Bài 4: GIỚI THIỆU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Trong thực tế, một vấn đề hiếm khi chỉ phụ thuộc vào chỉ một tham số đầu vào. Chẳng hạn như lợi nhuận của một công ty không chỉ phụ thuộc vào giá của nguyên vật liệu và còn phụ thuộc vào chi phí nhân công, chi phí vận chuyển và cả chi phí quản lý. Chính vì thế, lợi nhuận của một công ty phụ thuộc vào nhiều tham biến. Bằng ngôn ngữ của toán học, ta có thể nói rằng, lợi nhuận là một hàm nhiều biến. Trong đại số tuyến tính, chúng ta nghiên cứu dạng đơn giản nhất của hàm nhiều biến, đó là dạng tuyến tính trên một trường số $\mathbb{K}$ ($=\mathbb{Q}, \mathbb{R},$ hay $\mathbb{C})$. Phương trình $$ x_1+2x_2+3x_3=1 $$ là một ví dụ của phương trình tuyến tính với hệ số trên trường $\mathbb{K}$. Phương trình này có một nghiệm là $x_1=1, x_2=0,x_3=0$, tuy nhiên bộ nghiệm này không phải là bộ nghiệm duy nhất của phương trình.

4.1. Phương trình tuyến tính

$\textbf{Định nghĩa 4.1.}\ $ Một $\textbf{phương trình tuyến tính}$ $n$ biến trên trường số $\mathbb{K}$ là phương trình có dạng \begin{equation}\tag{4.1} a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n = b \end{equation} với các số $a_1,a_2,\dots,a_n,b \in \mathbb{K}$ cho trước. Các số $a_1,\dots,a_n$ được gọi là $\textbf{hệ số},$ $b$ được gọi là $\textbf{hệ số tự do},$ và $x_1,\dots,x_n$ được gọi là $\textbf{các biến}$ của phương trình (4.1).

$\textbf{Ví dụ 4.2.}\ $ Phương trình $x_1+3x_2-x_3=1$ là tuyến tính. Tuy nhiên các phương trình $x_1^2+3x_2-x_3=0$ và $x_1+\sin(x_2)+2x_3=0$ không phải là tuyến tính, do các hạng tử $x_1^2$ và $\sin(x_2)$ không tuyến tính.

$\textbf{Định nghĩa 4.3.}\ $ Một $\textbf{nghiệm}$ của phương trình (4.1) là một bộ các số $(s_1,s_2,\dots,s_n)\in \mathbb{K}^{n}$ sao cho khi thế $x_1=s_1, x_2=s_2,\dots,x_n=s_n$ thì phương trình (4.1) được thỏa mãn, nghĩa là $$ a_1s_1+a_2s_2+\cdots+a_ns_n = b. $$

$\textbf{Ví dụ 4.4.}\ $

1. Xét phương trình tuyến tính $x_1+x_2=2$ với hai biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó tập tất cả các nghiệm của phương trình được mô tả bởi $$ \mathcal{Z} = \set{ (t,2-t)\in \mathbb{R}^{2} \mid t \in \mathbb{R} }. $$ Trong mặt phẳng $\mathbb{R}^{2}$, tập $\mathcal{Z}$ được biểu diễn bởi một đường thẳng đi qua hai điểm $(0,2)$ và $(2,0)$.
2. Phương trình tuyến tính $x_1+3x_2-x_3=0$ với ba biến $x_1,x_2,x_3$ trên $\mathbb{R}$ có tập tất cả các nghiệm được mô tả bởi $$ \mathcal{Z} = \set{ (a,b,a+3b) \in \mathbb{R}^{3} \mid a,b \in \mathbb{R} }. $$ Đặc biệt, $\mathcal{Z}$ được biểu diễn hình học bởi một mặt phẳng trong không gian $\mathbb{R}^{3}$.

4.2. Hệ phương trình tuyến tính

Trong mục này, chúng ta quan tâm đến tập các nghiệm chung của một hệ gồm một hoặc nhiều phương trình tuyến tính trên trường số $\mathbb{K}$. Trước hết ta quan sát ứng dụng của hệ gồm hai phương trình tuyến tính đối với bài toán dân gian quen thuộc sau.

