc nào đó được xem là $\textbf{một tập hợp}$. Những đối tượng này được gọi là các $\textbf{phần tử}$ của tập hợp đó. (Để ngắn gọn, đôi khi ta nói $\textbf{tập}$ thay cho tập hợp.) Một tập hợp có thể không có một phần tử nào cả, một tập như vậy được gọi là $\textbf{tập rỗng}$, ký hiệu là $\varnothing$.

$\textbf{Định nghĩa 1.1.}$ Cho $A$ là một tập hợp khác rỗng. Nếu $a$ là một phần tử của của $A$, thì người ta nói rằng ``$\textbf{a thuộc A}$'' hay ``$\textbf{A chứa a}$'' và ký hiệu $a\in A$. Trường hợp ngược lại, người ta nói rằng ``$\textbf{a không thuộc A}$'' hay ``$\textbf{A không chứa a}$'' và ký hiệu $a\notin A$.

$\textbf{Ví dụ 1.2.}$ Gọi $T$ là tập tất cả các tứ giác trong mặt phẳng. Nếu $H$ là một hình bình hành thì $H$ thuộc $T$ hay $H\in T$. Nếu $C$ là một đường tròn, thì $C$ không thuộc $T$ hay $C\notin T$.

Tập $A$ gồm các phần tử $a, b, c, \dots$ được ký hiệu là $A = \{a, b, c, \dots\}$. Để mô tả một tập hợp, người ta có thể liệt kê các phần tử của nó, chẳng hạn, tập hợp $\{0, 1, 3, 6\}.$ Trường hợp các phần tử của một tập hợp được xác định bởi một tính chất $P$ cho trước, người ta mô tả tập dạng $\{ x \mid P(x)\}$. Chẳng hạn, $\{ n \mid n\ \mbox{là số tự nhiên chẵn} \}$. Dưới đây là các tập hợp số thường gặp:

1. $\mathbb{N} =\{\, 0,1,2,3,\dots \,\}$ là tập các số tự nhiên.
2. $\mathbb{N}^* =\{\, 1,2,3,\dots \,\}$ là tập các số tự nhiên khác 0.
3. $\mathbb{Z} =\{\,\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \,\}$ là tập các số nguyên.
4. $\mathbb{Q} =\{\, \frac{a}{b} \mid a,b\in \mathbb{Z}, b\ne 0 \,\}$ là tập các số hữu tỉ.
5. $\mathbb{R} = \{\, x \mid x\ \mbox{là số thực}\, \}$.
6. $\mathbb{C} = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}$ là tập các số phức, trong đó $i$ là đơn vị ảo.

$\textbf{Định nghĩa 1.3.}$ Một tập hợp $A$ được gọi là $\textbf{tập hữu hạn}$ nếu $A=\varnothing $ hoặc tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho các phần tử của $A$ được đánh số bởi dãy $1, \dots,n$ để mỗi phần tử của $A$ xuất hiện đúng một lần trong dãy, ta ký hiệu $|A|$ là số các phần tử của tập hợp $A$. Ngược lại, $A$ được gọi là $\textbf{tập vô hạn}$.

$\textbf{Ví dụ 1.4.}$ Tập hợp $\{a,b,c,d\}$ là tập hữu hạn, và một cách đánh số là: đánh số 1 cho $a$, 2 cho $b$, 3 cho $c$, và 4 cho $d$. Trong khi đó các tập hợp $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ là các tập vô hạn.

$\textbf{Định nghĩa 1.5.}$ Một tập hợp $A$ được gọi là một $\textbf{tập hợp con}$ (hay $\textbf{tập con}$) của một tập $B$ nếu mọi phần tử của $A$ cũng là phần tử của $B$, ký hiệu $A\subseteq B$ (đọc là $A$ chứa trong $B$) hay $B\supseteq A$ (đọc là $B$ chứa $A$). Nếu $A$ là tập con của $B$ và $A \ne B$ thì gọi $A$ là $\textbf{tập con thực sự}$ của $B$, ký hiệu $A \subsetneq B$ hay $B \supsetneq A$.

Tập hợp rỗng $\varnothing $ là tập con của mọi tập hợp và với $A, B, C$ là các tập hợp tuỳ ý chúng ta có $A\subseteq A$ và nếu $A\subseteq B$ và $B\subseteq C$ thì $A\subseteq C.$

$\textbf{Định nghĩa 1.6.}$ Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là $\textbf{bằng nhau}$, ký hiệu $A=B$, nếu $A\subseteq B$ và $B\subseteq A.$ Nếu $A$ và $B$ không bằng nhau, người ta ký hiệu $A\ne B$.

