Bài 6: PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN

Như ở mục trước, ta thấy rằng để giải hệ phương trình tuyến tính, ta viết ra ma trận mở rộng của hệ và sử dụng các phép biến đổi dòng sơ cấp để đưa ma trận mở rộng về ma trận tương đương có ``dạng đơn giản'' hơn. Từ đó ta suy ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Vậy dạng đơn giản của ma trận ở đây nên được hiểu như thế nào? Câu trả lời là ma trận có dạng bậc thang rút gọn sẽ được trình bày dưới đây.

6.1. Ma trận bậc thang

Cho $m,n$ là các số nguyên dương, $\mathbb{K}$ là một trường, và ma trận $A\in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Một dòng của $A$ được gọi là $\textbf{dòng không}$, nếu nó chỉ chứa phần tử 0. Nếu một dòng của $A$ chứa ít nhất một phần tử khác 0 thì dòng đó được gọi là $\textbf{dòng khác không}$. Phần tử khác không đầu tiên của một dòng, được gọi là phần tử $\textbf{chuẩn}$ của dòng đó.

$\textbf{Định nghĩa 6.1.}\ $ Ma trận $A$ được gọi là có $\textbf{dạng bậc thang dòng}$ hay ma trận bậc thang nếu:

1. Hoặc $A$ không có dòng không hoặc các dòng không của $A$ luôn nằm dưới các dòng khác không.
2. Nếu $A$ có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử chuẩn của dòng dưới luôn nằm ở bên phải của cột chứa phần tử chuẩn của dòng trên.

$\textbf{Ví dụ 6.2.}\ $ Xét các ma trận sau \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, & & B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}, \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,& & D = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix},\\ E &= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0& 0 &0 \end{bmatrix}, & & F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 &3 \end{bmatrix},\\ G &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ,& & H = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2\\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{align*} Khi đó các ma trận $A, B, E, F, H$ là ma trận bậc thang, trong khi các ma trận $C, D, G$ không phải là ma trận bậc thang. Cụ thể, ma trận $C$ có dòng không nằm trên dòng khác không, còn các ma trận $D,G$ chứa dòng có phần tử chuẩn không nằm ở bên phải của cột chứa phần tử chuẩn của dòng trên dòng đó. Hơn nữa, hai ma trận cấp $5\times 6$ dưới đây cũng là ma trận bậc thang $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. $$

Ví dụ tiếp sau đây chỉ ra rằng ta có thể dùng phép biến đổi dòng sơ cấp để đưa một ma trận về một ma trận tương đương có dạng bậc thang.

$\textbf{Ví dụ 6.3.}\ $ Xét ma trận $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -2\\ 3 & 5 & -5 & 1\\ 2 & 3 & -6 & 3\\ \end{bmatrix}. $$ Qua các phép biến đổi dòng sơ cấp, ta có \begin{align*} A &\xrightarrow{d_2-3d_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 7\\ 2 & 3 & -6 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{d_3-2d_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 7\\ 0 & -1 & -8 & 7 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{d_3-d_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{align*} Gọi $B$ là ma trận bậc thang cuối ở trên. Khi đó $B$ là ma trận tương đương với ma trận $A$. Tuy nhiên, nếu ta áp dụng lần lượt các phép biến đổi dòng $d_1+2d_2$ và $(-1)d_2$ đối với ma trận $B$ thì ta nhận được ma trận bậc thang tương đương $$ C= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -15 & 12\\ 0 & 1 & 8 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. $$ Điều này cho thấy phép biến đổi dòng sơ cấp không cho chúng ta kết quả duy nhất của ma trận bậc thang tương đương.

Để xem xét tính duy nhất của ma trận bậc thang, ta đi tới khái niệm sau.

$\textbf{Định nghĩa 6.4.}\ $ Một ma trận bậc thang $A$ được gọi là $\textbf{ma trận bậc thang rút gọn}$ nếu phần tử chuẩn trong mỗi dòng khác không đều bằng 1 và là phần tử khác không duy nhất trong cột chứa nó.

