Bài 5: MA TRẬN

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa một đối tượng mang tên ``$\textit{ma trận}$'' và hệ phương trình tuyến tính. Ma trận là một trong những công cụ hữu ích để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và cũng như cho ta cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Dưới đây, $\mathbb{K}$ là ký hiệu để chỉ một trường số ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ hay $\mathbb{C}$).

5.1. Định nghĩa về ma trận

$\textbf{Định nghĩa 5.1.}\ $ Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Một $\textbf{ma trận}$ cấp $m\times n$ là một bảng số hình chữ nhật gồm $mn$ số $a_{ij}\in \mathbb{K}$ ($i=1,\dots,m$; $j=1,\dots,n$) được xếp thành $m$ dòng và $n$ cột $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}. $$ Các số $a_{ij}$ nằm ở dòng thứ $i$ và cột thứ $j$ được gọi là các phần tử của ma trận. Người ta thường ký hiệu cho ma trận bởi các chữ in hoa $A$, $B$, $C$, v.v. Một ma trận $A$ cấp $m\times n$ thường được viết gọn dạng $A=(a_{ij})_{m\times n}$.

$\textbf{Ví dụ 5.2.}\ $ Bảng số $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$ là một ma trận cấp $2\times 3$ có 2 dòng và 3 cột. Nếu ta viết $A=(a_{ij})_{2\times 3}$ thì các phần tử của ma trận $A$ lần lượt là \begin{align*} &a_{11}=1,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=1, \\ &a_{21}=3,\quad a_{22}=0,\quad a_{23}=-1. \end{align*}

$\textbf{Nhận xét 5.3.} \ $ Trường hợp $m=1$, ma trận $A=(a_{ij})_{1\times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}&\dots &a_{1n} \end{bmatrix}$ được gọi là $\textbf{ma trận dòng}$. Nếu $n=1$ thì $$ A=(a_{ij})_{m\times 1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} $$ được gọi là $\textbf{ma trận cột}$. Với $1\le i\le m$ và $1\le j\le n$, $\textbf{dòng thứ $i$}$ của ma trận $A=(a_{ij})_{m\times n}$ là ma trận dòng $\begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2}&\dots &a_{in} \end{bmatrix}$ hay $\begin{bmatrix} a_{i1}, a_{i2},\dots,a_{in} \end{bmatrix}$, còn $\textbf{cột thứ j}$ của $A$ là ma trận cột $$ \begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}. $$ Khi $m=n=1$ thì ta có thể đồng nhất ma trận $A$ với phần tử duy nhất của nó trong $\mathbb{K}$.

$\textbf{Định nghĩa 5.4.}\ $ Hai ma trận $A=(a_{ij})_{m\times n}$ và $B=(b_{ij})_{m'\times n'}$ được gọi là $\textbf{bằng nhau}$, ký hiệu $A=B$, nếu $m=m'$, $n=n'$ và $a_{ij}=b_{ij}$ với mọi $i=1,\dots,m$ và $j=1,\dots,n$.

Tập tất cả các ma trận cấp $m\times n$ được ký hiệu bởi $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Chúng ta có một số dạng ma trận đặc biệt dưới đây. 

1.  Một ma trận cấp $m\times n$ được gọi là $\textbf{ma trận không}$, ký hiệu $O$, nếu mọi phần tử đều bằng 0. 
2.   Một ma trận $A=(a_{ij})_{m\times n}$ được gọi là $\textbf{ma trận vuông}$ (cấp $n$), nếu $m=n$, tức là $$ A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}. $$ Các phần tử $a_{11}, a_{22},\dots,a_{nn}$ (có cùng chỉ số dòng và cột) gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính, còn các phần tử $a_{1n}, a_{2\, n-1},\dots,a_{n1}$ gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Tập tất cả các ma trận vuông cấp $n$ còn được ký hiệu là $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$. 
3.  Ma trận vuông $A$ cấp $n$ được gọi là $\textbf{ma trận chéo}$ nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0, tức $A$ có dạng $$ A = \begin{bmatrix} a_{11}&0&\dots&0\\ 0&a_{22}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}. $$ 
4.  Một ma trận vuông cấp $n$ được gọi là $\textbf{ma trận đơn vị}$, ký hiệu $I_n$, nếu nó là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1, tức là $$ I_n = \begin{bmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&1 \end{bmatrix}. $$  
5.   Ma trận vuông $A=(a_{ij})_{n\times n}$ được gọi là ma trận tam giác trên (t.ư. dưới) nếu $a_{ij}=0$ với mọi $1\le j< i\le n$ (t.ư. với mọi $1\le i< j\le n$), tức là $$ A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&a_{nn} \end{bmatrix} \quad(\mbox{t.ư.}\quad A = \begin{bmatrix} a_{11}&0&\dots&0\\ a_{21}&a_{22}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}). $$ Một ma trận được gọi là $\textbf{ma trận tam giác}$ nếu nó là ma trận tam giác trên hoặc dưới.