$\textbf{Ví dụ 4.5.}\ $ Xét bài toán dân gian:

Vừa gà vừa chó.

Bó lại cho tròn.

36 con, 100 chân chẵn.

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Để tìm lời giải bài toán, gọi $x_1$ là số chó và $x_2$ là số gà. Theo giả thiết $x_1, x_2$ phải thỏa mãn các phương trình tuyến tính $x_1+x_2=36$ và $4x_1+2x_2=100$. Như vậy việc tìm số gà và số chó trong bài toán trên chính là tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: $$ \begin{cases} x_1+x_2&=36\\ 4x_1+2x_2&=100. \end{cases} $$ Bằng việc thế $x_2=36-x_1$ vào phương trình thứ hai, ta tìm được nghiệm của bài toán là $x_1=14$ và $x_2=22.$ Vậy số chó là 14 và số gà là 22.

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa một hệ phương trình tuyến tính như sau.

$\textbf{Định nghĩa 4.6.}\ $ Cho $m,n$ là các số nguyên dương. $\textbf{Hệ phương trình tuyến tính cấp $m\times n$}$ trên trường $\mathbb{K}$ là một tập các phương trình có dạng \begin{equation}\tag{4.2} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2\\ \dots \qquad \dots \qquad \dots\qquad \dots &\dots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m \end{cases} \end{equation} trong đó $a_{ij}, b_i\in \mathbb{K}$ với mọi $i=1,\dots,m$ và $j=1,\dots,n$. Các số $a_{ij}\in \mathbb{K}$ được gọi là các $\textbf{hệ số},$ còn các số $b_1,\dots,b_m$ được gọi là các $\textbf{hệ số tự do},$ và $x_1,\dots,x_n$ được gọi là các $\textbf{biến}$ của hệ phương trình tuyến tính (4.2).

Để cho gọn, hệ phương trình (4.2) còn được viết dưới dạng \begin{equation}\tag{4.3} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = b_i,\quad i=1,\dots,m \end{equation}

$\textbf{Ví dụ 4.7.}\ $ Hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1+x_2 &=36\\ 4x_1+2x_2 &=100 \end{cases} $$ có các hệ số là $a_{11}=1, a_{12}=1, a_{21}=4, a_{22}=2$, và các hệ số tự do là $b_1=36$ và $b_2=100$. Hệ phương trình này có cấp $2\times 2$ với hai biến $x_1,x_2$.

$\textbf{Định nghĩa 4.8.}\ $ Một $\textbf{nghiệm}$ của hệ phương trình tuyến tính (4.2) là một bộ sắp thứ tự $(s_1, s_2,\dots, s_n)\in \mathbb{K}^n$ sao cho khi thay $x_j=s_j$ với $j=1,\dots,n$ vào các phương trình của hệ (4.2) ta nhận được các đồng nhất thức trên $\mathbb{K}$. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình (4.2) được gọi là $\textbf{tập nghiệm}$ của hệ phương trình (4.2).

$\textbf{Định nghĩa 4.9.}\ $ Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số biến trên một trường $\mathbb{K}$ được gọi là $\textbf{tương đương}$ nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.

$\textbf{Ví dụ 4.10.}\ $ Hệ phương trình tuyến tính cấp $2\times 3$ trên $\mathbb{R}$ với các hệ số $a_{11}=2$, $a_{12}=-3$, $a_{13}=-2$, $a_{21}=1$, $a_{22}=2$, $a_{23}=-3$, và với các hệ số tự do $b_1=7$ và $b_2=-4$ được cho bởi \begin{equation}\tag{4.4} \begin{cases} 2x_1-3x_2-2x_3 &=7 \\ x_1+2x_2-3x_3 &=-4. \end{cases} \end{equation} Thay $x_1=4$, $x_2=-1$ và $x_3=2$ vào hệ phương trình (4.4) ta có \begin{align*} 2\cdot(4) -3\cdot(-1)-2\cdot(2) &= 7\\ 1\cdot(4) + 2\cdot(-1)-3\cdot(2) &=-4, \end{align*} do đó $(4,-1,2)$ là một nghiệm của hệ phương trình trên. Để tìm tập nghiệm của hệ phương trình (4.4) ta có thể thực hiện như sau. Nhân phương trình thứ hai với 2 và trừ đi phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta nhận được hệ phương trình tương đương $$ \begin{cases} 7x_2-4x_3&=-15\\ x_1+2x_2-3x_3&=-4. \end{cases} $$ Tính $x_1$ và $x_2$ theo biến $x_3$, ta có $$ \begin{cases} x_1&=\frac{13}{7}x_3+\frac{2}{7}\\ x_2&=\frac{4}{7}x_3-\frac{15}{7}. \end{cases} $$ Vậy tập nghiệm của hệ phương trình (4.4) là $\mathcal{Z} = \{\, (\frac{13}{7}t+\frac{2}{7},\frac{4}{7}t-\frac{15}{7},t)\in \mathbb{R}^3 \mid t\in \mathbb{R} \,\}$.