$\textbf{Ví dụ 6.5.}\ $ Ma trận $$ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -15 & 12\\ 0 & 1 & 8 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} $$ là một ma trận bậc thang rút gọn, tuy nhiên ma trận bậc thang $$ D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -15 & 12\\ 0 & -1 & -8 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} $$ không rút gọn, do phần tử chuẩn ở dòng thứ hai khác 1.

$\textbf{Định lý 6.6} $ Với ma trận $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ cho trước, tồn tại duy nhất một ma trận bậc thang rút gọn $B\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ sao cho $B$ tương đương với $A$.

Nếu $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ là ma trận không, thì $A$ đã là ma trận bậc thang rút gọn và định lý đúng trong trường hợp này. Tiếp sau, ta giả sử $A$ khác ma trận không. Sự tồn tại của ma trận bậc thang rút gọn $B$ trong định lý được chỉ ra thông qua thuật toán cụ thể sau.

$\textbf{Thuật toán 6.7 (Biến đổi ma trận về dạng bậc thang rút gọn)}.$ Các bước dưới đây biến đổi ma trận khác không $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ về dạng bậc thang rút gọn.

1. Đổi chỗ dòng đầu tiên với các dòng khác sao cho cột khác không thứ nhất (từ trái qua phải) có phần tử khác 0 năm trên dòng đầu tiên. 
2.  Nếu $a$ là phần tử chuẩn của dòng thứ nhất, nhân dòng này với $\frac{1}{a}$ (để có phần tử chuẩn của dòng là 1). 
3.  Cộng một tích của dòng thứ nhất với số phù hợp vào mỗi dòng còn lại để phần tử nằm phía dưới cùng cột với phần tử chuẩn 1 của dòng thứ nhất đều bằng $0$. 
4.  Bỏ qua dòng thứ nhất và lặp lại các bước (1)-(3) đối với ma trận con còn lại. Dừng quá trình này khi ma trận kết quả là có dạng bậc thang. 
5.  Từ ma trận bậc thang thu được ở bước (4), ta biến đổi ma trận về dạng rút gọn từ dưới lên: cộng một tích của dòng khác không thứ $i$ với số thích hợp vào dòng phía trên nó, sao cho tất cả phần tử phía trên cùng cột với phần tử chuẩn của dòng thứ $i$ đều bằng 0. 

Tiếp theo ta chỉ ra tính duy nhất của ma trận bậc thang rút gọn $B$ trong Định lý 6.6. Giả sử rằng tồn tại thêm ma trận bậc thang rút gọn $B'$ tương đương với $A$ sao cho $B\ne B'$. Chọn cột đầu tiên từ bên trái tại đó $B,B'$ khác nhau, và chọn các cột chứa phần tử chuẩn nằm bên trái của cột này để nhận được hai ma trận mới $C,C'$ tương ứng. Chẳng hạn, nếu $$ B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \mbox{và}\quad B'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ thì $$ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \mbox{và}\quad C' = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. $$ Trường hợp tổng quát, $C,C'$ có dạng $$ C = \left[ \begin{array}{c|c} I_r & \mathbf{c}\\ \hline O & \mathbf{0} \end{array}\right] \quad \mbox{hoặc}\quad \left[ \begin{array}{c|c} I_r & \mathbf{0}\\ \hline & 1\\ O & 0\\ &\vdots \end{array} \right], \quad \mbox{và}\quad C' = \left[ \begin{array}{c|c} I_r & \mathbf{c}'\\ \hline O & \mathbf{0} \end{array}\right] \quad \mbox{hoặc}\quad \left[ \begin{array}{c|c} I_r & \mathbf{0}\\ \hline & 1\\ O & 0\\ &\vdots \end{array} \right]. $$ Vì việc xóa các cột không tác động tới phép biến đổi dòng sơ cấp, nên $C$ và $C'$ là hai ma trận tương đương, nhưng $C\ne C'$. Xét các hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng lần lượt là $C,C'$. Khi đó hệ phương trình ứng với $C$ có nghiệm duy nhất là $\mathbf{c}$ hoặc vô nghiệm, còn hệ phương trình ứng với $C'$ có nghiệm duy nhất là $\mathbf{c}'$ hoặc vô nghiệm. Vì hai hệ phương trình này là tương đương nên $\mathbf{c}=\mathbf{c}'$ hoặc cả hai hệ phương trình đều vô nghiệm, kéo theo $C=C',$ và điều này là mâu thuẫn.