$\textbf{Ví dụ 5.5.}\ $ Xét các ma trận sau \begin{align*} O &= \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix},\quad I_2 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix},\quad I_3 = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \\ A &=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix},\quad B =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&9 \end{bmatrix},\\ C &=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 0&5&6\\ 0&0&9 \end{bmatrix},\quad D =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 4&5&0\\ 7&8&9 \end{bmatrix}. \end{align*} Ma trận $O$ là ma trận không cấp $2\times 3$, $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2, còn $I_3$ là ma trận đơn vị cấp 3. Ngoại trừ ma trận không $O$, các ma trận còn lại đều là ma trận vuông, trong đó $B$ là ma trận chéo cấp 3, $C$ là ma trận tam giác trên, và $D$ là ma trận tam giác dưới.

5.2. Ma trận biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính

Nhằm minh họa cho việc sử dụng ma trận để biểu diễn hệ phương trình tuyến tính, ta xét hệ phương trình tuyến tính \begin{equation}\tag{5.1} \begin{cases} x_1+2x_2+x_3&=1\\ 3x_1-x_3&=2. \end{cases} \end{equation} Các hệ số và hệ số tự do của hệ phương trình (5.1) được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: $$ \overline{A} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & -1& 2 \end{array} \right]. $$ Khi đó, ta đã biểu diễn các thông tin cần thiết của hệ phương trình (5.1) một cách tự nhiên và ngắn ngọn qua ma trận $\overline{A}$. Trong trường hợp tổng quát, xét hệ phương trình tuyến tính cấp $m\times n$ trên trường $\mathbb{K}$ \begin{equation}\tag{5.2} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2\\ \dots \qquad \dots \qquad \dots\qquad \dots &\dots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m. \end{cases} \end{equation} Khi đó, các ma trận liên kết với hệ phương trình (5.2) là:

$\textbf{Định nghĩa 5.6.}\ $

1.  Ma trận $$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2}& \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$ được gọi là $\textbf{ma trận hệ số}$ của hệ phương trình (5.2).  
2.   Ma trận $$ \overline{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}& \dots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix} $$ được gọi là $\textbf{ma trận mở rộng}$ của hệ phương trình (5.2). 

Chú ý rằng ma trận mở rộng $\overline{A}$ còn được viết dạng $\overline{A}=\begin{bmatrix} A,\, \mathbf{b} \end{bmatrix}$, trong đó $A$ là ma trận hệ số của hệ phương trình và $\mathbf{b}=\begin{bmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{bmatrix}$.

$\textbf{Ví dụ 5.6.}\ $ Hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ 2x_1+x_2-x_3 &=1\\ -3x_1+x_2-2x_3&=-5 \end{cases} $$ có ma trận hệ số và ma trận mở rộng lần lượt là $$ A =\begin{bmatrix} 1&-2&1\\ 2&1&-1\\ -3&1&-2 \end{bmatrix}, \qquad \overline{A} = \begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 2&1&-1&1\\ -3&1&-2&-5 \end{bmatrix}. $$

5.3. Các phép biến đổi sơ cấp

Chúng ta biết rằng hai hệ phương trình tuyến tính cùng số biến là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Để giải hệ phương trình tuyến tính cho trước chúng ta thường biến đổi các phương trình của hệ để đưa về hệ tương đương gồm các phương trình dạng đơn giản hơn. Từ đó đưa ra nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính.

$\textbf{Định nghĩa 5.8.}\ $ Xét hệ phương trình tuyến tính cấp $m\times n$ cho bởi (5.2) và ký hiệu $P_i$ là phương trình thứ $i$ của hệ phương trình với $i=1,\dots,m$. Các phép biến đổi sau đây trên các phương trình của hệ được gọi là $\textbf{phép biến đổi sơ cấp}$:

1. Đổi chỗ hai phương trình thứ $i$ và thứ $j$ cho nhau, ký hiệu $P_i\leftrightarrow P_j$.
2. Nhân phương trình thứ $i$ với một hằng số $\lambda$ khác không thuộc $\mathbb{K}$, ký hiệu $\lambda P_i$. 
3.  Nhân phương trình thứ $j$ với hằng số $\lambda\in \mathbb{K}$ rồi cộng vào phương trình thứ $i$, ký hiệu $P_i + \lambda P_j$. 

