Ở các mục trước ta thấy rằng một hệ phương trình tuyến tính
có thể có vô số nghiệm, có một nghiệm duy nhất hay vô nghiệm.
Trong mục này chúng ta sẽ xem xét việc biện luận các trường hợp
nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, xét nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và một vài ứng dụng
của hệ phương trình tuyến tính.
Nếu $x_1,x_2$ là số các đối tượng đi vào hay rời khỏi
tại giao điểm $B$ ứng với nhánh đường trên hình (II.10),
thì tại giao điểm $B$ ta có đẳng thức
$$
x_1 + 50 = x_2+30.
$$
Như vậy tại mỗi giao điểm đưa ra cho chúng ta một phương trình
tuyến tính với các biến là số các đối tượng chưa xác định.
Trong nhiều trường hợp cụ thể, chúng ta có thể xác định
được số các đối tượng chưa xác định này.
7.1. Hạng của ma trận và biện luận hệ phương trình
Trước tiên chúng ta giới thiệu về hạng của ma trận trên trường $\mathbb{K}$. Cho $m,n$ là các số nguyên dương, và ma trận $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Định lý 6.6 chỉ ra sự tồn tại duy nhất một ma trận bậc thang rút gọn $B\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ tương đương với ma trận $A$. Điều này cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 7.1.}\ $
Số dòng khác không của ma trận bậc thang rút gọn
tương đương với ma trận $A$ được gọi là $\textbf{hạng}$ của $A$
và được ký hiệu bởi $\mathrm{rk}(A)$ (hay $\mathrm{rank}(A)$).
$\textbf{Nhận xét 7.2.} \ $ Cho $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$.
- Nếu $A$ là ma trận không thì $\mathrm{rk}(A)=0$.
- Vì ma trận bậc thang rút gọn $B$ tương tương với $A$ không thể có nhiều hơn $n$ phần tử chuẩn, thế nên $$ 0\le \mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(B)\le \min\{m,n\}. $$
- Nếu $A$ là ma trận bậc thang thì $\mathrm{rk}(A)$ bằng số dòng khác không của $A$.
- Nếu $A,A'$ là hai ma trận tương đương (tức $A'$ nhận được từ $A$ qua các phép biến đổi dòng sơ cấp), thì $\mathrm{rk}(A) = \mathrm{rk}(A')$.
$\textbf{Ví dụ 7.3.}\ $
Tính hạng ma trận
$$
A = \begin{bmatrix}
1&2&1\\
2&4&1\\
4&8&3
\end{bmatrix}.
$$
Ta có
\begin{align*}
A &=\begin{bmatrix}
1&2&1\\
2&4&1\\
4&8&3
\end{bmatrix}
\xrightarrow[d_3-4d_1]{d_2-2d_1}
\begin{bmatrix}
1&2&1\\
0&0&-1\\
0&0&-1
\end{bmatrix}\\
&\xrightarrow[d_1+d_2]{d_3-d_2}
\begin{bmatrix}
1&2&0\\
0&0&-1\\
0&0&0
\end{bmatrix}\xrightarrow[]{-d_2}
\begin{bmatrix}
1&2&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{bmatrix}=:A'.
\end{align*}
Vậy ma trận $A$ có hạng $\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(A')=2$.
Tiếp theo, xét hệ phương trình tuyến tính cấp $m\times n$ trên trường $\mathbb{K}$
\begin{equation}\tag{7.1}
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2\\
\dots \qquad\ \dots \qquad \dots\qquad \dots &\dots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m
\end{cases}
\end{equation}
với ma trận mở rộng $\overline{A} = [A,\mathbf{b}]\in\mathrm{Mat}_{m,n+1}(\mathbb{K})$, trong đó $A$
là ma trận hệ số và $\mathbf{b}$ là ma trận cột hệ số tự do.
Để ý rằng
$$
\mathrm{rk}(A)\le \mathrm{rk}(\overline{A}) \le \min\{\, m,n+1\,\}.
$$
Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (7.1) được
đặc trưng qua mệnh đề dưới đây.
$\textbf{Mệnh đề 7.4.} \ $
Với ký hiệu ở trên ta có:
- Nếu $\mathrm{rk}(A)< \mathrm{rk}(\overline{A})$ thì hệ phương trình (7.1) vô nghiệm.
- Nếu $\mathrm{rk}(A)= \mathrm{rk}(\overline{A})=n$ thì hệ phương trình (7.1) có một nghiệm duy nhất.
- Nếu $\mathrm{rk}(A)= \mathrm{rk}(\overline{A})< n$ thì hệ phương trình (7.1) có vô số nghiệm.