$\textbf{Ví dụ 1.7.}$ 

1. Xét các tập hợp $A=\{1,3,5\}$, $B=\{2,4,6\}$, $C=\{1,2,3,4\}$, $D=\{1,2,3,4,5\}$ và $E=\{1,1,3,5,5\}$. Hai tập $A$ và $B$ là rời nhau vì không có phần tử chung, hai tập $A$ và $C$ có phần tử chung $1,3$, nhưng $A$ không là tập con của $C$ vì $5\in A$ và $5\notin C$, và $C$ cũng không là tập con của $A$ vì $2\in C$ và $2\notin A$. Hơn nữa, chúng ta có $A\subset D$, $C\subset D$, và $A=E$. 
2.  Hai tập hợp $A=\{\, x\in \mathbb{R} \mid x^3-x=0\,\}$ và $B=\{\, -1,0,1\,\}$ là bằng nhau. Ở đây, $B$ là tập tất cả các nghiệm thực của phương trình $x^3-x=0$. 
3.  Nếu $A$ là một tập hợp, thì tập tất cả các tập con của $A$ là $\mathcal{P}(A) = \{\, X \mid X\subseteq A \,\}$. Chẳng hạn, với $A=\{0,1,3\}$ chúng ta có $$ \mathcal{P}(A) = \{\, \varnothing ,\ \{0\},\ \{1\},\ \{3\},\ \{0, 1\},\ \{0, 3\},\ \{1, 3\},\ \{0, 1, 3\} \,\}. $$

1.2. Các phép toán trên tập hợp

Dưới đây là một số cách xây dựng tập hợp mới từ các tập hợp cho trước.

$\textbf{Định nghĩa 1.8.}$ Cho $A$ và $B$ là các tập hợp. 

1. $\textbf{Hợp}$ của $A$ và $B$, ký hiệu $A \cup B,$ là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp, tức là $A\cup B = \{\, x \mid x\in A\ \mbox{hoặc}\ x\in B \,\}$. 
2.   $\textbf{Giao}$  của $A$ và $B$, ký hiệu $A\cap B$, là tập hợp các phần tử thuộc đồng thời $A$ và~$B$, tức là $A\cap B = \{\, x \mid x\in A\ \mbox{và}\ x\in B \,\}$. 
3. $\textbf{Hiệu}$  của $A$ đối với $B$, ký hiệu $A \setminus B,$ là tập hợp các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc~$B$, tức là $A\setminus B = \{\, x \mid x\in A\ \mbox{và}\ x\notin B \,\}$.

Các phép toán hợp, giao có thể tổng quát cho một họ các tập hợp $(A_i)_{i\in I}, I\subset \mathbb{N}$.  Các phép toán trên tập hợp có các tính chất cơ bản sau.

$\textbf{Mệnh đề 1.9.}$ Cho $A, B, C$ là các tập hợp tùy ý. Khi đó ta có các đẳng thức sau: 

1.  $A\cap A = A = A\cup A$. 
2.  $A\cap \varnothing = \varnothing $, $A\cup \varnothing = A$. 
3.  $A\cap B= B\cap A$, $A\cup B=B\cup A$. 
4.  $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$, $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$. 
5.  $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$, $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).$ 
6.  $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$, $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Chúng ta sẽ chứng minh câu 5 và các các câu còn lại được xem như bài tập. Trước hết ta chỉ ra $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$. Do $A\setminus B$ và $A\setminus C$ chứa trong $A\setminus(B\cap C)$ nên $(A\setminus B)\cup (A\setminus C)\subseteq A\setminus(B\cap C).$ Đảo lại, giả sử $x\in A\setminus(B\cap C),$ ta có $x\in A$ và $x\notin B\cap C.$ Do đó, $x\notin B$ hoặc $x\notin C.$ Từ đó suy ra $x\in A\setminus B$ hoặc $x\in A\setminus C.$ Vậy $x\in (A\setminus B)\cup (A\setminus C).$ Hay nói cách khác, $A\setminus(B\cap C)\subseteq (A\setminus B)\cup (A\setminus C).$ Tương tự, ta chỉ ra $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).$ Ta có $A\setminus (B\cup C)\subseteq A\setminus B$ và $A\setminus (B\cup C)\subseteq A\setminus C$ nên $A\setminus (B\cup C)\subseteq (A\setminus B)\cap (A\setminus C)$. Ngược lại, với $x\in (A\setminus B)\cap (A\setminus C)$ thì $x\in A\setminus B$ và $x\in A\setminus C.$ Ta thấy $x\in A\setminus B$ nên $x\in A$ và $x\notin B$. Hơn thế, $x\in A\setminus C$ nên $x\in A$ và $x\notin C.$ Từ đó suy ra $x\in A$ và $x\notin B\cup C.$ Vậy $x\in A\setminus (B\cup C).$