$\textbf{Mệnh đề 5.9.} \ $ Một hệ phương trình nhận được từ hệ phương trình (5.2) qua các phép biến đổi sơ cấp là tương đương với hệ phương trình (5.2).

$\textbf{Chứng minh.} \ $ Gọi $\mathcal{Z}$ là tập nghiệm của hệ phương trình (5.2). Phép biến đổi sơ cấp loại (1) rõ ràng không thay đổi số phương trình, vậy nên hệ phương trình mới qua phép biến đổi loại (1) có tập nghiệm là $\mathcal{Z}$. Xét phép biến đổi sơ cấp loại (2) và gọi $\mathcal{Z}'$ là tập nghiệm hệ phương trình mới nhận từ (5.2) chỉ qua phép biến đổi $\lambda P_i$ với $\lambda\ne 0$. Gọi $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}$. Ta có $a_{i1}s_1+\cdots+a_{in}s_n =b_i$, và khi nhân với $\lambda$ ta nhận được $\lambda a_{i1}s_1+\cdots+ \lambda a_{in}s_n =\lambda b_i$. Điều này chỉ ra $(s_1,\dots,s_n)$ thỏa mãn phương trình $\lambda a_{i1}x_1+\cdots+\lambda a_{in}x_n =\lambda b_i$, do đó $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}'$. Suy ra $\mathcal{Z} \subseteq \mathcal{Z}'$. Đảo lại, nếu $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}'$ thì $\lambda a_{i1}x_1+\cdots+\lambda a_{in}x_n =\lambda b_i$. Vì $\lambda\ne 0$, nên chia phương trình cho $\lambda$ ta có $a_{i1}s_1+\cdots+a_{in}s_n =b_i$, do đó kéo theo $(s_1,\dots,s_n)\in \mathcal{Z}$. Vậy $\mathcal{Z} =\mathcal{Z}'$. Cuối cũng, ta xét phép biến đổi sơ cấp loại (3) và gọi $\mathcal{Z}'$ là tập nghiệm hệ phương trình mới nhận từ (5.2) chỉ qua phép biến đổi $P_i+\lambda P_j$ với $\lambda\in \mathbb{K}$. Với $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}$, ta có \begin{equation} \tag{5.3} \begin{aligned} a_{j1}s_1+\cdots+a_{jn}s_n &=b_j,\\ a_{i1}s_1+\cdots+a_{in}s_n &=b_i. \end{aligned} \end{equation} Nhân phương trình thứ nhất với $\lambda\in \mathbb{K}$ và tiếp đó cộng với phương trình thứ hai của (5.3) ta nhận được \begin{equation} \tag{5.4} \begin{aligned} a_{j1}s_1+\cdots+a_{jn}s_n &=b_j,\\ (a_{i1}+\lambda a_{j1})s_1+\cdots+(a_{in}+\lambda a_{jn})s_n &=b_i+\lambda b_j. \end{aligned} \end{equation} Điều này kéo theo $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}'$. Đảo lại, nếu $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}'$ thì $(s_1,\dots,s_n)$ thỏa mãn (5.4), do đó giữ nguyên phương trình thứ nhất và lấy phương trình thứ hai trừ đi tích của $\lambda$ và phương trình thứ nhất của (5.4) ta nhận được (5.3). Thế nên $(s_1,\dots,s_n)\in\mathcal{Z}$. Vì vậy ta đã chỉ ra rằng $\mathcal{Z} =\mathcal{Z}'$.

Ta minh họa việc sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để giải hệ phương trình tuyến tính qua ví dụ cụ thể sau.

