Ở những mục trước chúng ta quan tâm đến việc tìm $\mathbf{x}\in \mathbb{K}^n$
để thỏa mãn
$$
A\mathbf{x}=\mathbf{b}\quad
\mbox{với}\ A \in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K}),\ \mathbf{b}\in \mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{K}).
$$
Trong trường hợp $m=n=1$, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
trở thành $ax=b$ với $a,b\in \mathbb{K}$. Phương trình này có nghiệm $x$
thỏa mãn $x=a^{-1}b$ khi $a\ne 0$.
Một cách tự nhiên, liệu rằng tồn tại một ma trận nghịch đảo
$A^{-1}$ của $A$ sao cho $\textbf{x}=A^{-1}\textbf{b}$?
Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên.
9.1. Ma trận khả nghịch
Mọi phần tử khác không $a$ trong trường số $\mathbb{K}$
luôn có phần tử đảo $a^{-1}\in \mathbb{K}$ sao cho
$$
aa^{-1}=a^{-1}a=1.
$$
Tương tự như vậy, ta định nghĩa ma trận nghịch đảo của
một ma trận vuông như sau.
$\textbf{Định nghĩa 9.1.}\ $
Một ma trận vuông $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ được gọi là $\textbf{ma trận khả nghịch}$
nếu tồn tại ma trận vuông $A^{-1}\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ sao cho
$$
AA^{-1}=A^{-1}A=I_n
$$
ở đây $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n\times n$.
Trong trường hợp này, ma trận $A^{-1}$ được gọi là
$\textbf{ma trận nghịch đảo}$ của ma trận $A$.
$\textbf{Bổ đề 9.2.} \ $
Nếu $A$ là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của $A$ là duy nhất.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Giả sử $B, C$ là các ma trận nghịch đảo của ma trận $A$.
Khi đó ta có $AB=BA=I_n$ và $AC=CA =I_n$.
Từ tính chất kết hợp của phép nhân ma trận, ta nhận được
$$
B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C.
$$
$\textbf{Ví dụ 9.3.}\ $
Ma trận $A=\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}$
là ma trận khả nghịch vì nó có ma trận nghịch đảo là
$$
A^{-1}=\begin{bmatrix}
-2 & 1\\
3/2 & -1/2
\end{bmatrix}.
$$
Trong khi đó, ma trận
$B=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}$
không phải là ma trận khả nghịch, vì nếu tồn tại ma trận
$B^{-1}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$ sao cho $BB^{-1}=B^{-1}B=I_2$ thì ta thu được điều vô lý
$$
BB^{-1}=
\begin{bmatrix}
a & b\\
0 & 0
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Nhận xét 9.4.} \ $
- Ma trận đơn vị $I_n$ là ma trận khả nghịch, vì $I_n=I_n\cdot I_n=I_n^{-1}$.
- Ma trận không $O\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ là không khả nghịch, vì
$O\cdot A=A\cdot O=O\ne I_n$ với ma trận $A\in\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$ bất kỳ.
- Ứng dụng quan trọng của ma trận nghịch đảo là tìm nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính $A\mathbf{x}=\textbf{b}$ khi $A\in\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$
là ma trận khả nghịch.
Bằng cách nhân vế theo vế với $A^{-1}$ ta có
$$
\mathbf{x} = I_n\mathbf{x} = (A^{-1}A)\mathbf{x} =A^{-1}(A\mathbf{x})=A^{-1}\textbf{b}.
$$
Tiếp theo ta xem xét đặc trưng sự tồn tại và tính ma trận nghịch đảo của
một ma trận vuông $A\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$. Ta biết rằng $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$
chỉ có nghiệm tầm thường nếu và chỉ nếu $\mathrm{rk}(A)=n$,
và điều này cũng tương đương với $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
có duy nhất nghiệm.
$\textbf{Bổ đề 9.5.} \ $
Cho hai ma trận vuông $A,B\in\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$.
Nếu $\mathrm{rk}(A) < n$ hoặc $\mathrm{rk}(B)< n$ thì $\mathrm{rk}(AB) < n$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Giả sử $\mathrm{rk}(B) < n$. Khi đó $B\mathbf{x}=0$ có nghiệm không tầm thường
$\mathbf{x}_0 \in \mathbb{K}^n$, kéo theo
$(AB)\mathbf{x}_0=A(B\mathbf{x}_0)=A\cdot \textbf{0}=\textbf{0}.$
Vậy $\mathrm{rk}(AB) < n$.