$\textbf{Ví dụ 6.8.}\ $ Hãy biến đổi ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn $$ A = \begin{bmatrix} 0&0&1&2&9\\ 0&3&4&5&9\\ 0&6&7&8&9\\ 0&9&9&9&9 \end{bmatrix}. $$ Áp dụng Thuật toán 6.7, ta có các biết đổi như sau:  

• (1) Cột đầu tiên từ trái sang phải khác không là cột thứ hai. Dòng thứ hai có phần tử khác 0 ở cột thứ hai. Nên ta đổi chỗ dòng này với dòng thứ nhất: $$ A \xrightarrow{d_1\leftrightarrow d_2} \begin{bmatrix} 0&3&4&5&9\\ 0&0&1&2&9\\ 0&6&7&8&9\\ 0&9&9&9&9 \end{bmatrix}. $$ 
• (2) Nhân dòng thứ nhất với $\frac{1}{3}$ để có phần tử chuẩn của dòng là 1: $$ \begin{bmatrix} 0&3&4&5&9\\ 0&0&1&2&9\\ 0&6&7&8&9\\ 0&9&9&9&9 \end{bmatrix} \xrightarrow{\frac{1}{3}d_1} \begin{bmatrix} 0&1&\frac{4}{3} &\frac{5}{3}&3\\ 0&0&1&2&9\\ 0&6&7&8&9\\ 0&9&9&9&9 \end{bmatrix}. $$ 
• (3) Đưa các phần tử phía dưới cùng cột với phần tử chuẩn dòng thứ nhất về 0 bằng thực hiện phép biến đổi $d_3-6d_1$ và $d_4-9d_1$: $$ \begin{bmatrix} 0&1&\frac{4}{3} &\frac{5}{3}&3\\ 0&0&1&2&9\\ 0&6&7&8&9\\ 0&9&9&9&9 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_3-6d_1\\ d_4-9d_1 \end{subarray}} \begin{bmatrix} 0&1&\frac{4}{3} &\frac{5}{3}&3\\ 0&0&1&2&9\\ 0&0&-1&-2&-9\\ 0&0&-3&-6&-18 \end{bmatrix}. $$ 
• (4) Bỏ qua dòng thứ nhất và lặp lại các bước (1)-(3) đối với ma trận con còn lại: $$ \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ 0&0&1&2&9\\ 0&0&-1&-2&-9\\ 0&0&-3&-6&-18 \end{bmatrix}. $$ 
• (3) Đưa các phần tử phía dưới cùng cột với phần tử chuẩn dòng thứ hai về 0 bằng thực hiện phép biến đổi $d_3+d_2$ và $d_4+3d_2$: $$ \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ 0&0&1&2&9\\ 0&0&-1&-2&-9\\ 0&0&-3&-6&-18 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_3+d_2\\ d_4+3d_2 \end{subarray}} \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ 0&0&1&2&9\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&9 \end{bmatrix}. $$ 
• (4) Bỏ qua dòng thứ hai và lặp lại các bước (1)-(3) đối với ma trận con còn lại. $$ \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ {0}& {0}& {1}& {2}& {9}\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&9 \end{bmatrix}. $$ 
• (1) Cột đầu tiên từ trái sang phải khác không của ma trận con là cột thứ năm. Dòng thứ hai của nó có phần tử khác 0 ở cột thứ năm. Nên ta đổi chỗ dòng này với dòng thứ nhất của ma trận con: $$ \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ {0}& {0}& {1}& {2}& {9}\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&9 \end{bmatrix} \xrightarrow{d_3\leftrightarrow d_4 } \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ {0}& {0}& {1}& {2}& {9}\\ 0&0&0&0&9\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}. $$ 
• (2) Nhân dòng thứ nhất của ma trận con với $\frac{1}{9}$ để có phần tử chuẩn của dòng là 1: $$ \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ {0}& {0}& {1}& {2}& {9}\\ 0&0&0&0&9\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\frac{1}{9}d_3} \begin{bmatrix} {0}& {1}& {\frac{4}{3}} & {\frac{5}{3}}& {3}\\ {0}& {0}& {1}& {2}& {9}\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}. $$ Ma trận thu được có dạng bậc thang và các phần tử chuẩn của các dòng khác không đều bằng 1, nên ta dừng vòng lặp bước (4) tại đây. 
•  (5) Từ ma trận bậc thang thu được ở trên, ta biến đổi ma trận về dạng rút gọn từ dưới lên như sau: $$ \begin{bmatrix} 0&1&\frac{4}{3} &\frac{5}{3}&3\\ 0&0&1&2&9\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_2-9d_3\\ d_1-3d_3 \end{subarray}} \begin{bmatrix} 0&1&\frac{4}{3} &\frac{5}{3}&0\\ 0&0&1&2&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} $$ $$ \xrightarrow{ d_1-\frac{4}{3}d_2 } \begin{bmatrix} 0&1&0 &-1&0\\ 0&0&1&2&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} =: B. $$  Ma trận $B$ là ma trận bậc thang rút gọn duy nhất tương đương với ma trận $A$.