$\textbf{Ví dụ 5.10.}\ $ Xét hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ 2x_1+x_2-x_3 &=1\\ -3x_1+x_2-2x_3&=-5 \end{cases} $$ như trong Ví dụ 5.7. Phép biến đổi sơ cấp $P_2+(-2)P_1$ đưa hệ phương trình trên về hệ phương trình tương đương $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ -3x_1+x_2-2x_3&=-5. \end{cases} $$ Tương tự, phép biến đổi sơ cấp $P_3 + 3P_1$ đưa tới hệ phương trình tương đương $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ \qquad -5x_2+x_3&=1. \end{cases} $$ Dùng phép biến đổi sơ cấp $P_3+P_2$ ta có hệ phương trình tương đương $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ \qquad\qquad\ -2x_3&=-2. \end{cases} $$ Cuối cùng, phép biến đổi sơ cấp $\frac{-1}{2}P_3$ đưa hệ phương trình về $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ \qquad\qquad\quad x_3&=1. \end{cases} $$ Từ đây, bằng cách thế ta nhận được tập nghiệm của hệ đã cho là $\mathcal{Z} =\{(1,0,1)\}$.

Để ý rằng các hệ số và hệ số tự do của một hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới dạng một ma trận mở rộng, và các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình tuyến tính được đưa về các phép biến đổi dòng trên ma trận như sau.

$\textbf{Định nghĩa 5.11.}\ $ Cho ma trận $A\in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ với dòng thứ $i$ được ký hiệu bởi $d_i$ ($i=1,\dots,m$). Xét các phép biến đổi được thực hiện trên dòng của $A$ như sau:

1. Đổi chỗ hai dòng thứ $i$ và thứ $j$ cho nhau, ký hiệu $d_i\leftrightarrow d_j$. 
2. Nhân một hằng số khác không $\lambda\in \mathbb{K}$ vào dòng thứ $i$, ký hiệu $\lambda d_i$. 
3. Nhân dòng thứ $j$ với hằng số $\lambda\in \mathbb{K}$ và cộng vào dòng thứ $i$, ký hiệu $d_i+\lambda d_j.$ Các phép biến đổi như trên được gọi là các $\textbf{phép biến đổi dòng sơ cấp}$ trên $A$.

Kết hợp các phép biến đổi dòng sơ cấp (2) và (3) ở trên ta có phép biến đổi dòng sơ cấp dạng $\lambda d_i+\mu d_j$ với $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ và $\lambda\ne 0$.

$\textbf{Định nghĩa 5.12.}\ $ Hai ma trận $A,B\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ được gọi là $\textbf{tương đương}$ nếu ma trận $B$ có thể nhận được từ ma trận $A$ bởi các phép biến đổi dòng sơ cấp.

$\textbf{Nhận xét 5.13.} \ $ Từ Mệnh đề 5.9, nếu $A$ là ma trận mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính cho trước và $B$ là ma trận tương đương của ma trận $A$ thì $B$ cũng là ma trận mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ đã cho. Do đó chúng ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính theo các bước sau:  

1. Viết ma trận mở rộng $\overline{A}$ của hệ phương trình tuyến tính. 
2.  Áp dụng các phép biến dổi dòng sơ cấp để biến đổi ma trận $\overline{A}$ thành ma trận tương đương $B$ đơn giản hơn. 
3.  Giải hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn bởi ma trận $B$. 

Dưới đây, ta sẽ vận dụng Nhận xét 5.13 để giải hệ phương trình trong Ví dụ 5.7.

$\textbf{Ví dụ 5.14.}\ $ Giải hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ 2x_1+x_2-x_3 &=1\\ -3x_1+x_2-2x_3&=-5 \end{cases} $$ bằng các phép biến đổi sơ cấp. Để thấy được liên hệ các phép biến đổi sơ cấp trên hệ và trên ma trận mở rộng, ta trình bày ở cột bên trái các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình và ở cột bên phải các phép biến đổi dòng sơ cấp trên ma trận mở rộng $\overline{A}$ của hệ.

$\textbf{Hệ phương trình:}$	$\textbf{Ma trận mở rộng} \overline{A}$:
\[\begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ 2x_1+x_2-x_3 &=1\\ -3x_1+x_2-2x_3&=-5 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 2&1&-1&1\\ -3&1&-2&-5 \end{bmatrix}\]
$P_2+(-2)P_1$:	$d_2+(-2)d_1$:
\[\begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ -3x_1+x_2-2x_3&=-5 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ -3&1&-2&-5 \end{bmatrix}\]
$P_3+3P_1$:	$d_3+3d_1$:
\[\begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ \qquad -5x_2+x_3&=1 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ 0&-5&1&1 \end{bmatrix}\]
$P_3+P_2$:	$d_3+d_2$:
\[\begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ \qquad\qquad\ -2x_3&=-2 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ 0&0&-2&-2 \end{bmatrix}\]
$\frac{-1}{2}P_3$:	$\frac{-1}{2}d_3$:
\[\begin{cases} x_1-2x_2+x_3 &=2\\ \qquad\ 5x_2-3x_3 &=-3\\ \qquad\qquad\quad x_3&=1 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix}\]
$P_2+3P_3,\, P_1+(-1)P_3$:	$d_2+3d_3,\, d_1+(-1)d_3$:
\[\begin{cases} x_1-2x_2\quad &=1\\ \qquad\ 5x_2\quad &=0\\ \qquad\qquad\quad x_3&=1 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&-2&0&1\\ 0&5&0&0\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix}\]
$P_1+\frac{2}{5}P_2,\, \frac{1}{5}P_2$:	$d_1+\frac{2}{5}d_2,\, \frac{1}{5}d_2$:
\[\begin{cases} x_1\qquad\quad &=1\\ \qquad\ x_2\quad &=0\\ \qquad\qquad\quad x_3&=1 \end{cases}\]	\[\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix}.\]