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Cho $\overline{B}=[B,\, \mathbf{c}]$ là ma trận bậc thang rút gọn tương đương với ma trận mở rộng $\overline{A}$ của hệ phương trình và viết $B=(b_{ij})_{m\times n}$. Gọi $j_1,\dots,j_r$ là chỉ số cột chứa phần tử chuẩn của ma trận $B$ và ta sắp xếp các cột với chỉ số này trong $r$ cột đầu tiên của ma trận (để ý các biến tương ứng với cột của ma trận). Ma trận $\overline{B}$ có dạng $$ \overline{B} = \begin{bmatrix} 1&0& \dots & 0& *&\dots & c_1\\ 0 & 1 &\dots & 0 &*& \dots & c_2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots&*&\ddots& \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 &* &\dots & c_r\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0& \dots & c_{r+1}\\ 0 & 0 & \dots &0 &0 &\dots & 0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots& \vdots\\ 0 & 0 & \dots &0 &0 &\dots & 0\\ \end{bmatrix} $$ trong đó ``$*$'' ký hiệu cho các số trong trường $\mathbb{K}$. Chú ý $\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(B)$ và $\mathrm{rk}(\overline{A})=\mathrm{rk}(\overline{B})$. Nếu $\mathrm{rk}(A) < \mathrm{rk}(\overline{A})$, thì dòng thứ $r+1$ của $\overline{B}$ có dạng $\begin{bmatrix} 0&0&\dots&0&c_{r+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&\dots&0&1 \end{bmatrix}$, nên theo Nhận xét 6.11 hệ phương trình (7.1) vô nghiệm. Ngược lại, ta có $\mathrm{rk}(A)= \mathrm{rk}(\overline{A})=r\le n$ và $c_{r+1}=0$, vì $\mathrm{rk}(A)\le n$. Nếu $r=n$, thì hệ phương trình (7.1) có nghiệm duy nhất $(c_1,\dots,c_n).$ Trường hợp $r < n$, chọn $n-r$ biến $x_j$ với $j\notin \{j_1,\dots,j_r\}$ là biến tự do (các biến này có thể nhận giá trị tùy ý trong $\mathbb{K}$). Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình (7.1) được viết dạng $$ \begin{cases} x_{j_1} = c_1 - \sum_{j\notin \{j_1,\dots,j_r\} }b_{1j}x_j\\ \dots \dots\dots \dots \dots\dots\dots\dots\dots \\ x_{j_r} = c_r - \sum_{j\notin \{j_1,\dots,j_r\} }b_{rj}x_j. \end{cases} $$ Đặc biệt, hệ phương trình có vô số nghiệm trong trường hợp này.
$\textbf{Nhận xét 7.5.} \ $ Trong thực hành ta thường biến đổi dòng sơ cấp $\overline{A}$ về ma trận bậc thang $\overline{A}'=[A',\mathbf{b}']$ và áp dụng Mệnh đề 7.4 đối với $\overline{A}'$ để biện luận nghiệm của hệ phương trình.
$\textbf{Ví dụ 7.6.}\ $
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số $a\in \mathbb{K}$:
\[\begin{cases}
x_1+2x_2+x_3&=1\\
2x_1+4x_2+x_3&=3\\
4x_1+8x_2+3x_3&=a.
\end{cases}\]
Trước hết, ta biến đổi ma trận mở rộng của hệ phương trình về dạng bậc thang:
\begin{align*}
\overline{A}&=\begin{bmatrix}
1&2&1&1\\
2&4&1&3\\
4&8&3&a
\end{bmatrix}
\xrightarrow[d_3-4d_1]{d_2-2d_1}
\begin{bmatrix}
1&2&1&1\\
0&0&-1&1\\
0&0&-1&a-4
\end{bmatrix}
\xrightarrow[(-1)d_2]{d_3-d_2}
\begin{bmatrix}
1&2&1&1\\
0&0&1&-1\\
0&0&0&a-5
\end{bmatrix}\\
&\xrightarrow{d_1-d_2}
\begin{bmatrix}
1&2&0&2\\
0&0&1&-1\\
0&0&0&a-5
\end{bmatrix} := \overline{A}' =[A',\, \mathbf{b}'].
\end{align*}
- Nếu $a\ne 5$, thì $\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(A') < \mathrm{rk}(\overline{A}')=\mathrm{rk}(\overline{A})$ và hệ phương trình vô nghiệm.
- Nếu $a=5$, thì $\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(A')=\mathrm{rk}(\overline{A}')=\mathrm{rk}(\overline{A})=2 < 3=n$ và hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình \[\begin{cases} x_1+2x_2&=2\\ x_3&=-1. \end{cases}\] Chọn $x_2$ là biến tự do và gán $x_2=t\in \mathbb{K}$, ta giải được tập nghiệm của hệ phương trình là $\mathcal{Z} =\{(2-2t,t,-1) \mid t\in \mathbb{K}\}.$
$\textbf{Nhận xét 7.7.} \ $ Trong khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss-Jordan, ta có thể hoán đổi vị trí hai cột trong ma trận hệ số $A$ cho nhau (ngoại trừ cột cuối cùng của $\overline{A}$) và khi hoán đổi vị trí hai cột nào đó thì hoán đổi vị trí hai biến tương ứng với hai cột đó.
