Bài 2: ÁNH XẠ

2.1. Định nghĩa ánh xạ

Cho $A$ và $B$ là hai tập tuỳ ý. Người ta dùng khái niệm ánh xạ để xét mối liên hệ giữa các phần tử của $A$ và $B.$

$\textbf{Định nghĩa 2.1.}\ $ Một $\textbf{ánh xạ}$ $f$ từ $A$ đến $B$ là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử $x$ của $A$ với một phần tử duy nhất của $B$ được ký hiệu là $f(x)$. Ta viết $f:A\rightarrow B, x \mapsto f(x)$ hay $$ \begin{aligned} f: A &\longrightarrow B\\ x &\longmapsto f(x). \end{aligned} $$ Ta gọi $A$ là $\textbf{tập nguồn} (\textbf{miền xác định}),$ $B$ là $\textbf{tập đích} (\textbf{miền giá trị})$ của ánh xạ $f$.

$\textbf{Ví dụ 2.2.}\ $ Cho $A=\{1,2\}$ và $B=\{a,b,c\}$.

• Tương ứng $1\mapsto a$, $2\mapsto b$ xác định một ánh xạ $f$ từ $A$ đến $B$: \begin{align*} f: A&\longrightarrow B\\ 1&\longmapsto a\\ 2&\longmapsto b. \end{align*}
• Tương ứng $a\mapsto 1$, $b\mapsto 2$, và $c\mapsto 1$ xác định một ánh xạ $g$ từ $B$ đến $A$: \begin{align*} g: B&\longrightarrow A\\ a&\longmapsto 1\\ b&\longmapsto 2\\ c&\longmapsto 1. \end{align*}
• Tương ứng $1\mapsto a$, $2\mapsto b$, $1\mapsto c$ không xác định một ánh xạ từ $A$ đến $B$, vì $1\mapsto a$ và $1\mapsto c$ nhưng $a\ne c$.

$\textbf{Ví dụ 2.3.}\ $ Cho tập hợp $A$ và xét quy tắc cho tương ứng $$ \begin{aligned} f:A &\longrightarrow A,\\ a &\longmapsto f(a)=a \end{aligned} $$ với mọi $a \in A$. Khi đó $f$ là một ánh xạ từ $A$ lên chính nó và được gọi là $\textbf{ánh xạ đồng nhất},$ ký hiệu $\mathrm{id}_A.$

$\textbf{Ví dụ 2.4.}\ $ Quy tắc cho tương ứng $$ \begin{aligned} f:\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R},\\ x &\longmapsto f(x)=2x+3 \end{aligned} $$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ là một ánh xạ từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$.

Hai ánh xạ $f, g: A \rightarrow B$ được coi là \textbf{bằng nhau}, ký hiệu $f = g$, nếu $f(x) = g(x)$ với mọi $x\in A.$

$\textbf{Định nghĩa 2.5.}\ $ Cho $f: A\rightarrow B$ là một ánh xạ từ $A$ đến $B$, $A'$ là tập con của $A$ và $B'$ là tập con của $B$.

1. Tập hợp $ f(A') := \{\, f(x) \in B \mid x\in A' \, \} $ được gọi là $\textbf{tập ảnh}$ của $A'$. Đặc biệt, $f(x)$ được gọi là $\textbf{ảnh}$ của $x$.
2. Tập hợp $ f^{-1}(B'):= \set{ x\in A \mid f(x)\in B' } $ được gọi là $\textbf{tập tạo ảnh}$ của $B'$. Nếu $B'$ chỉ gồm một phần tử $y$ thì ta dùng ký hiệu $f^{-1}(y)$. Các phần tử của $f^{-1}(y)$ được gọi là \textbf{tạo ảnh} của $y$.

Từ định nghĩa trên ta thấy tập $B$ luôn có $A$ là tập tạo ảnh, nhưng một phần tử của $B$ có thể không có tạo ảnh nào.

$\textbf{Ví dụ 2.6.}\ $ Xét ánh xạ từ $\mathbb{R}^{2}$ đến $\mathbb{R}$ định bởi $$ \begin{aligned} f:\mathbb{R}^{2} &\longrightarrow \mathbb{R},\\ (a,b) &\longmapsto f(a,b)= a^{2} \end{aligned} $$ với mọi $a,b\in \mathbb{R}$. Tập con $E=\{(0,b) \mid b\in \mathbb{R}\}$ của $\mathbb{R}^2$ có ảnh là $f(E)=\{0\}$. Mọi số không âm $a\in \mathbb{R}$ đều có nhiều tạo ảnh trong $\mathbb{R}^2$ với $$ f^{-1}(a) = \set{(\sqrt{a},b)\in \mathbb{R}^{2} \mid b\in \mathbb{R} }, $$ trong khi mọi số âm $c\in \mathbb{R}$ đều không có tạo ảnh nào trong $\mathbb{R}^{2}$.

