ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ở những mục trước chúng ta quan tâm đến việc tìm $\mathbf{x}\in \mathbb{K}^n$ để thỏa mãn $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b}\quad \mbox{với}\ A \in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K}),\ \mathbf{b}\in \mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{K}). $$ Trong trường hợp $m=n=1$, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ trở thành $ax=b$ với $a,b\in \mathbb{K}$. Phương trình này có nghiệm $x$ thỏa mãn $x=a^{-1}b$ khi $a\ne 0$. Một cách tự nhiên, liệu rằng tồn tại một ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ của $A$ sao cho $\textbf{x}=A^{-1}\textbf{b}$? Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên. 9.1. Ma trận khả nghịch Mọi phần tử khác không $a$ trong trường số $\mathbb{K}$ luôn có phần tử đảo $a^{-1}\in \mathbb{K}$ sao cho $$ aa^{-1}=a^{-1}a=1. $$ Tương tự như vậy, ta định nghĩa ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông như sau. $\textbf{Định nghĩa 9.1.}\ $ Một ma trận vuông $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ được gọi là $\textbf{ma trận khả nghịch}$ nếu tồn tại ma trận vuông $A^{-1}\in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ sao cho $$ AA^{-1}

Trong các mục trước, ma trận là một công cụ hữu hiệu dùng để giải hệ phương trình tuyến tính. Thật ra, chính bản thân nội tại của ma trận cũng có nhiều tính chất thú vị. Các phép toán được giới thiệu sau đây cho thấy sự hữu ích của nó về cả lý thuyết và thực hành trong các chương tiếp theo. Chẳng hạn, nếu xem ma trận là một ngôn ngữ để diễn tả khái niệm trừu tượng ánh xạ tuyến tính trong Chương 4, thì các phép toán này là vốn từ vựng cần thiết. 8.1. Cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số Hai phép toán đầu tiên được giới thiệu ở đây là phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với một số. Cho $\mathbb{K}$ là trường số ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ hay $\mathbb{C}$), $m,n$ là hai số nguyên dương, và cho hai ma trận $A=(a_{ij})_{m\times n}$, $B=(b_{ij})_{m\times n} \in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ và $\lambda\in \mathbb{K}$. $\textbf{Định nghĩa 8.1.}\ $ $\textbf{Tổng}$ của hai ma trận $A$ và $B$, ký hiệu là $A+B$, là một ma trận cấp $m\times n$ trên trường $\mathbb{K}$ xác định bởi

Ở các mục trước ta thấy rằng một hệ phương trình tuyến tính có thể có vô số nghiệm, có một nghiệm duy nhất hay vô nghiệm. Trong mục này chúng ta sẽ xem xét việc biện luận các trường hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, xét nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và một vài ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính. 7.1. Hạng của ma trận và biện luận hệ phương trình Trước tiên chúng ta giới thiệu về hạng của ma trận trên trường $\mathbb{K}$. Cho $m,n$ là các số nguyên dương, và ma trận $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Định lý 6.6 chỉ ra sự tồn tại duy nhất một ma trận bậc thang rút gọn $B\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ tương đương với ma trận $A$. Điều này cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 7.1.}\ $ Số dòng khác không của ma trận bậc thang rút gọn tương đương với ma trận $A$ được gọi là $\textbf{hạng}$ của $A$ và được ký hiệu bởi $\mathrm{rk}(A)$ (hay $\mathrm{rank}(A)$). $\textbf{Nhận xét 7.2.} \ $ Cho $A\in \mathrm{M

Như ở mục trước, ta thấy rằng để giải hệ phương trình tuyến tính, ta viết ra ma trận mở rộng của hệ và sử dụng các phép biến đổi dòng sơ cấp để đưa ma trận mở rộng về ma trận tương đương có ``dạng đơn giản'' hơn. Từ đó ta suy ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Vậy dạng đơn giản của ma trận ở đây nên được hiểu như thế nào? Câu trả lời là ma trận có dạng bậc thang rút gọn sẽ được trình bày dưới đây. 6.1. Ma trận bậc thang Cho $m,n$ là các số nguyên dương, $\mathbb{K}$ là một trường, và ma trận $A\in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Một dòng của $A$ được gọi là $\textbf{dòng không}$, nếu nó chỉ chứa phần tử 0. Nếu một dòng của $A$ chứa ít nhất một phần tử khác 0 thì dòng đó được gọi là $\textbf{dòng khác không}$. Phần tử khác không đầu tiên của một dòng, được gọi là phần tử $\textbf{chuẩn}$ của dòng đó. $\textbf{Định nghĩa 6.1.}\ $ Ma trận $A$ được gọi là có $\textbf{dạng bậc thang dòng}$ hay ma trận bậc thang nếu: Hoặc $A$ không có dòng không hoặc các dòng kh

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa một đối tượng mang tên ``$\textit{ma trận}$'' và hệ phương trình tuyến tính. Ma trận là một trong những công cụ hữu ích để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và cũng như cho ta cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Dưới đây, $\mathbb{K}$ là ký hiệu để chỉ một trường số ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ hay $\mathbb{C}$). 5.1. Định nghĩa về ma trận $\textbf{Định nghĩa 5.1.}\ $ Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Một $\textbf{ma trận}$ cấp $m\times n$ là một bảng số hình chữ nhật gồm $mn$ số $a_{ij}\in \mathbb{K}$ ($i=1,\dots,m$; $j=1,\dots,n$) được xếp thành $m$ dòng và $n$ cột $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}. $$ Các số $a_{ij}$ nằm ở dòng thứ $i$ và cột thứ $j$ được gọi là các phần tử của ma trận. Người ta t