Ví dụ tiếp theo minh họa việc biện luận hệ phương trình tuyến tính cấp $4\times 4$. $\textbf{Ví dụ 7.8.}\ $
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số $a\in \mathbb{K}$:
$$
\begin{cases}
x_1+(a+1)x_2+3x_3+x_4 &=a+2 \\
x_1-(a+1)x_2+x_3+x_4 &=-a\\
2x_1-(a+1)x_2+3x_3+(a^3-a+2)x_4 &= a^2-a\\
3x_1-2(a+1)x_2+4x_3+3x_4 &=1-2a.
\end{cases}
$$
Ma trận mở rộng của hệ phương trình trên là
$$
\overline{A} = \begin{bmatrix}
1&a+1&3&1&a+2\\
1&-a-1&1&1&-a\\
2&-a-1&3&a^3-a+2&a^2-a\\
3&-2a-2&4&3&1-2a
\end{bmatrix}.
$$
Ta biến đổi ma trận $\overline{A}$ về dạng bậc thang như sau:
\begin{align*}
\overline{A} &\xrightarrow[d_4-3d_1]{\begin{subarray} \
d_2-d_1\\ d_3-2d_1
\end{subarray}}
\begin{bmatrix}
1&a+1&3&1&a+2\\
0&-2a-2&-2&0&-2a-2\\
0&-3a-3&-3&a^3-a&a^2-3a-4\\
0&-5a-5&-5&0&-5a-5
\end{bmatrix} \\
&\xrightarrow{\ \frac{-1}{2}d_2\ }
\begin{bmatrix}
1&a+1&3&1&a+2\\
0&a+1&1&0&a+1\\
0&-3a-3&-3&a^3-a&a^2-3a-4\\
0&-5a-5&-5&0&-5a-5
\end{bmatrix} \\
&\xrightarrow[d_4+5d_2]{\begin{subarray} \
d_1-d_2\\ d_3+3d_2
\end{subarray}}
\begin{bmatrix}
1&0&2&1&1\\
0&a+1&1&0&a+1\\
0&0&0&a^3-a&a^2-1\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}.
\end{align*}
Nếu ta hoán đổi cột thứ hai với cột thứ ba và xóa đi dòng không
trong ma trận cuối ta thu được ma trận
$$
\overline{B} =[B,\mathbf{c}]= \begin{bmatrix}
1&2&0&1&1\\
0&1&a+1&0&a+1\\
0&0&0&a^3-a&a^2-1
\end{bmatrix}.
$$
Ta có $\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(B)$ và $\mathrm{rk}(\overline{A})=\mathrm{rk}(\overline{B})$.
Ta xét các trường hợp dưới đây (tùy theo giá trị của $a$ thỏa mãn $a^3-a=0$ hay không).
- Nếu $a=0$ thì $2=\mathrm{rk}(A) < \mathrm{rk}(\overline{A})=3$, kéo theo hệ phương trình vô nghiệm.
- Nếu $a=1$ thì $\mathrm{rk}(A) =\mathrm{rk}(\overline{A})=2$, và hệ phương trình tương đương với $$ \begin{cases} x_1+2x_3+x_4&=1\\ 2x_2+x_3&=2. \end{cases} $$ Gán các biến tự do $x_3=s, x_4=t\in \mathbb{K}$, ta nhận được tập nghiệm của hệ phương trình là $\mathcal{Z} = \{(1-2s-t,1-\frac{s}{2},s,t)\mid s,t\in \mathbb{K}\}$.
- Nếu $a=-1$ thì $\mathrm{rk}(A) =\mathrm{rk}(\overline{A})=2$, và hệ phương trình tương đương với $$ \begin{cases} x_1+2x_3+x_4&=1\\ x_3&=0 \end{cases} $$ và tập nghiệm của hệ phương trình là $\mathcal{Z} = \{(1-t,s,0,t)\mid s,t\in \mathbb{K}\}$.
- Nếu $a\notin \{-1,0,1\}$ thì $\mathrm{rk}(A) =\mathrm{rk}(\overline{A})=3$, và hệ phương trình tương đương với $$ \begin{cases} x_1+2x_3+x_4&=1\\ (a+1)x_2+x_3&=a+1\\ a x_4 &=1. \end{cases} $$ Gán $x_3=t\in \mathbb{K}$, ta nhận được tập nghiệm của hệ phương trình là $$ \mathcal{Z} = \{\, (\tfrac{a-1}{a}-2t,1-\tfrac{t}{a+1},t,\tfrac{1}{a}) \mid t\in \mathbb{K}\,\}. $$
7.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
$\textbf{Định nghĩa 7.9.}\ $
Hệ phương trình tuyến tính (7.1) được gọi là
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
nếu ta có $b_1=b_2=\cdots=b_m=0$,
tức là hệ phương trình có dạng
\begin{equation}\tag{7.2}
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0\\
\dots \qquad\ \dots \qquad \dots\qquad \dots &\dots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=0.
