Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu ngắn gọn các khái niệm
``tổng quát'' về vành, trường và vành đa thức trên trường
cùng một số tính chất cơ bản của chúng.
Tiếp đó chúng ta sẽ xem xét về cấu trúc của
trường số phức và các biểu diễn của số phức.
Giả sử $z,z'\in \mathbb{C}$ được biểu diễn lần lượt bởi $M(a,b)$ và $M'(a',b')$.
Khi đó $z+z'=(a+a')+i(b+b')$ được biểu diễn bởi điểm $N(a+a',b+b')$
và ta có $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$.
Hơn nữa, dạng hình học của hai số phức liên hợp $z$ và $\bar{z}$
được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua trục $Ox$.
3.1. Vành
Giả sử $R$ là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Một $\textbf{phép toán }$ ``$\ast$'' trong $R$ là một quy tắc ứng mỗi cặp $(a,b)\in R^{2}$ với một phần tử của $R$, ký hiệu là $a\ast b$. Nói cách khác, mỗi phép toán ``$\ast$'' trong $R$ là một ánh xạ \begin{align*} \ast: R^{2} &\longrightarrow R,\\ (a,b) &\longmapsto f(a,b)=a\ast b. \end{align*} Chẳng hạn, ta có phép toán cộng $a+b$ và phép toán nhân $a\cdot b$ thông thường trong các tập số $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$. $\textbf{Định nghĩa 3.1.}\ $
Một $\textbf{vành}$
$R$ là một tập khác rỗng có hai phép toán cộng và nhân
$$
+: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a+b,\quad
\cdot: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a\cdot b
$$
thỏa mãn các tiên đề sau với mọi $a,b,c \in R$:
- (R1) $(a+b)+c = a+(b+c)$ $\hspace{2cm}$ $(\textit{tính kết hợp})$
- (R2) $a+b = b+a$ $\hspace{2cm}$ $(\textit{tính giao hoán})$
- (R3) $\exists\, 0 \in R:\; a+0=a=0+a$ $\hspace{2cm}$ $(\textit{tồn tại phần tử 0})$
- (R4) $\exists -a \in R:\; a+(-a)=0$ $\hspace{2cm}$ $(\textit{tồn tại phần tử đối})$
- (R5) $(ab)c = a(bc)$ $\hspace{2cm}$ $(\textit{tính kết hợp phép nhân})$
- (R6) $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\ (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ $\hspace{2cm}$ $(\textit{luật phân phối})$
$\textbf{Định nghĩa 3.2.}\ $
Cho $R$ là một vành.
- Nếu tồn tại $\textbf{phần tử đơn vị}$ $1\in R$ thỏa mãn $a\cdot 1=1\cdot a=a$ với mọi $a\in R$, thì vành $R$ được gọi là $\textbf{vành có đơn vị 1}.$
- Nếu phép nhân có tính giao hoán $a\cdot b=b\cdot a$ với mọi $a, b\in R$, thì vành $R$ được gọi là $\textbf{vành giao hoán}.$
$\textbf{Ví dụ 3.3.}\ $
Vành không là vành $R=\{0\}$ với $0=1$.
Các vành giao hoán có đơn vị 1 bao gồm
$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$, và $\mathbb{R}$. Trong khi đó $\mathbb{N}$ cùng với phép cộng và
phép nhân thông thường không phải một vành, vì
chẳng hạn số 2 không có phần tử đối.
$\textbf{Ví dụ 3.4.}\ $
Nếu $R_1$ và $R_2$ là các vành thì tích Descartes $R_1\times R_2$
cũng là một vành với các phép toán cộng và nhân theo thành phần
$$
(a_1, a_2)+(b_1, b_2)=(a_1+b_1, a_2+b_2),
\qquad
(a_1, a_2)\cdot (b_1, b_2)=(a_1b_1, a_2b_2).
$$
$\textbf{Mệnh đề 3.5.} \ $
Cho $R$ là một vành và $a,b,c\in R$. Khi đó
- $a\cdot 0 = 0\cdot a = 0$;
- $(-a)b=a(-b)=-ab$;
- $(-a)(-b)=ab$;
- $a(b-c)=ab-ac$;
- $(b-c)a = ba-ca$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Ta sẽ chứng minh các khẳng định (a) và (b), và các khẳng định (c), (d), (e) xem như bài tập.
- Ta có $$ a\cdot 0 \stackrel{(R3)}{=} a\cdot (0+0) \stackrel{(R6)}{=} a\cdot 0 + a\cdot 0. $$ Do đó tiên đề (R4) suy ra $a\cdot 0 = 0$. Tương tự, ta có $0\cdot a =0$.