Cho $A$ là một tập hợp. Ta nói $A$ là $\textbf{tập đơn}$ nếu $A=\{a\}$ có duy nhất một phần tử $a$; $A$ là $\textbf{cặp không có thứ tự}$ nếu $A=\{a,b\}$ có chính xác hai phần tử $a,b$; $A$ là $\textbf{cặp có thứ tự}$ nếu $A=\{\{a\},\{a,b\}\}$ với các phần tử $a,b$. Cặp có thứ tự $\{\{a\},\{a,b\}\}$ được ký hiệu là $(a,b)$, và $(a,b)\ne (b,a)$ vì $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ và $(b,a)=\{\{b\},\{b,a\}\}$.

$\textbf{Mệnh đề 1.10.}$  Ta có $(a,b)=(c,d)$ nếu và chỉ nếu $a=c$ và $b=d$.

$\textbf{Chứng minh.}$ Nếu $a=c$ và $b=d$ thì rõ ràng $(a,b)=(c,d)$. Ngược lại, giả sử $(a,b)=(c,d)$, tức là $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$. Vì hai tập bằng nhau nếu các phần tử của nó giống nhau, nên có hai trường hợp sau: 

1. $\{a\}=\{c\}$ và $\{a,b\}=\{c,d\}$: Khi đó $a=c$, và từ $\{a,b\}=\{c,d\}$ suy ra $b=d$. 
2. $\{a\}=\{c,d\}$ và $\{a,b\}=\{c\}$: Từ $\{a\}=\{c,d\}$ suy ra $a=c=d$, và từ $\{a,b\}=\{c\}$ suy ra $a=b=c$, thế nên $a=b=c=d$. Vậy bổ đề được chứng minh.

$\textbf{Định nghĩa 1.11.}$ Cho hai tập hợp $A$ và $B$. $\textbf{Tích Descartes}$ của $A$ và $B$ là tập hợp được định bởi $$ A\times B =\{\, (a,b) \mid a\in A,\ b\in B \,\}. $$

$\textbf{Nhận xét}$ Tích trên của hai tập hợp được lấy tên từ nhà toán học Ren\'e Descartes (1596-1650), một trong những người sáng lập ra hình học giải tích hiện đại. Tích $A\times B$ là tập tất cả các cặp có thứ tự với thành phần thứ nhất thuộc $A$ và thành phần thứ hai thuộc $B$. Nếu $A_1,\dots, A_n$ là một họ các tập hợp, bằng quy nạp người ta định nghĩa tích Descartes $A_1\times\dots\times A_n$, trong đó mỗi phần tử của $A_1\times\dots\times A_n$ được viết bởi bộ có thứ tự $(a_1,\dots, a_n)$ với $a_i\in A_i, i=1,\dots, n$. Trường hợp $A_1=\dots=A_n=A$ thì tích $A\times\dots\times A$ được gọi là $\textbf{lũy thừa bậc n}$ của tập hợp $A$, ký hiệu $A^n.$

$\textbf{Ví dụ 1.13.}$ 

1. Cho $A = \{0,1,3\}$ và $B = \{a,b\}$. Ta có \begin{align*} A\times B &=\{\, (0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (3, a), (3, b)\,\},\\ B\times A &=\{\, (a,0), (a, 1), (a, 3), (b, 0), (b, 1), (b, 3)\,\}. \end{align*} 
2.  Tập $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ là tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng tọa độ Descartes. 

1.3. Quan hệ trên tập hợp

$\textbf{Định nghĩa 1.14.}$ Một $\textbf{quan hệ}$ trên một tập hợp $A$ là một tập con của $A\times A$.

Nếu $R$ là một quan hệ trên một tập hợp $A$ cho trước và $(a,b)\in R$ thì ta viết $aRb$ (đọc là ``$a$ quan hệ $R$ với $b$'').

$\textbf{Ví dụ 1.15}$  Cho $A=\{2,4,6,8\}$ và định nghĩa quan hệ $R$ trên $A$ bởi $(a,b)\in R$ khi và chỉ khi $a$ là ước của $b$. Khi đó $$ R =\{\, (2,2),\ (2,4),\ (2,6),\ (2,8),\ (4,4),\ (4,8),\ (6,6),\ (8,8) \,\}. $$ Tương tự, nếu $A=\mathbb{R}$ và định nghĩa qua hệ $R$ trên $\mathbb{R}$ bởi $xRy$ khi và chỉ khi $y=x^{2}$. Khi đó $R$ gồm tất cả các điểm trên đường parabol $y=x^{2}$.