\end{cases}
\end{equation}
Rõ ràng, bộ $(0,0,\dots,0)\in \mathbb{K}^n$ luôn là một nghiệm của hệ phương
trình (7.2) và được gọi là $\textbf{nghiệm tầm thường}.$
Những nghiệm khác (nếu có) của hệ phương trình (7.2)
được gọi là $\textbf{nghiệm không tầm thường}.$
$\textbf{Nhận xét 7.10.} \ $ Gọi $\overline{A}=[A,\mathbf{0}]$ là ma trận mở rộng của hệ phương trình (7.2). Vì ma trận cột hệ số tự do luôn là không dưới các phép biến đổi sơ cấp dòng, nên $\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(\overline{A})$.
- Nếu $\mathrm{rk}(A)=n$ thì hệ phương trình (7.2) chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường.
- Nếu $\mathrm{rk}(A) < n$ thì hệ phương trình (7.2) có vô số nghiệm. Đặc biệt, nếu hệ phương trình (7.2) thỏa mãn $m < n$ thì hệ phương trình này có vô số nghiệm.
$\textbf{Ví dụ 7.11.}\ $
Tìm điều kiện của tham số $a\in \mathbb{K}$ để hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất
$$
\begin{cases}
x_1+2x_2+4x_3&=0\\
x_1+ax_2+a^2x_3&=0\\
x_1+3x_2+9x_3&=0
\end{cases}
$$
có nghiệm không tầm thường.
Ta biến đổi ma trận hệ số $A$ của hệ phương trình về dạng bậc thang
để xác định hạng của ma trận $A$ như sau:
\begin{align*}
A &=
\begin{bmatrix}
1&2&4\\
1&a&a^2\\
1&3&9
\end{bmatrix}
\xrightarrow[d_3-d_1]{\begin{subarray} \
d_2-d_1
\end{subarray}}
\begin{bmatrix}
1&2&4\\
0&a-2&a^2-4\\
0&1&5
\end{bmatrix}
\xrightarrow{d_2\leftrightarrow d_3}
\begin{bmatrix}
1&2&4\\
0&1&5\\
0&a-2&a^2-4
\end{bmatrix}\\
&\xrightarrow{d_3-(a-2)d_2}
\begin{bmatrix}
1&2&4\\
0&1&5\\
0&0&a^2-5a+6
\end{bmatrix}.
\end{align*}
Ta thấy $a^2-5a+6=(a-2)(a-3)$. Do đó,
$\mathrm{rk}(A)< 3$ nếu và chỉ nếu $a=2$ hoặc $a=3$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm không tầm thường khi
$a=2$ hoặc $a=3$.
$\textbf{Mệnh đề 7.12.} \ $
Cho $a\in \mathbb{K}$, $u=(u_1,\dots,u_n)$, $v=(v_1,\dots,v_n)\in \mathbb{K}^n$
là hai nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (7.2),
và $w=(w_1,\dots,w_n)\in \mathbb{K}^n$ là một nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính tổng quát (7.1).
Khi đó
- $u+v :=(u_1+v_1,\dots,u_n+v_n)\in \mathbb{K}^n$ là một nghiệm của hệ phương trình (7.2).
- $au := (au_1,\dots,au_n)\in \mathbb{K}^n$ là một nghiệm của hệ phương trình (7.2).
- $v+w := (v_1+w_1,\dots,v_n+w_n)\in \mathbb{K}^n$ là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát (7.1).
$\textbf{Chứng minh.} \ $ Với $i\in\{1,\dots,m\}$, xét phương trình thứ $i$ của hệ phương trình (7.2): $a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=0$. Vì $u,v$ là nghiệm của hệ phương trình (7.2), nên $a_{i1}u_1+\cdots+a_{in}u_n=0$ và $a_{i1}v_1+\cdots+a_{in}v_n=0$. Suy ra \begin{align*} & a_{i1}(u_1+v_1)+\cdots+a_{in}(u_n+v_n) \\ &=(a_{i1}u_1+\cdots+a_{in}u_n) +(a_{i1}v_1+\cdots+a_{in}v_n) =0\\ & a_{i1}(au_1)+\cdots+a_{in}(au_n)=a(a_{i1}u_1+\cdots+a_{in}u_n) = 0. \end{align*} Do đó, các khẳng định (a) và (b) được chứng minh. Tiếp theo, ta chỉ ra (c). Xét phương trình thứ $i$ của hệ phương trình (7.1): $a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=b_i$. Theo giả thiết, ta có $a_{i1}v_1+\cdots+a_{in}v_n=0$ và $a_{i1}w_1+\cdots+a_{in}w_n=b_i$. Thế nên \begin{align*} &a_{i1}(v_1+w_1)+\cdots+a_{in}(v_n+w_n)\\ & =(a_{i1}v_1+\cdots+a_{in}v_n) +(a_{i1}w_1+\cdots+a_{in}w_n) =0+b_i=b_i. \end{align*} Điều này suy ra $v+w$ là một nghiệm của hệ phương trình (7.1).