$\textbf{Mệnh đề 2.7.} \ $ Cho ánh xạ $f:A\rightarrow B$, và $A_1, A_2 \subseteq A$ và $B_1, B_2\subseteq B$. Khi đó

1. $A_1 \subseteq f^{-1}(f(A_1))$ và $f(f^{-1}(B_1)) \subseteq B_1$.
2. Nếu $A_1\subseteq A_2$ thì $f(A_1)\subseteq f(A_2)$.
3. Nếu $B_1\subseteq B_2$ thì $f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2)$.
4. $f(A_1\cup A_2) = f(A_1)\cup f(A_2)$ và $f(A_1\cap A_2) \subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$.
5. $f^{-1}(B_1\cap B_2) = f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$ và $f^{-1}(B_1\cup B_2) = f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$.

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Phần chứng minh xem như là một bài tập để nắm vững các mối liên hệ giữa các phép toán trên tập hợp, tập ảnh và tập tạo ảnh của chúng.

2.2. Ánh xạ hợp thành

$\textbf{Định nghĩa 2.8.}\ $ Cho $A,B,C$ là các tập hợp, $f: A\rightarrow B$ và $g: B\rightarrow C$ là hai ánh xạ bất kỳ. $\textbf{Ánh xạ hợp thành}$ của $f$ và $g$ là ánh xạ $g\circ f: A\rightarrow C$ định bởi $$ (g\circ f)(x) = g(f(x)) $$ với mọi $x\in A$.

$\textbf{Ví dụ 2.9.}\ $

1. Cho các ánh xạ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ với $f(n)=n+1$ và $g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}$ với $g(a) = |a|$ với mọi $a\in\mathbb{Z}$. Khi đó ánh xạ hợp thành của $f$ và $g$ là $g\circ f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ định bởi $(g\circ f)(n)=n+1$, trong khi ánh xạ hợp thành của $g$ và $f$ là $f\circ g: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ định bởi $(f\circ g)(a)=|a|+1$. Ta thấy $f\circ g \ne g\circ f$.
2. Xét các ánh xạ $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ với $f(a,b)=(b,a)$ và $g:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ với $g(a,b)=a$ với mọi $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$. Khi đó ánh xạ hợp thành của $f$ và $g$ là $g\circ f: \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $(g\circ f)(a,b)= b$ với mọi $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$. Để ý rằng $f\circ g$ là không xác định trong trường hợp này.

$\textbf{Bổ đề 2.10.} \ $ Cho các ánh xạ $f: A\rightarrow B$, $g: B\rightarrow C$ và $h:C\rightarrow D$. Khi đó

1. $f\circ \mathrm{id}_A = \mathrm{id}_B\circ f = f$;
2. $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$.

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Với mọi $x\in A$ ta có $$ (f\circ \mathrm{id}_A)(x) = f(\mathrm{id}_A(x))=f(x)=\mathrm{id}_B(f(x)) = (\mathrm{id}_B\circ f)(x) $$ và $$ \begin{aligned} [h\circ(g\circ f)](x) &= h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x)))\\ &= (h\circ g)(f(x)) = [(h\circ g)\circ f](x). \end{aligned} $$ Vậy các khẳng định của bổ đề được chứng minh.

$\textbf{Định nghĩa 2.11.}\ $ Cho $f: A\rightarrow B$ là một ánh xạ và $A'$ là một tập con của $A$. Ánh xạ $g: A'\rightarrow B$ với $g(x)=f(x)$ với mọi $x\in A'$ được gọi là $\textbf{ánh xạ thu hẹp}$ của $f$ trên $A'$, còn $f$ được gọi là $\textbf{ánh xạ mở rộng}$ của $g$ trên $A$. Đặc biệt, ánh xạ thu hẹp $\iota_{A'}$ của ánh xạ đồng nhất $\mathrm{id}_A$ còn được gọi là $\textbf{phép nhúng chính tắc}$ của $A'$ vào $A$.

$\textbf{Nhận xét 2.12.} \ $ Với ký hiệu như trong Định nghĩa 2.11, ta có $f\circ \iota_{A'} = g$.

2.3. Đơn ánh, toàn ánh và song ánh

$\textbf{Định nghĩa 2.13.}\ $ Cho $f:A\rightarrow B$ là một ánh xạ tùy ý.