$\textbf{Định nghĩa 1.16.}$ Một quan hệ $R$ trên một tập hợp $A$ gọi là có tính: 

1.  $\textbf{phản xạ}$   nếu $aRa$ với mọi $a\in A$; 
2.  $\textbf{đối xứng}$   nếu $aRb$ suy ra $bRa$; 
3.  $\textbf{phản đối xứng}$   nếu $aRb$ và $bRa$ suy ra $a=b$; 
4.  $\textbf{bắc cầu}$    nếu $aRb$ và $bRc$ suy ra $aRc$.

$\textbf{Định nghĩa 1.17.}$ Cho $R$ là một quan hệ trên một tập hợp $A$. 

1. $R$ được gọi là $\textbf{quan hệ thứ tự}$  nếu $R$ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. 
2.  $R$ được gọi là $\textbf{quan hệ thứ tự toàn phần}$ nếu $R$ là một quan hệ thứ tự và với mọi $a,b\in A$ thì $aRb$ hoặc $bRa$.

$\textbf{Ví dụ 1.18.}$ Cho $A=\mathbb{N}$ và $R$ là quan hệ trên $A$ định bởi $mRn$ nếu và chỉ nếu $m\le n$. Dễ dàng chỉ ra rằng quan hệ $\le$ (hay $R$) có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Hơn nữa, với mọi $m,n\in \mathbb{N}$ ta có $m\le n$ hoặc $n\le m$. Vì vậy quan hệ $\le$ (hay $R$) là một quan hệ thứ tự toàn phần trên $\mathbb{N}$.

$\textbf{Định nghĩa 1.19.}$Một quan hệ $\sim$ trên một tập hợp $A$ được gọi là $\textbf{quan hệ tương đương}$ nếu $R$ có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

$\textbf{Ví dụ 1.20.}$ 

1. Quan hệ bằng nhau trên tập số thực là một quan hệ tương đương. 
2. Gọi $V$ là tập hợp tất cả hình vuông và định nghĩa quan hệ $\sim$ trên $V$ bởi $A\sim B$ nếu và chỉ nếu các hình vuông $A$ và $B$ có cùng diện tích. Với mọi $A,B,C\in V$ ta thấy $A\sim A$, $A\sim B$ nếu và chỉ nếu $B\sim A$, và nếu $A\sim B$ và $B\sim C$ thì $A\sim C$. Vậy $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $V$.

$\textbf{Ví dụ 1.21}$ Trên tập $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ xét quan hệ $\sim$ định bởi $$ (a,b)\sim(c,d)\;\Leftrightarrow\; a+d=b+c. $$ Khi đó, với $(a,b),(c,d),(e,f)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ta có: 

1. $(a,b)\sim (a,b)$, vì $a+b = b+a$. 
2. $(a,b)\sim(c,d)\;\Leftrightarrow\; a+d=b+c \;\Leftrightarrow\; c+b = d+a \;\Leftrightarrow\; (c,d)\sim(a,b)$. 
3. Nếu $(a,b)\sim(c,d)$ và $(c,d)\sim(e,f)$, thì $a+d=b+c$ và $c+f=d+e$ suy ra $a-e =(a+d)-(d+e)=(b+c)-(c+f)= b-f$, do đó $a+f=b+e$ hay $(a,b)\sim(e,f)$. Vậy $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$.

$\textbf{Định nghĩa 1.22.}$ Cho $\sim$ là một quan hệ tương đương trên một tập hợp $A$ và $a\in A$. 

1. Tập $[a] :=\{ x\in A \mid a\sim x\}$ được gọi là $\textbf{lớp tương đương}$ của $a$ theo quan hệ $\sim$. 
2. Tập hợp các lớp tương đương của $A$ theo quan hệ $\sim$ được gọi là $\textbf{tập thương}$  của $A$ theo quan hệ $\sim.$ 

$\textbf{Bổ đề 1.23.}$ Cho $\sim$ là một quan hệ tương đương trên một tập $A$ khác rỗng, và $a,b\in A$. 

1.  Ta có $a\in [a]$. 
2. Nếu $b\in [a]$ thì $[a]=[b]$. 
3. Nếu $[a]=[b]$ thì $b\in [a]$. 
4.  Ta luôn có hoặc $[a]=[b]$ hoặc $[a]\cap [b]=\varnothing $.

$\textbf{Chứng minh.} $ 

    (a) Vì $\sim$ có tính phản xạ, nên $a\sim a$, do đó $a\in[a]$. 