6.2. Phương pháp khử Gauss-Jordan

Xét hệ phương trình tuyến tính cấp $m\times n$ trên trường $\mathbb{K}$ \begin{equation}\tag{6.1} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2\\ \dots \qquad \dots \qquad \dots\qquad \dots &\dots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m. \end{cases} \end{equation} Như một hệ quả từ Định lý 6.6 và Thuật toán 6.7, ta nhận được phương pháp sau để giải hệ phương trình (6.1).

$\textbf{Thuật toán 6.9 (Phương pháp khử Gauss-Jordan)}.$ Hệ phương trình tuyến tính (6.1) có thể được giải qua các bước sau:

1. Viết ra ma trận mở rộng $\overline{A}=[ A,\, \mathbf{b}]$ của hệ phương trình. 
2. Sử dụng các phép biến đổi dòng sơ cấp để đưa ma trận mở rộng $\overline{A}$ về ma trận bậc thang rút gọn $\overline{B} = [B,\, \mathbf{c}]$. 
3. Xét hệ phương trình tuyến tính tương đương có ma trận mở rộng là ma trận bậc thang rút gọn $\overline{B}$. 
4. Viết ra tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 

$\textbf{Ví dụ 6.10.}\ $ Giải hệ phương trình tuyến tính sau $$ \begin{cases} x_1+x_2+2x_3-x_4 &= 2\\ 2x_1-2x_2-4x_3-2x_4 &= 0\\ 2x_1-x_2-2x_3-x_4 &= 2\\ 3x_1+2x_2+4x_3-6x_4 &= 2. \end{cases} $$ Đầu tiên ta viết ra ma trận mở rộng ứng với hệ phương trình $$ \overline{A} = \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&2\\ 2&-2&-4&-2&0\\ 2&-1&-2&-1&2\\ 3&2&4&-6& 2 \end{bmatrix}. $$ Tiếp theo ta biến đổi ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn \begin{align*} \overline{A} &\xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_2-2d_1\\ d_3-2d_1\\ d_4-3d_1 \end{subarray}} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&2\\ 0&-4&-8&0&-4\\ 0&-3&-6&1&-2\\ 0&-1&-2&-3& -4 \end{bmatrix} \xrightarrow{\frac{-1}{4}d_2} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&2\\ 0&1&2&0&1\\ 0&-3&-6&1&-2\\ 0&-1&-2&-3& -4 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_3+3d_2\\ d_4+d_2\end{subarray}} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&2\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&-3& -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{d_4+3d_3} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&2\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0& 0 \end{bmatrix}\\ & \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_1+d_3\\ d_1-d_2\end{subarray}} \begin{bmatrix} 1&0&0&0&2\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0& 0 \end{bmatrix}. \end{align*} Ma trận bậc thang rút gọn ở trên tương đương với ma trận $\overline{A}$ và hệ phương trình tương ứng của nó là $$ \begin{cases} x_1 &= 2\\ x_2+2x_3 &= 1\\ x_4 &= 1. \end{cases} $$ Giải hệ phương trình mới tương đương này ta thu được $$ \begin{cases} x_1 &= 2\\ x_2&= 1-2x_3\\ x_4 &= 1 \end{cases} $$ trong đó $x_3$ được xem như là biến tự do và có thể nhận giá trị bất kỳ trong trường $\mathbb{K}$, còn $x_2$ là biến phụ thuộc, trong khi $x_1$ và $x_4$ nhận giá trị cụ thể. Tập nghiệm của hệ phương trình trên có thể viết dạng $\mathcal{Z} =\{\,(2,1-2t,t,1)\in \mathbb{K}^4 \mid t\in \mathbb{K} \,\}.$