Xét trường hợp $\mathrm{rk}(B)=n$ và $\mathrm{rk}(A) < n$.
Tồn tại $\mathbf{0}\ne \mathbf{y}_0\in \mathbb{K}^n$ sao cho $A\mathbf{y}_0=\mathbf{0}$.
Vì $\mathrm{rk}(B)=n$ và $\mathbf{y}_0\ne\mathbf{0}$, nên hệ phương trình
$B\mathbf{x}=\mathbf{y}_0$ có nghiệm không tầm thường $\mathbf{x}_0$.
Suy ra
$$
(AB)\mathbf{x}_0=A(B\mathbf{x}_0)=A\mathbf{y}_0=\mathbf{0}.
$$
Do đó, ta cũng có $\mathrm{rk}(AB) < n$.
Định lý dưới đây cho ta tiêu chuẩn về sự tồn tại ma trận nghịch đảo
của ma trận vuông $A$.
$\textbf{Định lý 9.6}\ $
Với $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$, các khẳng định sau là tương đương:
-
$A$ là ma trận khả nghịch.
- $\mathrm{rk}(A)=n$.
- Nếu $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ thì $\mathbf{x}=\mathbf{0}$.
- Ma trận bậc thang rút gọn tương đương $A$ là $I_n$.
$\textbf{Chứng minh.} \ $
Rõ ràng (b), (c) và (d) là tương đương, ta cần chứng minh rằng (a) và (b) là tương đương.
Giả sử $A$ là ma trận khả nghịch. Tồn tại ma trận $B\in\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$
sao cho $AB=I_n$. Vì $\mathrm{rk}(AB)=\mathrm{rk}(I_n)=n$ nên Bổ đề 9.5 suy ra
$\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(B)=n$.
Đảo lại, giả sử $\mathrm{rk}(A)=n$. Biểu diễn $I_n$ thành ma trận các cột
$I_n=\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n
\end{bmatrix}$.
Với mỗi $i=1,\dots, n$, hệ phương trình tuyến tính
$A\textbf{x}=\mathbf{e}_i$ luôn có nghiệm duy nhất $\mathbf{b}_i\in \mathbb{K}^n$.
Đặt $B:=\begin{bmatrix}
\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n
\end{bmatrix} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$.
Khi đó, ta có $AB=I_n$. Do $\mathrm{rk}(I_n)=n$, ta có $\mathrm{rk}(B)=n$
theo Bổ đề 9.5.
Như trên, tồn tại ma trận $C\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$
sao cho $BC=I_n$ và $\mathrm{rk}(C)=n$.
Ta có
$$
A=AI_n=A(BC)=(AB)C=I_nC=C.
$$
Vậy $A=C$ và $BA=BC=I_n$, kéo theo $B=A^{-1}$.
Bây giờ, cho $A\in\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$ là một ma trận khả nghịch.
Từ chứng minh Định lý 9.6, ta thấy rằng
cột thứ $i$ ($1\le i\le n$) của ma trận nghịch đảo $A^{-1}$
của $A$ chính là nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính
\begin{equation}\tag{9.1}
A\mathbf{x}=\mathbf{e}_i
\end{equation}
Để giải hệ phương trình này, ta biến đổi dòng sơ cấp ma trận mở rộng
$[A,\mathbf{e}_i]$ về dạng bậc thang thu gọn $[A',\mathbf{b}_i]$.
Vì $A$ là ma trận vuông có hạng $\mathrm{rk}(A)=n$, nên ta có $A'=I_n$
và $\mathbf{b}_i$ chính là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (9.1).
Với ý tưởng đó, ta có một thuật toán để kiểm tra sự tồn tại
và tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cho trước như sau
$\textbf{Thuật toán 9.7 } \ $
Cho $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$. Các bước dưới đây kiểm tra sự tồn tại và
tính ma trận nghịch đảo của $A$ (nếu tồn tại).
- Lập ma trận khối
$\big[\, A \, \mid\, I_n \big] =
\big[\, A \, \mid\, \mathbf{e}_1\ \, \mathbf{e}_2\ \, \cdots\ \, \mathbf{e}_n\, \big]$.
- Sử dụng phép biến đổi dòng sơ cấp
để đưa ma trận $[A \mid I_n]$ về dạng ma trận bậc thang thu gọn
$[A' \mid B]$ với $A',B\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$.
- Nếu $A'\ne I_n$ thì ma trận $A$ không khả nghịch.