    (b) Từ $b\in [a]$ ta có $a\sim b$. Tính đối xứng của $\sim$ suy ra $b\sim a$. Ta có, với $c\in [a]$ thì $a\sim c$. Mặt khác, do $b\sim a$ nên theo tính bắc cầu ta được $c\sim b$. Từ tính đối xứng của $\sim$ thì $b\sim c$. Vì thế cho nên $c\in [b]$ và $[a]\subseteq [b].$ Tương tự, ta cũng chứng minh được $[b]\subseteq [a].$ Vì vậy $[a]=[b]$. 

     (c) Giả sử $[a]=[b]$. Theo (a) ta có $b\in [b] = [a]$. 

     (d) Nếu tồn tại $c\in [a] \cap [b]$, thì $a\sim c$ và $b\sim c$. Tính đối xứng và bắc cầu của $\sim$ chỉ ra $b\sim a$, do vậy $[a]=[b]$ theo (b).

$\textbf{Định nghĩa 1.24.}$ Một $\textbf{phân hoạch}$ $\mathcal{P}$ của một tập khác rỗng $S$ là một tập hợp gồm các tập con của $S$ sao cho: 

1.  Nếu $A\in \mathcal{P}$ thì $A\ne \varnothing $. 
2.  Nếu $A,B\in \mathcal{P}$ thì $A=B$ hoặc $A\cap B=\varnothing $. 
3.  Nếu $x\in S$ thì tồn tại $A\in \mathcal{P}$ sao cho $x\in A$.

$\textbf{Ví dụ 1.25.}$ Cho $S=\{1,2,3,4,5\}$. Tập $\mathcal{P}=\{\{2,4\},\{1,3,5\}\}$ là một phân hoạch của $S$.

Nếu $\sim$ là một quan hệ tương đương trên tập hợp $S$ thì tập thương $\mathcal{P}$ gồm tất cả các lớp tương đương của $S$ theo quan hệ $\sim$ là một phân hoạch của $S$. Đảo lại, nếu $\mathcal{P}$ là một phân hoạch của $S$ thì quan hê $\sim$ định bởi $$ a\sim b\ \;\Leftrightarrow\; \mbox{tồn tại $A\in \mathcal{P}$ sao cho $a,b\in A$} $$ là một quan hệ tương đương trên $S$.

Sử dụng Maple

Hiện nay có nhiều phần mềm máy tính hữu ích trong dạy và học toán học ở bậc học phổ thông, ở bậc đại học cũng như trong nghiên cứu, chẳng hạn như $\texttt{CoCoA}$, $\texttt{Gap}$, $\texttt{Maple}$, $\texttt{Matlab}$, $\texttt{Maxima}$, $ \texttt{Singular}$, $\texttt{R}$,$\dots$. Trong giáo trình này chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ áp dụng của $\texttt{Maple}$ đối với Đại số tuyến tính. Trước tiên chúng ta xem xét các tính toán trên tập hợp trong $\texttt{Maple}.$ Tập hợp được ký hiệu bởi ngoặc đơn $\texttt{\{...\}}$, còn danh sách có thứ tự thì ký hiệu bởi ngoặc vuông $\texttt{[...]},$ chẳng hạn với tập hơp $A=\{1,2,a,b,c\}$ ta khai báo trong $\texttt{Maple}$ bởi một trong các dòng lệnh sau:

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := {1,2,a,b,c}; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := {1,1,2,a,a,b,c}; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := {1,2,1,2,a,b,a,b,c}; }$

còn với danh sách $[1,2,a,b,c]$ thì ta khai báo với

$\hspace{0cm}\texttt{ > L := [1,2,a,b,c]; }$

Để kiểm tra tập $B=\{2,a\}$ là tập con của tập $A=\{1,2,a,b,c\}$, ta dùng lệnh $\texttt{subset}$:

$\hspace{0cm}\texttt{ > B := {2,a};}$

$\hspace{0cm}\texttt{ > B subset A;}$

$\hspace{0cm}\texttt{ true }$

Các phép toán $\cup$, $\cap$, $\setminus$ trên tập hợp lần lượt có các lệnh trong $\texttt{Maple}$ là $\texttt{union}$, $\texttt{intersect}$, $\texttt{minus}$, ví dụ:

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := {1,2,a,b,c}; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > B := {1,3,b,d,e}; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > A union B; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ {1, 2, 3, a, b, c, d, e}}$

$\hspace{0cm}\texttt{ > A intersect B; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ {1, b}}$

$\hspace{0cm}\texttt{ > A minus B;}$

$\hspace{0cm}\texttt{ {2, a, c}}$