17.1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản $\textbf{Định lý 17.1.}\ $ Cho $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Nếu $U$ là không gian con của $V$, thì ảnh của $U$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f(U):=\{f(\mathbf{u})\mid \mathbf{u}\in U\}, $$ là một không gian véctơ con của $W$. Nếu $T$ là không gian véctơ con của $W$, thì nghịch ảnh của $T$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f^{-1}(T)=\{\mathbf{v}\in V \mid f(\mathbf{v})\in T\}. $$ là một không gian véctơ con của $V$. $\textbf{Chứng minh.} \ $ (a)$\ $ Do $\mathbf{0}\in U$ nên $\mathbf{0}=f(\mathbf{0})\in f(U)$. Vậy $f(U)$ khác rỗng. Với $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in f(U)$, theo định nghĩa, tồn tại $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\in U$ sao cho $f(\mathbf{u}_1)=\mathbf{v}_1$ và $f(\mathbf{u}_2)=\mathbf{v}_2$. Khi đó, với mọi vô hướng $\lambda_1, \lambda_2\in \mathbb{K}$ ta có \[ \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2 = \lambda_1f(\mathbf{u}_1) + \lambda_2f(\mathbf{u}_2) = f(\lambda_1\mathbf{u}_1+\la...