Ngược lại, ma trận $B$ chính là ma trận nghịch đảo của ma trận $A$.
$\textbf{Ví dụ 9.8.}\ $
Xác định sự tồn tại và tìm ma trận nghịch đảo (nếu tồn tại)
của ma trận
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 4\\
1 & -1 & 10
\end{bmatrix}.
$$
Lập ma trận khối
$$
[A \mid I_3] =
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
2 & 5 & 4 & 0 & 1 & 0\\
1 & -1 & 10 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right].
$$
Biến đổi ma trận trên về dạng bậc thang rút gọn:
\begin{align*}
[A \mid I_3] &\xrightarrow[d_3-d_1]{d_2-2d_1}
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0\\
0 & -3& 7& -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\\
&\xrightarrow[ ]{d_3+3d_2}
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -7 & 3 & 1
\end{array}\right]\\
&\xrightarrow[d_1-3d_3]{d_2+2d_3}
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 0 & 22 & -9 & -3\\
0 & 1 & 0 & -16 & 7 & 2\\
0 & 0 & 1 & -7 & 3 & 1
\end{array}\right]\\
&\xrightarrow[]{d_1-2d_2}
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 54 & -23 & -7\\
0 & 1 & 0 & -16 & 7 & 2\\
0 & 0 & 1 & -7 & 3 & 1
\end{array}\right].
\end{align*}
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận $A$ là
$$
A^{-1}=\begin{bmatrix}
54 & -23 & -7\\
-16 & 7 & 2\\
-7 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
$$
$\textbf{Ví dụ 9.9.}\ $
Giải hệ phương trình tuyến tính
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 4\\
1 & -1 & 10
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\ x_2\\ x_3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
6090\\ 8144\\ 20220
\end{bmatrix}.
$$
Từ Ví dụ 9.8, ma trận hệ số
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 4\\
1 & -1 & 10
\end{bmatrix}
$$
là ma trận khả nghịch với ma trận nghịch đảo là
$$
A^{-1}=\begin{bmatrix}
54 & -23 & -7\\
-16 & 7 & 2\\
-7 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Thế nên nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là
$$
\begin{bmatrix}
x_1\\ x_2\\ x_3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
54 & -23 & -7\\
-16 & 7 & 2\\
-7 & 3 & 1
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
6090\\ 8144\\ 20220
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
8\\ 8\\ 2022
\end{bmatrix}.
$$
9.2. Một số tính chất cơ bản
Mệnh đề dưới đây liệt kê các tính chất của ma trận khả nghịch.
$\textbf{Mệnh đề 9.10.} \ $
Cho $A, B\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ là các ma trận khả nghịch. Khi đó
- $A^{-1}$ là khả nghịch và $(A^{-1})^{-1}=A.$
- $AB$ là ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
của ma trận $AB$ là $B^{-1}A^{-1}$.
- Với $\lambda\in \mathbb{K}\setminus\{0\}$ ma trận $\lambda A$
là ma trận khả nghịch và $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}.$
- Ma trận chuyển vị $A^T$ là ma trận khả nghịch
và $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.$
$\textbf{Chứng minh.} \ $
(a) Vì $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ nên $A$ là ma trận nghịch đảo của $A^{-1}$.
(b) Ta có
$$
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_nA^{-1}=AA^{-1}=I_n
$$
và
$$
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n.
$$
Thế nên $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
(c)
Rõ ràng
$$
(\lambda A)\cdot(\tfrac{1}{\lambda}A^{-1})=AA^{-1}=I_n
\quad \text{và} \quad
(\tfrac{1}{\lambda}A^{-1})\cdot (\lambda A) = A^{-1}A=I_n.
$$
Vậy $\frac{1}{\lambda}A^{-1}$ là ma trận nghịch đảo của $\lambda A.$
(d)
Theo Mệnh đề 8.12, ta có
$$
(A^{-1})^T A^T =(A(A^{-1}))^T =I_n^T = I_n
\quad \text{và} \quad
A^T (A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T =I_n^T =I_n.
$$
Do đó $A^T$ có ma trận nghịch đảo là $(A^{-1})^T.$
$\textbf{Ví dụ 9.11.}\ $
Cho $A, B$ là các ma trận cấp $2\times 2$
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{bmatrix} \ \text{và} \
B=\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Khi đó $A,B$ là các ma trận khả nghịch với
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-2 & 1\\
\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}
\end{bmatrix} \ \text{và} \
B^{-1} =\begin{bmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\
\frac{-1}{5} & \frac{3}{5}
\end{bmatrix}.
$$
Do đó ta có
-
$(\frac{1}{2}A)^{-1} = 2A^{-1} = \begin{bmatrix}
-4 & 2\\
3 & -1
\end{bmatrix}.$
-
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{5} & 0 \\
\frac{13}{10} & \frac{-1}{2}
\end{bmatrix}$ và $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{-3}{5} & \frac{-1}{5} \\
\frac{2}{5} & \frac{3}{10}
\end{bmatrix}.$
Lưu ý rằng $(AB)^{-1} \ne A^{-1}B^{-1}$.
