ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trong mục này, cho $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. Với hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ không gian sinh bởi hệ còn được viết dưới dạng $$⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}=\mathbb{K}{\mathbf{v}}_1+\cdots +\mathbb{K}{\mathbf{v}}_n.$$ Điều này có nghĩa là không gian sinh của hệ véctơ là tổng các véctơ trong không gian véctơ một chiều $\mathbb{K}{\mathbf{v}}_i$ với ${\mathbf{v}}_i\ne \mathbf{0}$. Sau đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp tổng quát hơn là tổng của các không gian con bất kỳ của không gian véctơ $V$. 14.1. Tổng của các không gian con $\mathbf{\text{Định nghĩa 14.1.}}$ Cho $W_1,\dots ,W_r$ là các không gian con của $V$. Khi đó $$W_1+\cdots +W_r:=\{{\mathbf{w}}_1+\cdots +{\mathbf{w}}_r\in V\mid {\mathbf{w}}_1\in W_1,\dots ,{\mathbf{w}}_r\in W_r\}$$ được gọi là $\mathbf{\text{tổng}}$ của $W_1,\dots ,W_r$. $\mathbf{\text{Ví dụ 14.2.}}$ Trong ${\mathbb{K}}^3$, xét các không gian con $$ W_1 = \set{ $$\left[\begin{array}{c}a\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$ ...

Trong không gian ${\mathbb{R}}^n$ $(n\ge 1)$, khi ta viết véctơ $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n$ thì nó có nghĩa rằng $\mathbf{v}=a_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{e}}_n$, trong đó $\{{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n\}$ là cơ sở chính tắc của ${\mathbb{R}}^n$. Chẳng hạn, việc biễu diễn véctơ (hay điểm) $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ trong mặt phẳng ${\mathbb{R}}^2$ được hiểu rằng ta di chuyển 1 đơn vị theo hướng ${\mathbf{e}}_1$ và 2 đơn vị theo hướng ${\mathbf{e}}_2$. Ở mục này chúng ta sẽ mở rộng ý tưởng này về việc biểu diễn véctơ ứng với các cơ sở của các không gian véctơ tổng quát. Dưới đây, cho $\mathbb{K}$ là một trường số và $V$ là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên $\mathbb{K}$. 13.1. Tọa độ của véctơ ứng với cơ sở cho trước Cho $B=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một cơ sở của không gian véctơ $V$ và $\mathbf{v}\in V$ là một véctơ bất kỳ. Khi đó tồn tại bộ duy nhất gồm các số $a_1,\dots,a_n\in \mathb...

Như mục trước, $V$ luôn là một không gian véctơ khác không trên trường số $\mathbb{K}$. 12.1. Hệ sinh của không gian véctơ $\mathbf{\text{Định nghĩa 12.1.}}$ Cho $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một hệ véctơ trong $V$. Tập hợp $$⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}:=\{a_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}\}$$ được gọi là $\mathbf{\text{không gian sinh}}$ bởi hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$. Ta quy ước $⟨\varnothing {⟩}_{\mathbb{K}}:=\{\mathbf{0}\}$. Để ý rằng $⟨{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n{⟩}_{\mathbb{K}}$ là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của hệ ${\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}}_{\mathbb{K}}$ và nó còn được ký hiệu là $\text{spaning}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$. $\mathbf{\text{Định nghĩa 12.2.}}$ Trong không gian véctơ ${\mathbb{R}}^3$, xét các véctơ $$ \mathbf{u} = $$\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 2\end{array}\right]$$,\ \mathbf{v} =\begin{bmatrix}2\ 3\ 2\end{bmatr...

Trong mục này, ta luôn giả sử $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. 11.1 Tổ hợp tuyến tính $\mathbf{\text{Định nghĩa 11.1.}}$ Cho $n$ là số nguyên dương và $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ là một hệ véctơ trong $V$. Một véctơ $\mathbf{v}\in V$ được gọi là một $\mathbf{\text{tổ hợp tuyến tính}}$ của hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ (hay $\mathbf{v}$ được $\mathbf{\text{biểu thị tuyến tính}}$ qua hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$) nếu $\mathbf{v}$ có thể viết dưới dạng $$\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_n$$ trong đó $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$. Một hệ véctơ $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m\}\subseteq V$, $m\ge 1$, gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ nếu mỗi véctơ ${\mathbf{u}}_i$ biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ với $i=1,...