- Ta thấy rằng $$ ab+(-a)b \stackrel{(R6)}{=} (a+(-a))b \stackrel{(R4)}{=} 0\cdot b \stackrel{(a)}{=} 0. $$ Thế nên ta nhận được $(-a)b=-ab$ theo tiên đề~(R3). Hoàn toàn tương tự, ta có $a(-b)=-ab$.
3.2. Trường và đặc số
$\textbf{Định nghĩa 3.6.}\ $
Cho $R$ vành giao hoán có đơn vị $1$ và $a\in R$.
Nếu tồn tại phần tử $b\in R$ sao cho $a\cdot b=1$,
thì $b$ được gọi là $\textbf{phần tử nghịch đảo}$ của $a$,
ký hiệu là $b=a^{-1}$.
Trong trường hợp này ta còn nói $a$ là $\textbf{phần tử khả nghịch}$
trong $R$. Tập tất cả các phần tử khả nghịch của $R$ được ký hiệu
bởi $R^{*}$.
$\textbf{Ví dụ 3.7.}\ $
Trong vành $\mathbb{Z}$ ta có $\mathbb{Z}^{*}=\set{-1,1}$, và
trong vành $\mathbb{Q}$ ta có $\mathbb{Q}^{*}=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$.
$\textbf{Định nghĩa 3.8.}\ $
Một $\textbf{trường}$
là một vành giao hoán $\mathbb{K}$ có đơn vị $1\ne 0$ sao cho mọi phần tử khác không của nó đều khả nghịch, nghĩa là
$$
\mathbb{K}^*=\mathbb{K}\setminus \{0\}.
$$
$\textbf{Ví dụ 3.9.}\ $
Các vành $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ cùng phép cộng và nhân thông thường
là các trường (gọi là các trường số).
Tuy nhiên vành $\mathbb{Z}$ với phép cộng và nhân thông thường không
phải là một trường vì $2$ không khả nghịch
(hay $\mathbb{Z}^{*}=\{-1,1\} \ne \mathbb{Z}\setminus \{0\}$).
$\textbf{Bổ đề 3.10.} \ $
Cho $\mathbb{K}$ là một trường và $a,b\in \mathbb{K}$.
Nếu $ab=0$ thì $a=0$ hoặc $b=0$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Giả sử rằng $a,b\ne 0$. Vì $\mathbb{K}$ là một trường, tồn tại $a^{-1}, b^{-1}\in \mathbb{K}$ sao cho $aa^{-1}=1$ và $bb^{-1}=1$. Khi đó ta có $$ 1 = 1\cdot 1 = aa^{-1}bb^{-1} = (ab)(a^{-1}b^{-1}) $$ và do vậy $ab\ne 0$.
$\textbf{Định nghĩa 3.11.}\ $
Một $\textbf{trường con}$
của một trường $\mathbb{K}$ là một tập con $F$ của $\mathbb{K}$ chứa phần tử 1
cùng với các phép toán cảm sinh từ $\mathbb{K}$ làm thành một trường.
$\textbf{Ví dụ 3.12.}\ $
Trường số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ là trường con của trường số thực $\mathbb{R}$,
trường số thực $\mathbb{R}$ là trường con của trường số phức $\mathbb{C}$.
$\textbf{Nhận xét 3.13.} \ $ Giao của một họ khác rỗng các trường con là một trường con.
$\textbf{Định nghĩa 3.14.}\ $
Cho $\mathbb{K}$ là một trường với đơn vị $1_{\mathbb{K}}$ và đặt
$$
n\cdot 1_\mathbb{K} = \underset{n\mbox{-lần}}{\underbrace{1_\mathbb{K}+\cdots+1_\mathbb{K}}},
\quad
(-n)\cdot 1_\mathbb{K} = \underset{n\mbox{-lần}}{\underbrace{(-1_\mathbb{K})+\cdots+(-1_\mathbb{K})}}
$$
với $n\in\mathbb{N}$.
Nếu $n\cdot 1_\mathbb{K} \ne 0$ với mọi $n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$,
ta nói $\mathbb{K}$ có \textbf{đặc số không} và ký hiệu $\mathrm{char}(\mathbb{K})=0$.
Trường hợp tồn tại $n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ sao cho $n\cdot 1_\mathbb{K}=0$,
ta nói $\mathbb{K}$ có \textbf{đặc số $p>0$}, trong đó $p$ là số nguyên dương nhỏ nhất
thỏa mãn $p\cdot 1_\mathbb{K}=0$.
$\textbf{Ví dụ 3.15.}\ $
- Các trường số $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ đều có đặc số không.