1. Ánh xạ $f$ được gọi là $\textbf{đơn ánh}$ nếu với mọi $x,x'\in A$ thỏa mãn $f(x)=f(x')$ thì $x=x'$.
2. Ánh xạ $f$ được gọi là $\textbf{toàn ánh}$ nếu với mọi $y\in B$ đều tồn tại $x\in A$ sao cho $f(x)=y$.
3. Ánh xạ $f$ được gọi là $\textbf{song ánh}$ nếu $f$ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

$\textbf{Ví dụ 2.14.}\ $

1. Trong Ví dụ 2.2 ánh xạ $f$ là đơn ánh, còn ánh xạ $g$ là toàn ánh. Ánh xạ đồng nhất $\mathrm{id}_A:A\rightarrow A, a \mapsto a$ trong Ví dụ 2.3 vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nên nó là một song ánh.
2. Ánh xạ $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto 2x+3$ trong Ví dụ 2.4 cũng là một song ánh. Thật vậy, với $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ ta thấy $f(x_1)=f(x_2)$ suy ra $2x_1+3=2x_2+3$, do đó $x_1=x_2$. Thế nên $f$ là đơn ánh. Hơn nữa, với mọi $y\in \mathbb{R}$ tồn tại $x=\frac{y-3}{2}$ sao cho $f(x)=y$, do vậy ánh xạ $f$ là toàn ánh.
3. Trong Ví dụ 2.6 ánh xạ $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}, (a,b)\mapsto a^2$ không là đơn ánh và cũng chẳng là toàn ánh.

$\textbf{Mệnh đề 2.15.} \ $ Cho $f: A\rightarrow B$ và $g: B\rightarrow C$ là các ánh xạ.

1. Nếu $f$ và $g$ là hai đơn ánh (t.ư. toàn ánh, song ánh) thì $g\circ f$ cũng là đơn ánh (t.ư. toàn ánh, song ánh).
2. Nếu $g\circ f$ là đơn ánh thì $f$ là đơn ánh.
3. Nếu $g\circ f$ là toàn ánh thì $g$ là toàn ánh.

$\textbf{Chứng minh.} \ $

(a) $\ $ Giả sử $f,g$ là hai đơn ánh. Gọi $x,x'\in A$ sao cho $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')$. Từ đẳng thức $g(f(x))=g(f(x'))$ và tính đơn ánh của $g$ suy ra $f(x)=f(x')$. Mặt khác, $f$ cũng là đơn ánh nên ta nhận được $x=x'$. Vậy $g\circ f$ là đơn ánh. Tiếp theo giả sử $g,f$ là hai toàn ánh và $z\in C$ tùy ý. Vì $g$ toàn ánh nên tồn tại $y\in B$ sao cho $g(y)=z$. Tương tự, tính toàn ánh của $f$ kéo theo sự tồn tại $x\in A$ sao cho $f(x)=y$. Do vậy $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=c$, hay $g\circ f$ là toàn ánh.

(b) $\ $ Giả sử $g\circ f$ là đơn ánh. Gọi $x,x'\in A$ thỏa mãn $f(x)=f(x')$. Ta có $$ (g\circ f)(x)=g(f(x)) =g(f(x')) = (g\circ f)(x'). $$ Vì $g\circ f$ là đơn ánh nên $x=x'$ và do đó $f$ là đơn ánh.

(c) $\ $ Giả sử $g\circ f$ là toàn ánh và $z\in C$ tùy ý. Khi đó tồn tại $x\in A$ sao cho $(g\circ f)(x)=g(f(x))=z$. Đặt $y:=f(x)\in B$. Rõ ràng $g(y)=g(f(x))=z$, suy ra $g$ là toàn ánh.

$\textbf{Định nghĩa 2.16.}\ $ Cho $f:A\rightarrow B$ là một ánh xạ. Nếu tồn tại ánh xạ $g: B\rightarrow A$ sao cho $g\circ f=\mathrm{id}_A$ và $f\circ g = \mathrm{id}_B$, thì $g$ được gọi là $\textbf{ánh xạ nghịch đảo}$ của $f$ (hay $f$ có ánh xạ nghịch đảo là $g$).

$\textbf{Ví dụ 2.17.}\ $ Ánh xạ đồng nhất $\mathrm{id}_A$ có ánh xạ nghịch đảo là chính nó. Tương tự, xét ánh xạ $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ với $f(a,b)=(b,a)$ với mọi $a,b\in \mathbb{R}$. Ta thấy $$ f(f(a,b))=f(b,a)=(a,b) $$ với mọi $(a,b)\in \mathbb{R}^{2}$. Do đó $f$ chính là ánh xạ nghịch đảo của $f$.

