Như mục trước, $V$ luôn là một không gian véctơ khác không trên trường số $\mathbb{K}$. 12.1. Hệ sinh của không gian véctơ $\textbf{Định nghĩa 12.1.}$ Cho $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ là một hệ véctơ trong $V$. Tập hợp $$ \langle\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_\mathbb{K} :=\set{a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n \mid a_1,\dots,a_n\in \mathbb{K}}$$ được gọi là $\textbf{không gian sinh}$ bởi hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$. Ta quy ước $\langle\varnothing\rangle_\mathbb{K}:=\set{\mathbf{0}}$. Để ý rằng $\langle\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_{\mathbb{K}}$ là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của hệ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}_\mathbb{K}$ và nó còn được ký hiệu là $\text{spaning}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$. $\textbf{Định nghĩa 12.2.}$ Trong không gian véctơ $\mathbb{R}^3$, xét các véctơ $$ \mathbf{u} = \begin{bmatrix}3\\ 3\\ 2\end{bmatrix},\ \mathbf{v} =\begin{bmatrix}2\\ 3\\ 2\end{bmatr...