- Tập $\mathbb{F}_2 =\{0,1\}$ với phép toán cộng và nhân cho bởi bảng $$ \begin{array}{c|cc} + & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \quad\mbox{và }\quad \begin{array}{c|cc} \cdot & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} $$ là một trường chỉ gồm hai phần tử. Trường này có đặc số $\mathrm{char}(\mathbb{F}_2)=2$.
$\textbf{Bổ đề 3.16.} \ $
Giả sử $\mathbb{K}$ là một trường có đặc số $\mathrm{char}(\mathbb{K})=p>0$.
Khi đó $p$ là số nguyên tố và $p\cdot a=0$ với mọi $a\in \mathbb{K}$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Giả sử $p$ là hợp số. Ta có phân tích $p=p_1p_2$ với $1< p_1,p_2 < p$. Khi đó $p_1\cdot 1_\mathbb{K}, p_2\cdot 1_\mathbb{K} \ne 0$. Tuy nhiên $$ 0 \ne (p_1\cdot 1_\mathbb{K})(p_2\cdot 1_\mathbb{K}) = p_1p_2\cdot 1_\mathbb{K} =p\cdot 1_\mathbb{K} =0, $$ và điều này là vô lý. Vậy $p$ phải là số nguyên tố. Hơn nữa, với $a\in \mathbb{K}$ ta có $p\cdot a = p\cdot (1_\mathbb{K}\cdot a) = (p\cdot 1_\mathbb{K})\cdot a = 0\cdot a=0$.
3.3. Vành đa thức trên trường
Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu đơn vị của trường $\mathbb{K}$ là $1$. $\textbf{Định nghĩa 3.17.}\ $
$\textbf{Đa thức}$ một biến $x$ trên $\mathbb{K}$
là biểu thức dạng
$$
f(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^{n}
$$
với các hệ số $a_0,\dots,a_n\in \mathbb{K}$ và $n\in \mathbb{N}$.
Phần tử $a_0$ được gọi là $\textbf{hệ số hằng}$ của $f(x)$
và phần tử $a_n$ được gọi là $\textbf{hệ số dẫn đầu}$ của $f(x)$.
$\textbf{Nhận xét 3.18.} \ $ Xét các đa thức $f(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^{n}$ và $g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^{m}$ với hệ số $a_i,b_j$ trong $\mathbb{K}$.
- Nếu $a_1=\cdots=a_n=0$ thì đa thức $f(x)=a_0$ là đa thức hằng, đặc biệt khi $a_0=0$ ta có đa thức không $f(x)=0$ và khi $a_0=1$ ta có đa thức hằng đơn vị $f(x)=1$.
- Hai đa thức $f(x)$ và $g(x)$ là bằng nhau nếu $n=m$ và $a_i=b_i$ với mọi $i=0,\dots,n$.
$\textbf{Định nghĩa 3.19.}\ $
Cho đa thức $f(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^{n}$ với $a_n\ne 0$.
- Số $n$ được gọi là $\textbf{bậc}$ của $f(x)$ và ký hiệu là $\deg(f)$. Quy ước bậc của đa thức 0 là số tự nhiên bất kỳ.
- Nếu $a_n=1$, thì $f(x)$ được gọi là $\textbf{đa thức chuẩn tắc}.$
- Một $\textbf{nghiệm}$ của $f(x)$ trong $\mathbb{K}$ là một phần tử $\alpha\in \mathbb{K}$ thỏa mãn $$ f(\alpha) = a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^{n} =0. $$
$\textbf{Ví dụ 3.20.}\ $
Cho $\mathbb{K}=\mathbb{Q}$ và xét đa thức $f(x)= -2 +3x +x^2 -3x^3 + x^4$ trên $\mathbb{Q}$.
Hệ số hằng của $f(x)$ là $-2$,
hệ số dẫn đầu của $f(x)$ là $1$, và bậc của $f(x)$
là $\deg(f)=4$.
Một nghiệm của $f(x)$ trong $\mathbb{Q}$ là $\alpha=1$.
Tập tất cả các đa thức một biến $x$ trên $\mathbb{K}$ được ký hiệu là $\mathbb{K}[x]$.
Khi đó, $\mathbb{K}[x]$ là một vành giao hoán có đơn vị 1 với
phép toán cộng và nhân đa thức định bởi:
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i} + \sum_{i=0}^{n}b_ix^{i}
&= \sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^{i},\\
(\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i})\cdot(\sum_{j=0}^{m}b_jx^{j})
&= \sum_{k=0}^{n+m}(\sum_{i+j=k}a_ib_j)x^{k}.
\end{aligned}
$$
$\textbf{Định nghĩa 3.21.}\ $
Vành $\mathbb{K}[x]$ được gọi là $\textbf{vành đa thức}$
một biến $x$ trên trường $\mathbb{K}$.