Sự tồn tại của ánh xạ nghịch đảo của một ánh xạ được đặc trưng như sau.

$\textbf{Định lý 2.18.}$ Ánh xạ $f:A\rightarrow B$ có ánh xạ nghịch đảo khi và chỉ khi $f$ là một song ánh.

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Giả sử $f$ có ánh xạ nghịch đảo $g:B\rightarrow A$. Theo Mệnh đề 2.15, vì $g\circ f=\mathrm{id}_A$ là song ánh nên $f$ đơn ánh và $f\circ g=\mathrm{id}_B$ là song ánh nên $f$ là toàn ánh. Vậy $f$ là một song ánh. Đảo lại, nếu $f$ là một song ánh thì mỗi $y\in B$ chỉ có duy nhất một tạo ảnh $f^{-1}(y)\in A$. Vì vậy ta có thể định nghĩa ánh xạ $g:B\rightarrow A$ với $g(y)=f^{-1}(y)$ với mọi $y\in B$. Với $x\in A$ và $y\in B$ bất kỳ, ta thấy \begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x)) = f^{-1}(f(x)) = x = \mathrm{id}_A(x)\\ (f\circ g)(y)&=f(g(y)) = f(f^{-1}(y)) = y = \mathrm{id}_B(y). \end{align*} Do đó $g\circ f = \mathrm{id}_A$ và $f\circ g = \mathrm{id}_B$.

Nếu $f:A\rightarrow B$ là một song ánh thì ta sẽ ký hiệu $f^{-1}$ là ánh xạ ứng mỗi phần tử $y\in B$ với $f^{-1}(y)\in A$.

$\textbf{Hệ quả 2.19.} \ $ Cho $f:A\rightarrow B$ là một song ánh. Ánh xạ $f^{-1}:B\rightarrow A$ là ánh xạ nghịch đảo duy nhất của $f$.

Sử dụng Maple

Trong $\texttt{Maple}$ một ánh xạ (hàm) được định nghĩa dưới cấu trúc $$ \texttt{vars -> expr} $$ trong đó $\texttt{vars}$ là một dãy các biến (hay một biến) và $\texttt{expr}$ là công thức biểu diễn của ánh xạ. Chẳng hạn, ta định nghĩa hàm $f(x)=x^2$, $g(x,y)=2x+3y$, và $h(x,y)=(\sin(x)\cos(x),xy)$ với

$\hspace{0cm}\texttt{> f := x -> x^2;}$

$\hspace{0cm}\texttt{> g := (x, y) -> 2x +3y;}$

$\hspace{0cm}\texttt{> h := (x, y) -> (sin(x)cos(y), xy);}$

Khi đó, ta có thể tính các hàm trên tại các giá trị cụ thể:

$\hspace{0cm}\texttt{> f(2);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ 4}$

$\hspace{0cm}\texttt{> g(8,2022);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ 6082}$

$\hspace{0cm}\texttt{> h((1/2)*Pi, Pi);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ -1, (1/2)*Pi^2}$

Lệnh $\texttt{map}$ cho phép ta tính giá trị của một hàm một biến trên một tập hợp, chẳng hạn

$\hspace{0cm}\texttt{> map(f,{1,2,3,4,5});}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ {1, 4, 9, 16, 25}}$

Sử dụng $\texttt{f@g}$ để thực hiện ánh xạ hợp thành $f\circ g$:

$\hspace{0cm}\texttt{> f1 := f@g; f1(1,2);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ 64}$

$\hspace{0cm}\texttt{> f2 := (x, y) -> f(g(x, y)); f2(1,2);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ 64}$

Tuy nhiên, khi ta định nghĩa $\texttt{g@f}$ với các hàm $f$, $g$ ở trên, thì khi tính giá trị của nó sẽ báo lỗi, vì $g\circ f$ không xác định.

$\hspace{0cm}\texttt{> f4 := g@f; f4(1);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ Error, (in evalapply) invalid input: }$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ g uses a 2nd argument, y, which is missing}$

Cuối cùng, để tính $f^n$ ta dùng lệnh $\texttt{f@@n}:$

$\hspace{0cm}\texttt{> f7 := f@@7; f7(2);}$

$\hspace{0.5cm}\texttt{ 340282366920938463463374607431768211456}$

Rõ ràng ta không thể định nghĩa ánh xạ $g^2$ và lệnh $\texttt{(g@@2)(1,2)}$ cũng sẽ báo lỗi.