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T = \begin{bmatrix}
-2 & \frac{3}{2} \\
1 & \frac{-1}{2}
\end{bmatrix}$.
$\textbf{Ví dụ 9.12.}\ $
Cho $A=\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}\in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{K})$ và đặt $\Delta = ad-bc$.
- Nếu $\Delta=0$ thì $A$ không có ma trận nghịch đảo.
- Nếu $\Delta\ne 0$ thì $A$ có ma trận nghịch đảo được tính bằng công thức
$$
A^{-1}=\frac{1}{\Delta}\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a\\
\end{bmatrix}.
$$
Thật vậy, giả sử $B=\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'\\
\end{bmatrix}\in\mathrm{Mat}_2(\mathbb{K})$ thỏa mãn $AB=BA=I_2$.
Khi đó
$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}
&= \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}
\cdot\left(
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix}
\right)\\
&= \begin{bmatrix} ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc \end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix}=
\Delta\cdot \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$
Nếu $\Delta=0$ thì sự tồn tại ma trận $B$ đưa tới mâu thuẫn rằng
$A$ là ma trận không và $AB=I_2$. Vậy ma trận $B$ như trên không tồn tại,
hay $A$ không có ma trận nghịch đảo.
Trường hợp $\Delta \ne 0$ ta nhận được sự tồn tại ma trận
$$
B=\begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix}
= \frac{1}{\Delta}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}
$$
với $AB=BA=I_2$, và như vậy $B=A^{-1}$ là ma trận nghịch đảo của $A$.
$\textbf{Nhận xét 9.13.} \ $
Ma trận $A$ có dạng
$$
A = \begin{bmatrix}
A_1&A_2\\ A_3&A_4
\end{bmatrix}
$$
với các ma trận con $A_1,A_2,A_3,A_4$ gọi là ma trận khối dạng $2\times 2$,
chẳng hạn
\begin{equation}\tag{9.2}
A = \begin{bmatrix}
1&1&1&2&2\\
1&1&1&2&0\\
3&3&0&4&4\\
3&0&3&0&4\\
0&3&3&4&0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
A_1&A_2\\ A_3&A_4
\end{bmatrix}
\end{equation}
với
$$
A_1 = \begin{bmatrix}
1&1&1\\ 1&1&1
\end{bmatrix},\quad
A_2 = \begin{bmatrix}
2&2\\ 2&0
\end{bmatrix},\quad
A_3= \begin{bmatrix}
3&3&0\\ 3&0&3\\ 0&3&3
\end{bmatrix},\quad
A_4 = \begin{bmatrix}
4&4\\ 0&4 \\ 4&0
\end{bmatrix}.
$$
Giả sử $B$ cũng là ma trận khối dạng $2\times 2$
$$
B = \begin{bmatrix}
B_1&B_2\\ B_3&B_4
\end{bmatrix}
$$
sao cho $AB$ có nghĩa và ma trận tích
$$
C=\begin{bmatrix}
A_1B_1 +A_2B_3 & A_1B_2+A_2B_4\\
A_3B_1+A_4B_3& A_3B_2+A_4B_4
\end{bmatrix}
$$
xác định. Khi đó ta có $AB=C$.