$\textbf{Mệnh đề 3.22.} \ $
Cho $f(x), g(x)\in \mathbb{K}[x]$ là các đa thức khác không.
Khi đó
$$
\deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)
\quad \mbox{và} \quad
\deg(f+g) \le \deg(f)+\deg(g).
$$
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Bất đẳng thức $\deg(f+g) \le \deg(f)+\deg(g)$ hiển nhiên đúng. Để chứng minh đẳng thức đầu, ta viết $f(x)=a_0+\cdots+a_nx^n$ và $g(x)=b_0+\cdots+b_mx^m$ với $a_n, b_m\ne 0$. Khi đó ta có $$ f(x)g(x) = a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+\cdots+a_nb_mx^{n+m}. $$ Vì $a_nb_m\ne 0$, nên $fg\ne 0$ và $\deg(fg)=n+m=\deg(f)+\deg(g)$.
Một trong các kết quả quen thuộc về vành đa thức một biến trên trường $\mathbb{K}$ là phép chia đa thức. Phép chia đa thức hoàn toàn tương tự như phép chia các số nguyên, trong đó bậc của các đa thức được sử dụng để thay thế cho giá trị tuyệt đối của các số nguyên.
$\textbf{Định lý 3.23} [\textbf{Chia đa thức một biến}] \ $
Cho $g(x)\in \mathbb{K}[x]$ là đa thức khác không.
Với mọi đa thức $f(x)\in \mathbb{K}[x]$, tồn tại duy nhất hai đa thức
$q(x), r(x) \in \mathbb{K}[x]$ sao cho
$$
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
$$
với $\deg(r)< \deg(g)$ nếu $r(x)\ne 0$.
Đa thức $q(x)$ gọi là đa thức $\textbf{thương}$
của phép chia $f(x)$ cho $g(x)$. Đa thức $r(x)$ được gọi là đa thức $\textbf{dư}$ của phép chia.
Nếu $r(x)=0$ thì
$
f(x) = q(x)g(x)
$ và ta nói đa thức $f(x)$ $\textbf{chia hết cho}$ đa thức $g(x)$ trong $\mathbb{K}[x]$, hoặc ta nói đa thức $g(x)$ $\textbf{chia hết}$ đa thức $f(x)$ trong $\mathbb{K}[x]$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Ta chứng minh sự tồn tại của $q(x), r(x)$ bằng phương pháp qui nạp theo bậc $n=\deg(f)$. Nếu $\deg(f)< \deg(g)$, đặt $q(x)=0$ và $r(x)=f(x)$. Giả sử định lý đúng với mọi đa thức bậc $\le n-1$, trong đó $n\ge \deg(g)$. Ta sẽ chứng minh định lý cũng đúng cho $f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^{n}$ với $\deg(f)=n$. Ký hiệu $g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^{m}$ với $b_m\ne 0$ và $m\le n$, và xét $$ f_1(x) = f(x) - \frac{a_nx^{n-m}}{b_m}g(x). $$ Rõ ràng $\deg(f_1)< \deg(f)=n$. Theo giả thiết quy nạp tồn tại $q_1(x), r(x)$ sao cho $f_1(x)=q_1(x)g(x) + r(x)$ với $\deg(r) < \deg(g)$ nếu $r(x)\ne 0$. Đặt $$q(x)=\frac{a_nx^{n-m}}{b_m}+q_1(x),$$ ta có $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$, điều phải chứng minh.
Nếu tồn tại hai đa thức $q'(x), r'(x)$ sao cho $f(x) = q'(x)g(x) + r'(x)$
với $\deg(r') < \deg(g)$, ta cần chứng minh $r(x)=r'(x)$ và $q(x)=q'(x)$. Thật vậy,
$$
r(x)-r'(x) = (q'(x)-q(x))g(x).
$$
Nếu $q'(x)\ne q(x)$ thì $\deg((q'-q)g)\ge \deg(g)$
theo Mệnh đề 3.22, trong khi đó
$\deg(r-r')< \deg(g)$ hoặc $r(x)-r'(x)=0$.
Điều này là vô lý. Vậy $q(x)=q'(x)$ và $r(x)=r'(x)$.