7.3. Một vài ứng dụng của hệ phương trình
Cho phương trình \begin{equation}\tag{7.3} ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 \end{equation} Đầu tiên ta xét trường hợp đơn giản $a=b=c=0$. Khi đó phương trình $dx+ey+f=0$ với $d\ne 0$ hoặc $e\ne 0$ có đồ thị là một đường thẳng trong $Oxy$. Rõ ràng để xác định đường thẳng ta cần biết ít nhất hai điểm trên nó. $\textbf{Ví dụ 7.13.}\ $
Đường thẳng có phương trình dạng $dx+ey+f=0$ đi qua
hai điểm điểm $(1, 2)$ và $(2, 5)$ khi và chỉ khi
$$
\begin{cases}
d+2e+f&=0\\
2d+5e+f&=0.
\end{cases}
$$
Điều này tương đương với
$$
\begin{cases}
d+2e+f&=0\\
e-f&=0.
\end{cases}
$$
Hay nói cách khác, $e=f$ và $d=-3f.$
Vậy phương trình của đường thẳng là $-3fx+fy+f=0$.
Khử đi tham số $f$, ta nhận được phương trình của đường thẳng
đi qua $(1, 2)$ và $(2, 5)$ là
$$
-3x+y+1=0.
$$
Xác định đường cong bậc hai
Với $a, b, c$ là các số thực không đồng thời bằng $0$, tập hợp các điểm $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ thỏa mãn phương trình (7.3) tạo thành một đường cong trong mặt phẳng $Oxy$. Đường cong này được gọi là một đường cong bậc hai. Nhiều vật thể chuyển động quanh chúng ta như các hành tinh, vệ tinh nhân tạo, các hạt electron, v.v. đều có quỹ đạo là các đường cong bậc hai. Vậy khi ta biết một vật thể di chuyển theo một đường cong bậc hai (chẳng hạn đường elip) và sau khi chúng ta thực hiện một số quan sát về vị trí của vật thể đó thì chúng ta có thể xác định hoàn toàn quỹ đạo của nó hay không? Một trong ứng dụng thú vị của hệ phương trình tuyến tính sẽ chỉ ra rằng câu trả lời là có. Trường hợp tổng quát đối với phương trình (7.3), mỗi bộ hệ số $(a,b,c,d,e,f)$ xác định một đường cong bậc hai, và hai bộ hệ số tỷ lệ nhau xác định cùng một đường cong bậc hai. Như vậy, chúng ta cần tối thiểu 5 điểm trên đường cong bậc hai để lập nên 5 phương trình tuyến tính thuần nhất và từ đó xác định các hệ số của đường cong bậc hai. Điều này cũng trả lời câu hỏi phía trên rằng ta hoàn toàn xác định quỹ đạo dạng đường cong bậc hai của vật thể nếu biết ít nhất 5 vị trí (hay tọa độ) cụ thể của nó. Để ý rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm 5 phương trình 6 biến luôn có nghiệm không tầm thường, do đó bất kỳ 5 điểm luôn nằm trên đồ thị một đường cong bậc hai. $\textbf{Ví dụ 7.14.}\ $
Xác định phương trình đường của cong bậc hai đi qua 5 điểm:
$(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$, $(2,0)$ và $(2,\frac{1}{3})$.
Thế lần lượt các điểm vào phương trình (7.3)
ta thu được hệ phương trình tuyến tính
$$
\begin{cases}
a+d+f &= 0\\
c+e+f &=0\\
a+b+c+d+e+f&=0\\
4a+2d+f &=0\\
4a+\frac{2}{3}b+\frac{1}{9}c+2d+\frac{1}{3}e+f&=0.
\end{cases}
$$
Ma trận hệ số của hệ phương trình là
$$
A = \begin{bmatrix}
1&0&0&1&0&1\\
0&0&1&0&1&1\\
1&1&1&1&1&1\\
4&0&0&2&0&1\\
4&\frac{2}{3}&\frac{1}{9}&2&\frac{1}{3}&1
\end{bmatrix}.
