ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trong mục này, cho $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. Với hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ không gian sinh bởi hệ còn được viết dưới dạng $$ \langle \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_\mathbb{K} = \mathbb{K}\mathbf{v}_1+\cdots+\mathbb{K}\mathbf{v}_n. $$ Điều này có nghĩa là không gian sinh của hệ véctơ là tổng các véctơ trong không gian véctơ một chiều $\mathbb{K}\mathbf{v}_i$ với $\mathbf{v}_i\ne\mathbf{0}$. Sau đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp tổng quát hơn là tổng của các không gian con bất kỳ của không gian véctơ $V$. 14.1. Tổng của các không gian con $\textbf{Định nghĩa 14.1.}\ $ Cho $W_1,\dots,W_r$ là các không gian con của $V$. Khi đó $$ W_1+\dots+W_r :=\set{\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r \in V \mid \mathbf{w}_1\in W_1,\dots, \mathbf{w}_r\in W_r} $$ được gọi là $\textbf{tổng}$ của $W_1,\dots,W_r$. $\textbf{Ví dụ 14.2.}\ $ Trong $\mathbb{K}^3$, xét các không gian con $$ W_1 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ 0\\ 0\end{bmatrix}

Trong không gian $\mathbb{R}^n$ $(n\ge 1)$, khi ta viết véctơ $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^n$ thì nó có nghĩa rằng $\mathbf{v} = a_1\mathbf{e}_1+\cdots+a_n\mathbf{e}_n$, trong đó $\{\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^n$. Chẳng hạn, việc biễu diễn véctơ (hay điểm) $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}$ trong mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ được hiểu rằng ta di chuyển 1 đơn vị theo hướng $\mathbf{e}_1$ và 2 đơn vị theo hướng $\mathbf{e}_2$. Ở mục này chúng ta sẽ mở rộng ý tưởng này về việc biểu diễn véctơ ứng với các cơ sở của các không gian véctơ tổng quát. Dưới đây, cho $\mathbb{K}$ là một trường số và $V$ là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên $\mathbb{K}$. 13.1. Tọa độ của véctơ ứng với cơ sở cho trước Cho $B=\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ là một cơ sở của không gian véctơ $V$ và $\mathbf{v}\in V$ là một véctơ bất kỳ. Khi đó tồn tại bộ duy nhất gồm các số $a_1,\dots,a_n\in \mathb

Như mục trước, $V$ luôn là một không gian véctơ khác không trên trường số $\mathbb{K}$. 12.1. Hệ sinh của không gian véctơ $\textbf{Định nghĩa 12.1.}$ Cho $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ là một hệ véctơ trong $V$. Tập hợp $$ \langle\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_\mathbb{K} :=\set{a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n \mid a_1,\dots,a_n\in \mathbb{K}}$$ được gọi là $\textbf{không gian sinh}$ bởi hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$. Ta quy ước $\langle\varnothing\rangle_\mathbb{K}:=\set{\mathbf{0}}$. Để ý rằng $\langle\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_{\mathbb{K}}$ là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của hệ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}_\mathbb{K}$ và nó còn được ký hiệu là $\text{spaning}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$. $\textbf{Định nghĩa 12.2.}$ Trong không gian véctơ $\mathbb{R}^3$, xét các véctơ $$ \mathbf{u} = \begin{bmatrix}3\\ 3\\ 2\end{bmatrix},\ \mathbf{v} =\begin{bmatrix}2\\ 3\\ 2\end{bmatr

Trong mục này, ta luôn giả sử $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. 11.1 Tổ hợp tuyến tính $\textbf{Định nghĩa 11.1.}\ $ Cho $n$ là số nguyên dương và $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$ là một hệ véctơ trong $V$. Một véctơ $\mathbf{v}\in V$ được gọi là một $\textbf{tổ hợp tuyến tính}$ của hệ véctơ $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$ (hay $\mathbf{v}$ được $\textbf{biểu thị tuyến tính}$ qua hệ véctơ $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$) nếu $\mathbf{v}$ có thể viết dưới dạng $$ \mathbf{v} \;=\; a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\cdots+a_n\mathbf{v}_n $$ trong đó $a_1,\dots,a_n \in \mathbb{K}$. Một hệ véctơ $\{\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_m\}\subseteq V$, $m\ge 1$, gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{\,\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\,\}$ nếu mỗi véctơ $\mathbf{u}_i$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$ với $i=1,