$\textbf{Ví dụ 3.24.}\ $
Xét các đa thức $f(x) = x^{4}+1, g(x) = x^{2}+2x+3\in \mathbb{Q}[x]$
và thực hiện phép chia $f(x)$ cho $g(x)$ như sau:
$$
\begin{array}{cccccc|c}
x^{4} & & & & +1 && x^{2}+2x+3 \\
-(x^{4} & +2x^{3}& +3x^{2})& & && x^{2}-2x+1\\
& -2x^{3}& -3x^{2}& & +1&& \\
& -(-2x^{3}& -4x^{2}& -6x) & && \\
& & x^{2}& +6x & +1 && \\
& & -(x^{2}& +2x & +3) && \\
& & & 4x & -2 && \\
\end{array}
$$
Vậy $f(x) = (x^{2}-2x+1)g(x)+(4x-2)$ với
$q(x) = x^{2}-2x+1$ và $r(x) = 4x-2$.
$\textbf{Hệ quả 3.25.} \ $
Cho $f(x)\in \mathbb{K}[x]$ là đa thức khác không và $\alpha\in \mathbb{K}$.
- Tồn tại $q(x)\in \mathbb{K}[x]$ sao cho $f(x)=q(x)(x-\alpha)+f(\alpha)$.
- $\alpha\in \mathbb{K}$ là một nghiệm của $f(x)$ nếu và chỉ nếu $x-\alpha$ chia hết $f(x)$.
- $f(x)$ có không quá $\deg(f)$ nghiệm trong $\mathbb{K}$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Theo Định lý 3.23, tồn tại $q(x),r(x)\in \mathbb{K}[x]$
sao cho $f(x)=q(x)(x-\alpha)+r(x)$ với $r(x)=0$ hoặc
$\deg(r(x))=0$, tức là $r(x)$ là đa thức hằng.
Khi đó $f(\alpha)=q(\alpha)(\alpha-\alpha)+r(x)=r(x)$,
và (a) được chứng minh. Khẳng định (b) suy ra từ (a).
Để chứng minh (c), ta giả sử $f(x)$ có $n+1$ nghiệm phân biệt
$\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1}\in \mathbb{K}$. Theo (b), tồn tại $g_1(x)\in \mathbb{K}[x]$
sao cho $f(x)=(x-\alpha_1)g_1(x)$. Vì $\alpha_2\ne \alpha_1$,
$0=f(\alpha_2)=(\alpha_2-\alpha_1)g_1(\alpha_2)$ kéo theo
$g_1(\alpha_2)=0$, do đó $g_1(x)=(x-\alpha_2)g_2(x)$ với $g_2(x)\in \mathbb{K}[x].$
Do đó $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)g_2(x).$
Tiếp tục quá trình như vậy, tại bước thứ $(n+1)$ ta nhận được
$$
f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{n+1})g_{n+1}(x),
\quad g_{n+1}(x)\in \mathbb{K}[x].
$$
Vậy $n=\deg(f)=n+1+\deg(g_{n+1})\ge n+1$, vô lý.
3.4. Trường số phức
Trên trường số thực $\mathbb{R}$ do bình phương của một số thực bất kì là số không âm nên phương trình $x^{2}+1=0$ không có nghiệm trong $\mathbb{R}$. Vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là mở rộng trường số thực thành một trường rộng hơn, trong đó phương trình $x^{2}+1=0$ có nghiệm. Trường số phức là một trong các trường có tính chất này. Trên $\mathbb{R}^{2}$ ta định nghĩa phép cộng và phép nhân bởi \begin{align*} (a,b)+(c,d) &= (a+c,b+d)\\ (a,b)\cdot (c,d) &=(ac - bd, ad + bc) \end{align*} với mọi $(a,b), (c,d)\in \mathbb{R}^{2}$. $\textbf{Mệnh đề 3.26.} \ $
Tập $\mathbb{R}^{2}$ cùng với hai phép toán trên lập thành một trường.
Trường này được gọi là trường số phức và ký hiệu là $\mathbb{C}$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Dễ thấy phép toán cộng trên $\mathbb{C}$ có tính kết hợp, giao hoán,
phần tử không là $(0,0)$, và phần tử đối của $(a,b)\in \mathbb{C}$
là $(-a,-b)\in \mathbb{C}$.
Cho $(a,b),$ $(c,d),$ $(e,f)\in \mathbb{C}$. Ta có
\begin{align*}
((a,b)\cdot (c,d))\cdot(e,f) &=(ac - bd, ad + bc)\cdot(e,f)\\
&= ((ac-bd)e-(ad+bc)f, (ac-bd)f+(ad+bc)e)\\
&=(a(ce-df)-b(cf+de), a(cf+de)+b(ce-df))\\
&=(a,b)\cdot(ce-df, cf+de)\\
&= (a,b)\cdot ((c,d)\cdot(e,f))
\end{align*}
và
\begin{align*}
(c,d)\cdot (a,b) &=(ca - db, cb + da)\\
&=(ac - bd, ad + bc)=(a,b)\cdot (c,d)
\end{align*}
suy ra phép nhân trên $\mathbb{C}$ có tính kết hợp và tính giao hoán.