$\textbf{Nhận xét 6.11.} \ $ Nếu ma trận mở rộng $\overline{A}$ của hệ phương trình (6.1) có ma trận bậc thang rút gọn $\overline{B}=[B,\, \mathbf{c}]$ chứa dòng khác không cuối cùng dạng $\begin{bmatrix} 0 \ 0 \ \dots \ 0 \ 1 \end{bmatrix} $ thì hệ phương trình này vô nghiệm, do phương trình $$ 0\cdot x_1+0\cdot x_2+\cdots+0\cdot x_n=1 $$ vô nghiệm.

$\textbf{Ví dụ 6.12.}\ $ Xét hệ phương trình tuyến tính $$ \begin{cases} x_1+x_2+2x_3-x_4 &= 0\\ x_1-3x_2-6x_3-x_4 &= 4\\ 2x_1-2x_2-4x_3-2x_4 &= 5\\ 3x_1-x_2-2x_3-3x_4 &= 5. \end{cases} $$ Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình và biến đổi nó về dạng bậc thang rút gọn như sau: \begin{align*} \overline{A} &= \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&0\\ 1 &-3&-6&-1&4\\ 2&-2&-4&-2&5\\ 3&-1&-2&-3&5 \end{bmatrix} \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_2-d_1\\ d_3-2d_1\\ d_4-3d_1 \end{subarray}} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&0\\ 0&-4&-8&0&4\\ 0&-4&-8&0&5\\ 0&-4&-8&0&5 \end{bmatrix}\\ & \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_4-d_3\\ d_3-d_2 \end{subarray}} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&0\\ 0&-4&-8&0&4\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\frac{-1}{4}d_2} \begin{bmatrix} 1&1&2&-1&0\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}\\ & \xrightarrow{\begin{subarray}{c} \, d_2-d_3\\ d_1-d_2\end{subarray}} \begin{bmatrix} 1&0&0&-1&0\\ 0&1&2&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0& 0 \end{bmatrix}. \end{align*} Ma trận bậc thang rút gọn tương đương với $\overline{A}$ có dòng khác không cuối cùng dạng $\begin{bmatrix}0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$, thế nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

$\textbf{Nhận xét 6.13.} \ $ Trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss-Jordan, ta có mấy điểm cần lưu ý về việc biến đổi dòng sơ cấp đối với ma trận mở rộng của hệ phương trình như sau: 

1. Nếu thấy xuất hiện một dòng không thì có thể xóa đi dòng không đó. 
2. Nếu thấy hai dòng bằng nhau hay tỷ lệ với nhau thì có thể bỏ đi một dòng. 
3. Nếu thấy xuất hiện một dòng có dạng $\begin{bmatrix} 0&0&\dots&0&a \end{bmatrix}$ với $a\ne 0$ thì kết luận ngay rằng hệ phương trình vô nghiệm. 

Sử dụng Maple

Gói lệnh $\texttt{Student[LinearAlgebra]}$ cho phép chúng ta thực hiện các phép biến đổi dòng sơ cấp trên ma trận để đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn qua lệnh

$$\texttt{ GaussJordanEliminationTutor(...). }$$

Chẳng hạn, với ma trận $A$ trong Ví dụ 6.8 ta thực hiện lệnh

$\hspace{0cm}\texttt{ > with(Student[LinearAlgebra]): }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := Matrix([[0,0,1,2,9], [0,3,4,5,9], }$

$\hspace{2cm}\texttt{ [0,6,7,8,9], [0,9,9,9,9]]); }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > GaussJordanEliminationTutor(A); }$

khi đó xuất hiện hộp thoại như Hình II.7 và ta nhấp chuột vào nút $\fbox{Next Step}$ trên hộp thoại để thấy bước biến đổi dòng sơ cấp trên ma trận $A$. Để ý rằng nút $\fbox{All Steps}$ cho kết quả tất cả các bước biến đổi dòng sơ cấp để ma trận cuối cùng là ma trận bậc thang rút gọn tương đương ma trận $A$. Hơn nữa, chúng ta có thể điều chỉnh các phần tử của ma trận qua nút $\fbox{Edit Matrix}$ trên hộp thoại.