Hình II.1. Giao tuyến của hai mặt phẳng

Trong không gian $\mathbb{R}^3$, mỗi phương trình tuyến tính của hệ (4.4) xác định một mặt phẳng, và giao tuyến của chúng mô tả tập nghiệm $\mathcal{Z}$ của hệ.

Việc giải hệ phương trình tuyến tính là quá trình tìm tập nghiệm của hệ. Một hệ phương trình tuyến tính có tập nghiệm khác rỗng được gọi là có nghiệm hay tương thích; ngược lại ta gọi hệ đó là vô nghiệm hay không tương thích. Chẳng hạn, hệ phương trình (4.4) ở trên là một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hay tương thích, trong khi hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3 &=0 \\ 2x_1+2x_2+2x_3 &=1 \end{cases} $$ là vô nghiệm hay không tương thích.

4.3. Biểu diễn hình học

Tương tự như Ví dụ 4.10, với một hệ phương trình tuyến tính cho trước, chúng ta có thể sử dụng hình học để biểu diễn tập nghiệm của nó. Trước tiên ta xét trường hợp hệ phương trình tuyến tính gồm hai biến $x_1,x_2$ trên trường $\mathbb{K}$. Cho phương trình tuyến tính $a_1x_1+a_2x_2=b$ với $a_1,a_2,b\in \mathbb{K}$ có tập nghiệm là $\mathcal{Z} =\{(s_1,s_2)\in \mathbb{K}^2 \mid a_1s_1+a_2s_2=b\}$. Nếu $a_1=a_2=0$, thì $\mathcal{Z}=\varnothing $ khi $b\ne 0$ và $\mathcal{Z}=\mathbb{K}^2$ khi $b=0$. Trường hợp này đưa ra kết quả tầm thường và vì vậy ta giả sử $a_1,a_2$ không đồng thời bằng 0. Khi đó đồ thị của $a_1x_1+a_2x_2=b$ là một đường thẳng trong mặt phẳng~$\mathbb{K}^2$. Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát \begin{equation}\tag{4.5} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \end{equation} trong đó các cặp $a_{11}, a_{12}$ và $a_{21}, a_{22}$ không đồng thời bằng 0. Ta thấy rằng, tập nghiệm của mỗi phương trình của hệ được biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phẳng. Do đó, một nghiệm của hệ phương trình (4.5) chính là một giao điểm của hai đường thẳng này. Ta có ba trường hợp sau:

  

1. Hai đường thẳng trùng nhau ($a_{11}a_{22}=a_{12}a_{21}$, $a_{11}b_2=a_{21}b_1$ và $a_{12}b_2=a_{22}b_1$), và hệ phương trình (4.5) có vô số nghiệm.  
2.  Hai đường thẳng song song ($a_{11}a_{22}=a_{12}a_{21}$ và $a_{11}b_2\ne a_{21}b_1$ hoặc $a_{12}b_2\not=a_{22}b_1$), và hệ phương trình (4.5) là vô nghiệm.
3.  Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm ($a_{11}a_{22}\not=a_{12}a_{21}$), và hệ phương trình (4.5) có duy nhất một nghiệm.  