Đồng thời, ta có
\begin{align*}
((a,b)+(c,d))\cdot(e,f) &= (a+c,b+d)\cdot(e,f)\\
&= ((a+c)e-(b+d)f,(a+c)f+(b+d)e)\\
&= (ae-bf,af+be) +(ce-df,cf+de)\\
&= (a,b)\cdot(e,f) + (c,d)\cdot(e,f)
\end{align*}
và tương tự ta có $(a,b)\cdot ((c,d)+(e,f))=(a,b)\cdot(c,d)+(a,b)\cdot(e,f)$.
Do đó luật phân phối được thỏa mãn.
Hơn nữa, phần tử đơn vị của phép nhân là $(1,0)$,
và phần tử nghịch đảo của phần tử $(a,b)\ne (0,0)$ là
$(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2})$. Vậy $\mathbb{C}$ là một trường.
Hai số phức $(a,b)$ và $(c,d)$ bằng nhau nếu và chỉ nếu $a=c$ và $b=d$.
Với $a\in\mathbb{R}$ ta đặt tương ứng với số phức $(a,0)$, thì trường số thực
$\mathbb{R}$ có thể được coi là một trường con của trường số phức $\mathbb{C}$.
$\textbf{Nhận xét 3.27.} \ $ Ta ký hiệu $i:=(0,1)$, khi đó $i$ là một phần tử trong $\mathbb{C}$ và $i^2=(0,1)^2=(-1,0).$ Ta nói $i$ là $\textbf{đơn vị ảo}$ của $\mathbb{C}$. Vì $(-1,0)$ tương ứng với số thực $-1$ nên ta có thể viết $i^{2}=-1$. Vậy nên phương trình $x^{2}+1=0$ có các nghiệm $\pm i$ trên $\mathbb{C}$.
Ta thấy $(a,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)=a+ib$, do đó mỗi số phức $z=(a,b)$ đều viết được dưới dạng $z=a+ib$ và được gọi là \textbf{dạng đại số} của số phức $z$. Trong đó $a$ gọi là \textbf{phần thực} của $z$, ký hiệu $\mathrm{Re} z$, $b$ gọi là \textbf{phần ảo} của $z$, ký hiệu $\Im z$. Số phức $z$ mà $\mathrm{Re} z=0$ được gọi là \textbf{số thuần ảo}, còn $\Im z =0$ chính là số thực. $\textbf{Định nghĩa 3.28.}\ $
Cho $z=a+ib\in \mathbb{C}$.
Có một số tính chất cơ bản của số phức liên hợp và môđun của số phức
như sau:
- Số phức $\bar{z} = a-ib$ được gọi là $\textbf{số phức liên hợp}$ của $z$.
- $\left\Vert z\right\Vert= \sqrt{a^2+b^2}$ được gọi là $\textbf{môđun}$ của số phức $z$.
- $\overline{z+z'}= \overline{z}+\overline{z'}$, $\overline{z\cdot z'}= \overline{z}\cdot \overline{z'}$, $\overline{\overline{z}}= z$, $\left\Vert \overline{z} \right\Vert= \left\Vert z \right\Vert$.
- $\left\Vert z \right\Vert\ge 0, \forall z \in \mathbb{C}$, $\left\Vert z \right\Vert= 0 \,\Leftrightarrow\, z=0$, $\left\Vert k\cdot z \right\Vert = \left\vert k \right\vert \left\Vert z \right\Vert, k\in \mathbb{R}$.
- $\left\Vert z +z' \right\Vert\le \left\Vert z \right\Vert+\left\Vert z' \right\Vert$, $\left\vert \left\Vert z \right\Vert - \left\Vert z' \right\Vert \right\vert \le \left\Vert z\pm z' \right\Vert$.
- $z=a+ib,\ z'=a'+ib'\ (z'\ne 0):\; \dfrac{z}{z'}= \dfrac{aa' +bb'}{a^2+b^2} + \dfrac{ab'-a'b}{a^2+b^2}i$.
Dạng hình học của số phức
Xét trong mặt phẳng tọa độ Descartes $Oxy$, ứng với mỗi số phức $z=a+ib\in \mathbb{C}$ ta xét điểm $M$ của mặt phẳng có tọa độ là $(a,b)$ cùng với véctơ $\overrightarrow{OM}$ nối gốc tọa độ $O$ với $M$ (xem Hình I.1). Điểm $M(a,b)$ hay véctơ $\overrightarrow{OM}$ được gọi là $\textbf{biểu diễn hình học}$ hay $\textbf{dạng hình học}$ của số phức $z$.