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là $(x_1,x_2,x_3)=(1,0,1)$. Trong trường hợp này các phép biến đổi dòng sơ cấp trên ma trận mở rộng có thể viết gọi lại như sau: \begin{align*} \overline{A} &\xrightarrow{d_2+(-2)d_1} \begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ -3&1&-2&-5 \end{bmatrix} \xrightarrow{d_3+3d_1} \begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ 0&-5&1&1 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{d_3+d_2} \begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ 0&0&-2&-2 \end{bmatrix} \xrightarrow{\quad \frac{-1}{2}d_3\ \;\, } \begin{bmatrix} 1&-2&1&2\\ 0&5&-3&-3\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{\begin{subarray}\ d_2+3d_3\\ d_1+(-1)d_3 \end{subarray}} \!\begin{bmatrix} 1&-2&0&1\\ 0&5&0&0\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\ \ \begin{subarray}\ d_1+\frac{2}{5}d_2\\ \frac{1}{5}d_2 \end{subarray} \ } \begin{bmatrix} 1&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix}. \end{align*}

Sử dụng Maple

Trong $\texttt{Maple}$ để định nghĩa ma trận và xem xét các phần tử cũng như các dòng hay cột của ma trận ta có thể thực hiện như sau. Với $m,n$ cho trước, ma trận không cấp $m\times n$ được định nghĩa bởi lệnh $\texttt{Matrix(m,n)}$ và ma trận đơn vị cấp $n$ được định nghĩa bởi lệnh $\texttt{IdentityMatrix(n)}$ hoặc $\texttt{Matrix(n,shape=identity)}$. Lệnh $\texttt{Matrix}$ cho phép chúng ta định nghĩa ma trận $A=(a_{ij})\in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ cho trước trong $\texttt{Maple}$. Ví dụ, ma trận $$ A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix} $$ được định nghĩa (theo dòng) bởi

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]); }$

hoặc (theo cột) bởi

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := <<1, 4, 7>, <2, 5, 8>, <3, 6, 9>>; }$

Để gọi ra phần tử $a_{ij}$ trong ma trận $A$, thì ta có thể dùng lệnh $\texttt{A[i,j]}$, chẳng hạn với ví dụ trên lệnh $\texttt{A[2,3]}$ sẽ cho kết quả là $\texttt{6}$. Trong khi, để gọi ra dòng thứ $i$ hay cột thứ $i$ của $A$ thì ta lần lượt dùng lệnh $\texttt{A[i,1..n]}$ và $\texttt{A[1..m,j]}$, chẳng hạn với ví dụ trên lệnh $\texttt{A[2,1..3]}$ cho kết quả là $\texttt{[4,5,6]}$. Đặc biệt, với gói lệnh $\texttt{LinearAlgebra}$ ta có thể gọi ra dòng thứ $i$ hay cột thứ $j$ của ma trận $A$ đơn giản bằng lệnh $\texttt{Row(A,i)}$ hay $\texttt{Column(A,j)}$. Hơn nữa, ma trận $A$ có tất cả phần tử bằng nhau và bằng số $k$ thì ta có thể định nghĩa nó với lệnh $\texttt{Matrix(m, n, fill = k)}$, chẳng hạn ma trận $$ A = \begin{bmatrix} 5&5&5&5\\ 5&5&5&5\\ 5&5&5&5 \end{bmatrix} $$ được định nghĩa bởi lệnh

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := Matrix(3,4, fill=5); }$

Về các phép biến đổi dòng sơ cấp trong $\texttt{Maple}$ sẽ được trình bày trong mục tiếp theo.