ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu ngắn gọn các khái niệm ``tổng quát'' về vành, trường và vành đa thức trên trường cùng một số tính chất cơ bản của chúng. Tiếp đó chúng ta sẽ xem xét về cấu trúc của trường số phức và các biểu diễn của số phức. 3.1. Vành Giả sử $R$ là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Một $\textbf{phép toán }$ ``$\ast$'' trong $R$ là một quy tắc ứng mỗi cặp $(a,b)\in R^{2}$ với một phần tử của $R$, ký hiệu là $a\ast b$. Nói cách khác, mỗi phép toán ``$\ast$'' trong $R$ là một ánh xạ \begin{align*} \ast: R^{2} &\longrightarrow R,\\ (a,b) &\longmapsto f(a,b)=a\ast b. \end{align*} Chẳng hạn, ta có phép toán cộng $a+b$ và phép toán nhân $a\cdot b$ thông thường trong các tập số $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$. $\textbf{Định nghĩa 3.1.}\ $ Một $\textbf{vành}$ $R$ là một tập khác rỗng có hai phép toán cộng và nhân $$ +: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a+b,\quad \cdot: R\times R\rightarrow R, (a, b)\mapsto a\...

2.1. Định nghĩa ánh xạ Cho $A$ và $B$ là hai tập tuỳ ý. Người ta dùng khái niệm ánh xạ để xét mối liên hệ giữa các phần tử của $A$ và $B.$ $\textbf{Định nghĩa 2.1.}\ $ Một $\textbf{ánh xạ}$ $f$ từ $A$ đến $B$ là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử $x$ của $A$ với một phần tử duy nhất của $B$ được ký hiệu là $f(x)$. Ta viết $f:A\rightarrow B, x \mapsto f(x)$ hay $$ \begin{aligned} f: A &\longrightarrow B\\ x &\longmapsto f(x). \end{aligned} $$ Ta gọi $A$ là $\textbf{tập nguồn} (\textbf{miền xác định}),$ $B$ là $\textbf{tập đích} (\textbf{miền giá trị})$ của ánh xạ $f$. $\textbf{Ví dụ 2.2.}\ $ Cho $A=\{1,2\}$ và $B=\{a,b,c\}$. Tương ứng $1\mapsto a$, $2\mapsto b$ xác định một ánh xạ $f$ từ $A$ đến $B$: \begin{align*} f: A&\longrightarrow B\\ 1&\longmapsto a\\ 2&\longmapsto b. \end{align*} Tương ứng $a\mapsto 1$, $b\mapsto 2$, và $c\mapsto 1$ xác định một ánh xạ $g$ từ $B$ đến $A$: \begin{align*} g: B&\longrightarrow A\\ a...

1.1. Khái niệm tập hợp Đối tượng của toán học gồm nhiều loại khác nhau, trong đó chúng ta đã quen thuộc với các đối tượng như các số, điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, đường tròn, phương trình, vv. Thông thường các đối tượng có cùng một tính chất chung được gom thành các tập hợp, và chúng có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Tập hợp là một khái niệm cơ bản và thâm nhập vào toàn bộ cách nghĩ trong toán học ngày nay. Tập hợp là một khái niệm không được định nghĩa mà được hiểu một cách trực giác như sau. Tất cả những đối tượng được xác định theo một quy tắc nào đó được xem là $\textbf{một tập hợp}$. Những đối tượng này được gọi là các $\textbf{phần tử}$ của tập hợp đó. (Để ngắn gọn, đôi khi ta nói $\textbf{tập}$ thay cho tập hợp.) Một tập hợp có thể không có một phần tử nào cả, một tập như vậy được gọi là $\textbf{tập rỗng}$, ký hiệu là $\varnothing$. $\textbf{Định nghĩa 1.1.}$ Cho $A$ là một tập hợp khác rỗng. Nếu $a$ là một phần tử của của $A$, thì người ta nói rằng ``$\te...

Ngôn ngữ và các khái niệm của lý thuyết đại số tuyến tính nói chung và ma trận nói riêng được ứng dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thống kê, học máy, trí tuệ nhân tạo, xử lí ảnh, tài chính, v.v. Đại số tuyến tính không những giúp sinh viên bước đầu làm quen với tính trừu tượng của toán học, các kĩ thuật tính toán mạnh mẽ hiện đại mà còn là nền tảng quan trọng của nhiều nhánh toán học khác như Giải tích hàm, Hình học vi phân. Giáo trình Đại số tuyến tính I của chúng tôi trình bày một cách cẩn thận các chủ đề mở đầu của đại số tuyến tính dưới góc nhìn lý thuyết cũng như công cụ thực hành tính toán và minh họa sức hấp dẫn của nó thông qua nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học và cuộc sống. Mục đích của chúng tôi là giúp những sinh viên lần đầu tiếp xúc với đại số tuyến tính có một nền tảng tốt về những khái niệm, ý tưởng cơ bản đồng thời hình dung được cách chúng được dùng trong thực tế. Hơn nữa, trong bối cảnh sức mạnh của máy tính ngày càng gia tăng, cùn...