Hình II.7 Phương pháp khử Gauss-Jordan

Để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss-Jordan, trên $\texttt{Maple}$ ta có thể áp dụng lệnh trên nhưng với ma trận hệ số và ma trận cột hệ số tự do tách riêng. Chẳng hạn, giải hệ phương trình tuyến tính trong Ví dụ 6.8 thông qua các lệnh

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := Matrix([[1,1,2,-1], [2,-2,-4,-2], }$

$\hspace{2cm}\texttt{[2,-1,-2,-1], [3,2,4,-6]]); }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > b := <2, 0, 2, 2>; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > GaussJordanEliminationTutor(A,b); }$

khi đó xuất hiện hộp thoại như Hình II.7.b và tương tự trên sử dụng các nút $\fbox{Next Step}$ hay $\fbox{All Steps}$ để xem kết quả. Khi ma trận $A$ được biến đổi về ma trận bậc thang rút gọn thì với nút $\fbox{Solve System of Equations}$ ta sẽ nhận được hộp thoại giải hệ như Hình II.8 và trong đó nút $\fbox{Equations}$ biểu thị hệ phương trình tương đương ứng với ma trận bậc thang rút gọn còn nút $\fbox{Free Vars}$ biểu thị nghiệm tổng quát qua biến tự do.

Hình II.8 Giải hệ phương trình với phương pháp khử Gauss-Jordan

Thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính, đặc biệt sử dụng $\texttt{Maple}$, ta có thể đưa ra công thức đơn giản cho tổng dạng $1^i+2^i+3^i+\cdots+n^i$ với các số nguyên dương $i,n$. Chẳng hạn, với $i=1$ ta có công thức quen thuộc $$ 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}. $$ Với $i\ge 1$, ta tìm các số $a_1,a_2,\dots,a_{i+1}$ sao cho $$ 1^i+2^i+3^i+\cdots+n^i = a_1n+a_2n^2+a_3n^3+\cdots+a_{i+1}n^{i+1}. $$ Trường hợp $i=3$ ta tìm $a_1,a_2,a_3,a_4$ sao cho $$ 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = a_1n+a_2n^2+a_3n^3+a_{4}n^{4}. $$ Khi thay $n$ lần lượt bởi các số $1, 2, 3, 4$ ta nhận được hệ phương trình tuyến tính với các biến $a_1,a_2,a_3,a_4$ $$ \begin{cases} a_1+a_2+a_3+a_4 &=1\\ 2a_1+4a_2+8a_3+16a_4 &=9\\ 3a_1+9a_2+27a_3+81a_4 &=36\\ 4a_1+16a_2+64a_3+256a_4 &=100. \end{cases} $$ Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss-Jordan với $\texttt{Maple}$:

$\hspace{0cm}\texttt{ > A := <<1, 2, 3, 4>|<1, 4, 9, 16> }$

$\hspace{2cm}\texttt{ |<1, 8, 27, 64>|<1, 16, 81, 256>>; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > b := <1, 9, 36, 100>; }$

$\hspace{0cm}\texttt{ > GaussJordanEliminationTutor(A, b); }$

ta thu được ma trận bậc thang rút gọn tương đương với ma trận mở rộng của hệ phương trình $$ \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&\frac{1}{4}\\ 0&0&1&0&\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1&\frac{1}{4} \end{bmatrix}. $$ Do đó ta tìm được $a_1=0$, $a_2=\frac{1}{4}$, $a_3=\frac{1}{2}$ và $a_4=\frac{1}{4}$. Suy ra công thức \[ 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^{4} = \frac{n^2(n+1)^2}{4}. \]