$$
Biến đổi dòng sơ cấp ma trận $A$ về dạng bậc thang:
\begin{align*}
A &\xrightarrow[d_5-d_5]{d_3-d_1}
\begin{bmatrix}
1&0&0&1&0&1\\
0&0&1&0&1&1\\
0&1&1&0&1&0\\
4&0&0&2&0&1\\
0&\frac{2}{3}&\frac{1}{9}&0&\frac{1}{3}&0
\end{bmatrix}
\xrightarrow[d_4-4d_1]{d_2\leftrightarrow d_3}
\begin{bmatrix}
1&0&0&1&0&1\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1&1\\
0&0&0&-2&0&-3\\
0&\frac{2}{3}&\frac{1}{9}&0&\frac{1}{3}&0
\end{bmatrix} \\
& \xrightarrow[\frac{-1}{2}d_4]{d_5-\frac{2}{3}d_2}
\begin{bmatrix}
1&0&0&1&0&1\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1&1\\
0&0&0&1&0&\frac{3}{2}\\
0&0&\frac{-5}{9}&0&\frac{-1}{3}&0
\end{bmatrix}
\xrightarrow[\frac{9}{2}d_5]{d_5+\frac{5}{9}d_3}
\begin{bmatrix}
1&0&0&1&0&1\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1&1\\
0&0&0&1&0&\frac{3}{2}\\
0&0&0&0&1&\frac{5}{2}
\end{bmatrix}.
\end{align*}
Từ ma trận cuối ta nhận được nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất là
$$
\begin{cases}
a &= \frac{1}{2}f\\
b &= f\\
c &=\frac{3}{2}f\\
d &=-\frac{3}{2}f\\
e &=-\frac{5}{2}f.
\end{cases}
$$
Với $f=2$ ta thu được phương trình của cong bậc hai đi qua 5 điểm
cho trên là
$$
x^2+2xy+3y^2-3x-5y+2 = 0.
$$
Vậy đường cong bậc hai này là một elip như Hình II.9.
$\textbf{Nhận xét 7.15.} \ $ Trong trường hợp mặt cong bậc hai có phương trình dạng $$ ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0 $$ để xác định bộ 10 hệ số $(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)$ ta cần biết ít nhất 9 điểm nằm trên mặt cong bậc hai này.
Bài toán mạng lưới giao thông đường một chiều
Ứng dụng tiếp theo của hệ phương trình tuyến tính là xem xét bài toán mạng lưới giao thông đường một chiều. Một mạng lưới giao thông là một tổ hợp gồm các con đường và các điểm giao. Ở đây ta chỉ xét các con đường là đường đi một chiều và giả sử rằng tại một điểm giao thì số các đối tượng đi vào bằng với số các đối tượng rời khỏi. Chẳng hạn, ta có mạng lưới giao thông như hình sau:
$\textbf{Ví dụ 7.16.}\ $
Xét mạng lưới giao thông về xe tải được mô tả theo sơ đồ sau đây
(tính trung bình theo giờ).
Ứng với mỗi giao điểm đưa ra được một phương trình tuyến tính, ta thiết lập
được hệ phương trình tuyến tính biểu diễn sự lưu thông của
mạng lưới giao thông trên:
$$
\begin{cases}
x_1+x_3&=500\\
x_1-x_2&=-20\\
x_2-x_4&=100\\
x_4-x_5&=50\\
x_3+x_5-x_6&=200.
\end{cases}
$$
Để biết lượng lưu thông của xe tải trong mạng lưới giao thông trên,
ta cần giải hệ phương trình biểu diễn chúng. Ma trận mở rộng của hệ phương
trình là
$$
\overline{A} = \begin{bmatrix}
1&0&1&0&0&0&500\\
1&-1&0&0&0&0&-20\\
0&1&0&-1&0&0&100\\
0&0&0&1&-1&0&50\\
0&0&1&0&1&-1&200
\end{bmatrix}.
$$
Bằng các phép biến đổi dòng sơ cấp, ta biến đổi ma trận $\overline{A}$
về dạng bậc thang rút gọn và nhận được:
$$
\overline{B} = \begin{bmatrix}
1&0&0&0&-1&0&130\\
0&1&0&0&-1&0&150\\
0&0&1&0&1&0&370\\
0&0&0&1&-1&0&50\\
0&0&0&0&0&1&170\\
\end{bmatrix}.
$$
Gán $x_5=t$ là tham số tùy ý, nghiệm của hệ phương trình là
$$
\begin{cases}
x_1&=130+t\\
x_2&=150+t\\
x_3&=370-t\\
x_4&=50+t\\
x_6&=170.
\end{cases}
$$
Như vậy, nếu $x_5=100$ thì
$$
x_1=230,\, x_2=250,\, x_3=270,\, x_4=150,\, x_5=100,\, x_6=170.
$$
Thông thường, chúng ta luôn muốn một mạng lưới giao thông không có xe tải
lưu thông ngược chiều. Tuy nhiên, khi những đoạn đường cần sửa chữa
hay ngập nặng, thì tình trạng lưu thông ngược chiều có thể xảy ra.
Điều này cần sự điều chỉnh lại mạng lưới giao thông cho xe tải.
