Ở các mục trước ta thấy rằng một hệ phương trình tuyến tính có thể có vô số nghiệm, có một nghiệm duy nhất hay vô nghiệm. Trong mục này chúng ta sẽ xem xét việc biện luận các trường hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, xét nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và một vài ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính. 7.1. Hạng của ma trận và biện luận hệ phương trình Trước tiên chúng ta giới thiệu về hạng của ma trận trên trường $\mathbb{K}$. Cho $m,n$ là các số nguyên dương, và ma trận $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Định lý 6.6 chỉ ra sự tồn tại duy nhất một ma trận bậc thang rút gọn $B\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ tương đương với ma trận $A$. Điều này cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 7.1.}\ $ Số dòng khác không của ma trận bậc thang rút gọn tương đương với ma trận $A$ được gọi là $\textbf{hạng}$ của $A$ và được ký hiệu bởi $\mathrm{rk}(A)$ (hay $\mathrm{rank}(A)$). $\textbf{Nhận xét 7.2.} \ $ Cho $A\in \mathrm{M...