Dạng lượng giác của số phức
Giả sử $z=a+ib \ne 0$. Khi đó $$ z= \sqrt{a^2+b^2} \big(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} +\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\big). $$ Gọi $\varphi$ là góc xác định sai khác $2k\pi\ (k\in \mathbb{Z})$ sao cho $\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và $\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Ta có $$ z=\left\Vert z \right\Vert(\cos\varphi +i \sin\varphi). $$ Trong mặt phẳng $Oxy$, số phức $z$ được biểu diễn bởi điểm $M(a,b)$ thì $\varphi$ là số đo góc tạo bởi tia $Ox$ và tia $OM$ (sai khác $2k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$). Góc $\varphi$ được gọi là $\textbf{argument}$ của số phức $z$, ký hiệu là $\varphi= \mathrm{arg}(z)$. Đặt $r:= \left\Vert z \right\Vert=\left\Vert \overrightarrow{OM} \right\Vert$. $\textbf{Định nghĩa 3.29.}\ $
Dạng biểu diễn
$$
z = r(\cos\varphi +i \sin\varphi)
$$
được gọi là $\textbf{dạng lượng giác}$ của số phức $z$.
$\textbf{Ví dụ 3.30.}\ $
Các số phức $1, 1+i, 1-i$ có dạng lượng giác lần lượt là
$$
1=1\cdot(\cos0 +i\sin 0),
$$
$$
1+i = \sqrt{2}(\cos\tfrac{\pi}{4} +i \sin\tfrac{\pi}{4}),
$$
$$
1-i = \sqrt{2}(\cos (\tfrac{-\pi}{4}) +i\sin(\tfrac{-\pi}{4})).
$$
Lũy thừa bậc $n$ của số phức
Cho các số phức $z=\left\Vert z \right\Vert(\cos\varphi +i \sin\varphi)$ và $w=\left\Vert w \right\Vert(\cos\psi +i \sin\psi)$. Ta có $$ z\cdot w = \left\Vert z \right\Vert\cdot\left\Vert w \right\Vert [\cos(\varphi +\psi)+i \sin(\varphi+\psi)]. $$ Vậy tích của hai số phức là một số phức có môđun bằng tích hai môđun, còn argument bằng tổng hai argument của hai số phức thành phần.- Nếu $w \ne 0$ thì $$ \dfrac{z}{w}=\dfrac{\left\Vert z \right\Vert}{\left\Vert w \right\Vert} \big[\cos(\varphi -\psi)+i \sin(\varphi-\psi)\big]. $$
- Trường hợp $w=z$ thì \begin{align*} z^2 &= \left\Vert z \right\Vert^2 (\cos 2\varphi +i \sin 2\varphi),\\ z^n &= \left\Vert z \right\Vert^n (\cos n\varphi +i \sin n\varphi),\ \forall n\in \mathbb{N}^*. \end{align*}
Căn bậc $n$ của số phức
Với số phức $z$, căn bậc $n\ (n\in \mathbb{N}^*)$ của $z$ là các số phức $w$ sao cho $w^n =z$. Nếu $z=0$ thì $w=0$. Giả sử $z=\left\Vert z \right\Vert(\cos \varphi +i \sin \varphi)\ne 0$ và $w=\left\Vert w \right\Vert(\cos \psi +i \sin \psi)$. Ta có $$ w^n = z \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} \left\Vert w \right\Vert^n =\left\Vert z \right\Vert\\ \cos n\psi = \cos \varphi \\ \sin n\psi = \sin \varphi . \end{cases} $$ Do đó $\left\Vert w \right\Vert = \sqrt[n]{\left\Vert z \right\Vert}$, $n\psi=\varphi+k2\pi$ hay $\psi=\frac{\varphi+k2\pi}{n}, (k\in \mathbb{Z})$. Vậy có $n$ giá trị phân biệt sao cho $w^n = z$, chẳng hạn ứng với $k=0,1,2,\dots,n-1$. Thế nên phương trình $w^n - z = 0$ với $z\in \mathbb{C}$ cho trước luôn có $n$ nghiệm trong $\mathbb{C}$. Đặc biệt căn bậc $n$ của đơn vị $1$ là một phần tử trong tập $$ \Omega =\set{ \cos\tfrac{k2\pi}{n}+ i \sin\tfrac{k2\pi}{n} \mid k=0,1,\dots,n-1 }. $$ $\textbf{Ví dụ 3.31.}\ $
Hãy chỉ ra rằng $z=(1+i\sqrt{3})^3+(1- i\sqrt{3})^3$ là số thực âm.