$\textbf{Ví dụ 4.11.}\ $ Xét hai hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1-x_2=1\\ x_1-x_2=-1 \end{cases} \quad\text{và}\quad \begin{cases} x_1-x_2=1\\ x_1+x_2=1. \end{cases} $$ Đồ thị tương ứng của các cặp phương trình trong mỗi hệ trên được biễu diễn bởi Hình II.3.

Từ đồ thị biểu diễn ta suy ra được hệ phương trình tuyến tính thứ nhất không có nghiệm, còn hệ phương trình tuyến tính thứ hai có nghiệm duy nhất $(1,0)$.

Tiếp theo chúng ta xét trường hợp hệ phương trình tuyến tính có ba biến $x_1,x_2,x_3$. Ta biết rằng đồ thị của một phương trình tuyến tính ba biến $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b$, trong đó $a_1,a_2,a_3$ không đồng thời bằng 0, là một mặt phẳng trong không gian ba chiều $\mathbb{K}^3$. Tương tự như trên, ta xét hệ hai phương trình tuyến tính tổng quát sau: $$ \begin{equation}\tag{4.6} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \end{cases} \end{equation} $$ trong đó các bộ hệ số $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ và $a_{21}, a_{22}, a_{23}$ không đồng thời bằng không. Do tập nghiệm của mỗi phương trình tuyến tính ba biến được biểu diễn bởi một mặt phẳng nên nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên là tương giao của hai mặt phẳng:

1. Hai mặt phẳng song song với nhau. Khi đó, hệ phương trình (4.6) là vô nghiệm. 
2.  Hai mặt phẳng trùng nhau hoặc giao nhau bởi một giao tuyến. Trong trường hợp này, hệ phương trình (4.6) có vô số nghiệm.

Đối với hệ phương trình tuyến tính cấp $2\times3$, trường hợp duy nhất nghiệm không xảy ra.

$\textbf{Ví dụ 4.12.}\ $ Xét hai hệ phương trình tuyến cấp $2\times 3$ $$ \text{(a)}\quad \begin{cases} x_1+x_2-x_3 &=0\\ x_1+x_2-x_3 &=-20 \end{cases} \qquad\text{và}\qquad \text{(b)}\quad \begin{cases} x_1+x_2-x_3 &=0\\ x_1+7x_2-x_3 &=0. \end{cases} $$

Hình II.5. Trường hợp hai mặt phẳng song song hay cắt nhau

Khi đó, hệ (a) là vô nghiệm, còn hệ (b) có vô số nghiệm. Điều này được suy ra từ đồ thị của các phương trình trong hệ (a) và (b) trong không gian ba chiều lần lượt như Hình II.5.

Tương tự, xét hệ phương trình tuyến tính cấp $3\times 3$ dạng tổng quát \begin{equation}\tag{4.7} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 &=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 &=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 &=b_3 \end{cases} \end{equation} trong đó các bộ hệ số của mỗi phương trình trong hệ là không đồng thời bằng không. Từ quan hệ tương giao giữa ba mặt phẳng xác định bởi ba phương trình của hệ (4.7), các trường hợp nghiệm của hệ phương trình (4.7) được mô tả như sau:  

1. Tương giao của ba mặt phẳng là một mặt phẳng hay một đường thẳng. Khi đó, hệ phương trình (4.7) có vô số nghiệm. 
2. Tương giao của ba mặt phẳng là một điểm duy nhất. Trường hợp này, hệ phương trình (4.7) có duy nhất một nghiệm. 
3.  Tương giao của ba mặt phẳng là tập rỗng. Khi đó, hệ phương trình (4.7) là vô nghiệm. 