Chẳng hạn với $A$ cho bởi (9.2) và
$$
B = \begin{bmatrix}
1&1&2&2&2\\
1&1&2&2&0\\
1&1&2&0&2\\
3&0&4&0&4\\
0&3&4&4&0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
B_1&B_2\\ B_3&B_4
\end{bmatrix}
$$
với
$$
B_1 = \begin{bmatrix}
1&1\\ 1&1\\ 1&1
\end{bmatrix},\quad
B_2 = \begin{bmatrix}
2&2&2\\2&2&0\\ 2&0&2
\end{bmatrix},\quad
B_3= \begin{bmatrix}
3&0\\ 0&3
\end{bmatrix},\quad
B_4 = \begin{bmatrix}
4&0&4\\ 4&4&0
\end{bmatrix}.
$$
Khi đó
$$
AB =\begin{bmatrix}
A_1B_1 +A_2B_3 & A_1B_2+A_2B_4\\
A_3B_1+A_4B_3& A_3B_2+A_4B_4
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
9 & 9 & 22 & 12 & 12 \\
9 & 3 & 14 & 4 & 12 \\
18 & 18 & 44 & 28 & 22 \\
6 & 18 & 28 & 22 & 12 \\
18 & 6 & 28 & 6 & 22
\end{bmatrix}.
$$
Để ý rằng ma trận khối $A= \begin{bmatrix}
I_n &B\\ O&I_m
\end{bmatrix}$ là ma trận khả nghịch có ma trận nghịch đảo là
ma trận khối
$A^{-1} = \begin{bmatrix}
I_n &-B\\ O&I_m
\end{bmatrix}$.
Sử dụng Maple
Trong $\texttt{Maple}$ để kiểm tra một ma trận vuông
$A\in\mathrm{Mat}_n(K)$ là khả nghịch hay không ta tính hạng của $A$
bởi lệnh $\texttt{Rank(A)}$ và kiểm tra $\mathrm{rk}(A)=n$ hay không.
Khi biết $A$ là ma trận khả nghịch để tính ma trận nghịch
đảo của $A$ ta dùng lệnh $\texttt{MatrixInverse(A)}.$
Chẳng hạn, với ma trận $A$ trong Ví dụ 9.8 ta tính
ma trận nghịch đảo của $A$ như sau:
$\hspace{0cm}\texttt{
> with(LinearAlgebra);}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A := Matrix([[1, 2, 3], [2, 5, 4], [1, -1, 10]]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> MatrixInverse(A); }$
Xét ma trận khối $A=\begin{bmatrix} A_1&A_2\\ A_3&A_4 \end{bmatrix}$
cho bởi (9.2). Để trích xuất ma trận con $A_1$ từ ma trận
$A$ ta dùng lệnh $\texttt{SubMatrix(...)}:$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A := Matrix([[1, 1, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 0],
}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{
[3, 3, 0, 4, 4], [3, 0, 3, 0, 4], [0, 3, 3, 4, 0]]);
}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A1 := SubMatrix(A,[1,2],[1,2,3]); }$
trong đó chỉ số trong ngoặc vuông $\texttt{[1,2]}$ là chỉ số các dòng,
còn chỉ số trong $\texttt{[1,2,3]}$ là chỉ số các cột của $A$
ứng với ma trận con $A_1$.
Tương tự, ta trích xuất các ma trận con $A_2$, $A_3$ và $A_4$ với:
$\hspace{0cm}\texttt{
> A2 := SubMatrix(A, [1, 2], [4, 5]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A3 := SubMatrix(A, 3..5, 1..3); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A4 := SubMatrix(A, [3, 4, 5], [4, 5]); }$
Khi muốn lập lại ma trận khối $A$ từ các ma trận con $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$
thì ta cần dùng lệnh \texttt{blockmatrix(...)} trong gói lệnh phụ \texttt{linalg}:
$\hspace{0cm}\texttt{
> with(linalg):}$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A := blockmatrix(2, 2, [A1, A2, A3, A4]); }$
Hơn nữa ta kiểm tra kết quả việc nhân hai ma trận khối $A,B$ dạng $2\times 2$
trong Nhận xét 9.13 với dòng lệnh sau:
$\hspace{0cm}\texttt{
> B := Matrix([[1, 1, 2, 2, 2], [1, 1, 2, 2, 0],
}$
$\hspace{0.5cm}\texttt{
[1, 1, 2, 0, 2], [3, 0, 4, 0, 4], [0, 3, 4, 4, 0]]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> B1 := SubMatrix(B, [1, 2, 3], [1, 2]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> B2 := SubMatrix(B, [1, 2, 3], [3, 4, 5]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> B3 := SubMatrix(B, [4, 5], [1, 2]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> B4 := SubMatrix(B, [4, 5], [3, 4, 5]); }$
$\hspace{0cm}\texttt{
> A.B = blockmatrix(2,2,[A1.B1+A2.B3,A1.B2+A2.B4,
}$
$\hspace{4.5cm}\texttt{
A3.B1+A4.B3,A3.B2+A4.B4]);
}$
Comments
Post a Comment