Chẳng hạn, nếu đoạn đường từ $A$ đến $B$ không được lưu thông
và số xe tải ở lối ra ứng với $x_6$ là cố định thì ta có $x_1=0$, $x_6=170$,
và do đó
$$
x_2=20,\, x_3=500,\, x_4=-80,\, x_5=-130.
$$
Trong trường hợp này $x_4, x_5$ nhận giá trị âm và vì vậy
ta cần điều chỉnh chiều của đoạn đường từ $D$ đến $E$
và đoạn đường từ $C$ đến $D$.
Bài toán mạng lưới điện
Trong phần này chúng ta sẽ áp dụng hệ phương trình tuyến tính để xem xét bài toán về mạng lưới điện (đơn giản). Trước tiên, ta nhắc lại các định luật của dòng điện như sau:- $\textbf{Định luật Ohm}$: Cường độ dòng điện $I$ (đơn vị Ampe) chạy qua một dây dẫn tỉ lệ thuận với hiệu điện thế $U$ (đơn vị Volt) giữa hai đầu dây dẫn và tỉ lệ nghịch với điện trở $R$ (đơn vị Ohm): $$ I=U/R. $$
- $\textbf{Định luật Kirchhoff về cường độ dòng điện:}$ Tại một nút bất kỳ trong mạch điện, tổng cường độ dòng điện chạy đến nút bằng tổng cường độ dòng điện chạy đi khỏi nút.
- $\textbf{Định luật Kirchhoff về điện thế:}$ Tổng giá trị điện thế dọc theo một vòng khép kín bằng không.
$\textbf{Ví dụ 7.17.}\ $
Xét mạch điện gồm ba điện trở $R_1$, $R_2$, $R_3$ và hai nguồn điện $\mathcal{E}_1$,
$\mathcal{E}_2$ như Hình II.12:
Theo Định luật Kirchhoff về cường độ dòng điện ta có phương trình
$$
I_1-I_2-I_3=0.
$$
Định luật Ohm và Định luật Kirchhoff về điện thế đối với vòng $S_1$
đưa đến phương trình
$$
R_1I_1+R_2I_2-\mathcal{E}_1=0
$$
và đối với vòng $S_2$ đưa đến phương trình
$$
\mathcal{E}_1-R_2I_2+R_3I_3+\mathcal{E}_2=0.
$$
Vậy ta nhận được hệ phương trình
$$
\begin{cases}
I_1-I_2-I_3&=0\\
R_1I_1+R_2I_2-\mathcal{E}_1&=0\\
\mathcal{E}_1-R_2I_2+R_3I_3+\mathcal{E}_2&=0.
\end{cases}
$$
Giả sử ta biết rằng $R_1=100$, $R_2=200$, $R_3=300$,
$\mathcal{E}_1=3$, $\mathcal{E}_2=4$, và cần xác định cường độ dòng điện
$I_1$, $I_2$, $I_3$ trong mạch.
Khi đó hệ phương trình trên trở thành
$$
\begin{cases}
I_1-I_2-I_3&=0\\
100 I_1+200 I_2-3&=0\\
3-200 I_2+300I_3+4&=0
\end{cases}
$$
và ma trận mở rộng của nó là
$$
\overline{A} =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 & 0\\
100 & 200 & 0 & 3\\
0 & -200 & 300 & -7
\end{bmatrix}.
$$
Biến đổi ma trận $\overline{A}$ về dạng bậc thang rút gọn:
\begin{align*}
\overline{A} &\xrightarrow[]{d_2-100d_1}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 & 0\\
0 & 300 & 100 & 3\\
0 & -200 & 300 & -7
\end{bmatrix}
\xrightarrow[]{d_3+\frac{2}{3}d_2}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 & 0\\
0 & 300 & 100 & 3\\
0 & 0 & \frac{1100}{3} & -5
\end{bmatrix}\\
&\xrightarrow[\frac{3}{1100}d_3]{\frac{1}{300}d_2}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{100}\\
0 & 0 & 1 & \frac{-3}{220}
\end{bmatrix}
\xrightarrow[d_2-\frac{1}{3}d_3]{d_1+(d_2+\frac{2}{3}d_3)}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{1100}\\
0 & 1 & 0 & \frac{4}{275}\\
0 & 0 & 1 & \frac{-3}{220}
\end{bmatrix}.
\end{align*}
Vậy ta thu được giá trị của các cường độ dòng điện trong mạch là
$$
\begin{cases}
I_1&=\frac{1}{1100}A\\
I_2&=\frac{4}{275}A\\
I_3&=\frac{-3}{220}A.
\end{cases}
$$
Vì $I_3$ nhận giá trị âm, thế nên cường độ dòng điện $I_3$
phải chạy theo chiều ngược lại.
Sử dụng Maple
Để tính hạng của một ma trận, ta dùng lệnh \texttt{Rank} trong gói lệnh $\texttt{LinearAlgebra}$. Chẳng hạn, với ma trận $A$ trong Ví dụ 7.3 ta tính hạng của nó bởi$\hspace{0cm}\texttt{
> with(LinearAlgebra);
}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A := Matrix([[1, 2, 1], [2, 4, 1], [4, 8, 3]]);
}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> Rank(A);
}$
và nhận được kết quả là $\mathrm{rk}(A)=2$.