$\textbf{Ví dụ 4.13.}\ $ Xét các hệ phương trình tuyến tính cấp $3\times 3$ sau đây: \begin{align*} &\text{(a)}\quad \begin{cases} x_1+3x_2+2x_3 &=7\\ x_1+2x_2-3x_3 &=5\\ 7x_1+3x_2-2x_3 &=2 \end{cases} \qquad && \text{(b)}\quad \begin{cases} x_1+3x_2+2x_3 &=7\\ x_1+2x_2-3x_3 &=5\\ 2x_1+5x_2-x_3 &=12 \end{cases} \\ &\text{(c)}\quad \begin{cases} x_1+3x_2+2x_3 &=7\\ x_1+2x_2-3x_3 &=5\\ 2x_1+5x_2-x_3 &=-20 \end{cases} \qquad && \text{(d)}\quad \begin{cases} x_1+3x_2+2x_3 &=7\\ 2x_1+6x_2+4x_3 &=14\\ -x_1-3x_2-2x_3 &=-7. \end{cases} \end{align*}

Hình II.6. Tương giao của ba mặt phẳng

Tương giao của ba mặt phẳng xác định bởi các phương trình của hệ (a) là một điểm có tọa độ $(\frac{-69}{74}, \frac{203}{74},\frac{-11}{74})$. Tương giao của ba mặt phẳng xác định bởi các phương trình của hệ (b) là một đường thẳng tạo bởi giao tuyến của hai mặt phẳng định bởi $x_1+3x_2+2x_3=7$ và $x_1+2x_2-3x_3=5.$ Trong khi đó, tương giao của ba mặt phẳng xác định bởi các phương trình của hệ (c) là tập rỗng. Sau cùng, các phương trình của hệ (d) xác định cùng một mặt phẳng có phương trình $x_1+3x_2+2x_3=7.$ Tập nghiệm của các hệ trên lần lượt được minh họa bởi Hình II.5.

Sử dụng Maple

Để giải một hệ phương trình tuyến tính với $\texttt{Maple}$ ta dùng lệnh $\texttt{solve}$ (hay dùng một số lệnh trong gói lệnh $\texttt{Student[LinearAlgebra]}$ sẽ trình bày ở các mục sau). Chẳng hạn, để giải hệ phương trình tuyến tính trong Ví dụ 4.10, ta thực hiện:

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{> Hpttt := {x[1]+2*x[2]-3*x[3] = -4, 2*x[1]-3*x[2]-2*x[3] = 7}:}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle \texttt{> solve(Hpttt, {x[1], x[2]}) {x[1] = (13/7)*x[3]+2/7, x[2] = (4/7)*x[3]-15/7} }$

Vậy công thức nghiệm của hệ là $x_1=\frac{13}{7}x_3+\frac{2}{7}$, $x_2=\frac{4}{7}x_3-\frac{15}{7}$. Trong khi đó, Hình II.1 được vẽ với lệnh $\texttt{plot3d}$ trong gói $\texttt{plots}$ như sau:

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > with(plots):}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle \texttt{ > plot3d([(1/3)*x[1]+(2/3)*x[2]+4/3, x[1]-(3/2)*x[2]-7/2],}$

$\hspace{1cm}\scriptstyle \texttt{ x[1] = -10..10, x[2] = -10..10);}$

Trường hợp hệ phương trình tuyến tính cấp $2\times 2$ như Ví dụ 4.11 có tập nghiệm đươc vẽ với lệnh $\texttt{plot}$.

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > plot([x[1]-1, x[1]+1], x[1] = -5..5);}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > plot([x[1]-1, -x[1]+1], x[1] = -5..5)}$

Ta có thể lựa chọn màu của các đường thẳng hay mặt phẳng. Chẳng hạn, Hình II.5(a) được lựa chọn màu bởi các lệnh sau:

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > f1 := (-1/2)*(x[1]+3*x[2]-7):}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > g1 := 1/3*(x[1]+2*x[2]-5):}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > h1 := 1/2*(7*x[1]+3*x[2]-2):}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > plot3d({f1,g1,h1},x[1]=-10..10,x[2]=-10..10, }$

$\hspace{0.5cm}\scriptstyle\texttt{ color=["DarkTurquoise","Orange","Tomato"]); }$

Hơn nữa, ta có thể vẽ với lệnh $\texttt{implicitplot3d}$

$\hspace{0cm}\scriptstyle\texttt{ > implicitplot3d({f1=x[3],g1=x[3],h1=x[3]}, x[1]=-10..10,x[2]=-10..10,x[3]=-10..10);}$

để nhận được hình chi tiết hơn (xem Hình II.6).

Hình II.6. Ba mặt phẳng cắt nhau tại một điểm