Đặt
\begin{align*}
z_1 &= 1+i\sqrt{3} = 2(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos\tfrac{\pi}{3} +i \sin\tfrac{\pi}{3}), \\
z_2 &= 1-i\sqrt{3} = 2(\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos\tfrac{5\pi}{3} +i \sin\tfrac{5\pi}{3}).
\end{align*}
Khi đó ta có
$$
z=z_{1}^3+z_{2}^3 = 2^3(\cos \pi +i \sin \pi) + 2^3(\cos 5\pi +i \sin 5\pi) = -2^4 \in \mathbb{R}.
$$
Để kết thúc chương này, ta phát biểu Định lí cơ bản của Đại số.
Tuy có nhiều cách khác nhau để chứng minh định lí này, nhưng chúng tôi bỏ qua chứng minh trong giáo trình này.
Một chứng minh có thể tìm thấy trong [FIS2019, Theorem D.4] hoặc [Monier2006, trang 177-178].
$\textbf{Định lý 3.32} [\textbf{Định lí cơ bản của Đại số}] \ $
Giả sử $f(z) = a_0+ a_1z+\cdots + a_nz^n$ là đa thức trên trường số phức với $n\geq 1$.
Khi đó $f(z)$ có nghiệm trên $\mathbb{C}$.
Sử dụng Maple
Trong mục này chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của $\texttt{Maple}$ để tính toán đa thức và số phức. Xét các đa thức $f=x^3+4x^2+9x+10$ và $g=x^2+3x+2$. Nhập các đa thức này trong $\texttt{Maple}$ bởi:$\hspace{0cm}\texttt{> f := x^3+4*x^2+9*x+10;}$
$\hspace{0cm}\texttt{> g := x^2+3*x+2;}$
Lệnh $\texttt{degree(f)}$ tính bậc của $f$, lệnh $\texttt{coeffs(f,x)}$ tính
các hệ số của $f$, lệnh $\texttt{op(f)}$ liệt kê tất cả các đơn thức của $f$,
và lệnh $\texttt{subs(x=3, f)}$ tính giá trị của $f$ tại $x=3$:
$\hspace{0cm}\texttt{> degree(f);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 3}$
$\hspace{0cm}\texttt{> coeffs(f,x);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 1, 4, 9, 10}$
$\hspace{0cm}\texttt{> op(f);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ x^3, 4*x^2, 9*x, 10}$
$\hspace{0cm}\texttt{> subs(x=3, f);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 100}$
Để phân tích đa thức $f$ thành nhân tử trên trường $K=\mathbb{Q}$ thì ta dùng lệnh
$\hspace{0cm}\texttt{> factor(f);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ (x+2)(x^2+2x+5)}$
Lệnh $\texttt{gcd(f, g)}$ và $\texttt{lcm(f, g)}$ lần lượt tính ước chung lớn nhất
và bội chung nhỏ nhất của $f$ và $g$:
$\hspace{0cm}\texttt{> gcd(f, g);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ x + 2}$
$\hspace{0cm}\texttt{> lcm(f, g);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ / 2 \ / 2 \ }$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ \x + 2 x + 5/ \x + 3 x + 2/}$
Để tính thương và phần dư của phép chia $f$ cho $g$, ta thực hiện như sau:
$\hspace{0cm}\texttt{> quo(f, g, x);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ x + 1}$
$\hspace{0cm}\texttt{> rem(f, g, x);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 4x + 8}$
Lệnh $\texttt{RootOf(...)}$ tìm nghiệm của một đa thức.
Các phép toán trên đa thức được thực hiện thông thường
với $\texttt{f+g; f-g; f.g;}.$
Tiếp theo, xét hai số phức $x=2+3i$ và $y=1+\sqrt{3}i$. Trong $\texttt{Maple},$
ta khai báo số phức với lệnh:
$\hspace{0cm}\texttt{> x:= Complex(2,3);}$
$\hspace{0cm}\texttt{> y:= 1 +sqrt(3)I;}$
Ở trên $\texttt{I}$ là đơn vị ảo của số phức.
Khi đó các phép toán trên các số phức $x,y$ được thực hiên thông thường,
chẳng hạn:
$\hspace{0cm}\texttt{> x+y;}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 3+3I+I sqrt(3)}$
$\hspace{0cm}\texttt{> x^5;}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 122-597 I}$
$\hspace{0cm}\texttt{> x^(-1);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 2/13 -3/13 I}$
Hơn nữa, ta có thể tính phần thực và phần ảo của $x$ với $\texttt{Re(...)}$ và $\texttt{Im(...)}:$
$\hspace{0cm}\texttt{> Re(x);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 2}$
$\hspace{0cm}\texttt{> Im(x);}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{ 3}$
Comments
Post a Comment