Trong trường hợp ma trận có tham số thì ta vẫn có thể dùng lệnh
$\texttt{GaussJordanEliminationTutor(...)}$ trong gói lệnh
$\texttt{Student[LinearAlgebra]}$ để đưa ma trận về dạng bậc thang (rút gọn)
và tính hạng của ma trận. Xét ma trận mở rộng $\overline{A}$
của hệ phương trình trong Ví dụ 7.6.
Gán ma trận $\overline{A}$ với lệnh
$\hspace{0cm}\texttt{
> Abar := Matrix([[1,2,1],[2,4,1],[4,8,3],[1,3,a]]);
}$
sau đó dùng lệnh $\texttt{GaussJordanEliminationTutor(Abar)}$
để đưa ma trận về dạng bậc thang (rút gọn) theo chỉ dẫn của hộp thoại
như mục trước.
Trong các ví dụ tính toán phức tạp hơn, $\texttt{Maple}$ lại cho thấy
sự hữu ích của nó. Chẳng hạn, xét bài toán tìm phương trình
của mặt cong bậc hai đi qua 9 điểm $(0, 0, 1)$, $(1, 0, 1)$,
$(0, 1, 0)$, $(3, 1, 0)$, $(2, 0, 4)$, $(1, 1, 2)$, $(1, 2, 1)$,
$(2, 2, 3)$ và $(2, 2, 1)$.
Ta khai báo phương trình của mặt cong bởi
$\hspace{0cm}\texttt{
> P := a*x^2+b*y^2+c*z^2+d*x*y+e*x*z+f*y*z+g*x+h*y+i*z+j;
}$
Ứng với điểm thứ nhất, thế $(x,y,z)=(1,2,3)$ vào $P$ bởi lệnh
$\hspace{0cm}\texttt{
> subs({x = 0, y = 0, z = 1}, P);
}$
ta nhận được phương trình tuyến tính thứ nhất
$
c + i + j=0.
$
Tương tự cho các điểm còn lại ta nhận được hệ phương trình tuyến tính
$$
\begin{cases}
c + i + j &= 0\\
a + c + e + g + i + j &=0\\
b + h + j &=0\\
9 a + b + 3 d + 3 g + h + j &=0\\
4 a + 16 c + 8 e + 2 g + 4 i + j &=0\\
a + b + 4 c + d + 2 e + 2 f + g + h + 2 i + j &=0\\
a + 4 b + c + 2 d + e + 2 f + g + 2 h + i + j &=0\\
4 a + 4 b + 9 c + 4 d + 6 e + 6 f + 2 g + 2 h + 3 i + j&=0\\
4 a + 4 b + c + 4 d + 2 e + 2 f + 2 g + 2 h + i + j&=0.
\end{cases}
$$
Ma trận hệ số của hệ phương trình là
$$
A = \left[
\begin{array}{cccccccccc}
0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\
1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\
0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\
9& 1& 0& 3& 0& 0& 3& 1& 0& 1\\
4& 0&16& 0& 8& 0& 2& 0& 4& 1\\
1& 1& 4& 1& 2& 2& 1& 1& 2& 1\\
1& 4& 1& 2& 1& 2& 1& 2& 1& 1\\
4& 4& 9& 4& 6& 6& 2& 2& 3& 1\\
4& 4& 1& 4& 2& 2& 2& 2& 1& 1
\end{array}
\right].
$$
Ta giải hệ phương trình bằng lệnh sau:
$\hspace{0cm}\texttt{
>
with(LinearAlgebra):
}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A:=Matrix([[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[9, 1, 0, 3, 0, 0, 3, 1, 0, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[4, 0, 16, 0, 8, 0, 2, 0, 4, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[1, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[1, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[4, 4, 9, 4, 6, 6, 2, 2, 3, 1],
}$
$\hspace{1cm}\texttt{
[4, 4, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 1, 1]]):
}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> b:=<<0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0>>:
}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> LinearSolve(A, b, free = 'j');
}$
ta nhận được nghiệm của hệ phương trình là
$$
(\tfrac{-15}{16}j,\, \tfrac{-1}{16}j,\, \tfrac{7}{8}j,\, \tfrac{15}{16}j,\,
-\tfrac{15}{16}j,\, \tfrac{1}{8}j,\, \tfrac{15}{8}j,\, \tfrac{-15}{16}j,\,
\tfrac{-15}{8}j, j).
$$
Chọn $j=-16$ ta nhận được phương trình của mặt cong bậc hai
$$
15x^2+y^2-14z^2 -15xy +15xz -2yz -30x +15y +30z-16=0.
$$
Comments
Post a Comment