ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

18.1. Không gian véctơ đối ngẫu Giả sử $V$ là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường $\mathbb{K}$. $\textbf{Định nghĩa 18.1.}\ $ Không gian $\mathcal{L}(V,\mathbb{K})$ của các ánh xạ tuyến tính từ $V$ vào $\mathbb{K}$ được gọi là không gian véctơ đối ngẫu của $V$ , ký hiệu bởi $V^*$. Mỗi phần tử của $V^*$ được gọi là một dạng tuyến tính trên $V$ . $\textbf{Nhận xét 18.2.} \ $ Từ Hệ quả 16.8, ta có $$\dim(V^*)=\dim(\mathcal{L}(V,\mathbb{K}))=\dim(V)\cdot \dim(\mathbb{K})=\dim(V).$$ $\textbf{Ví dụ 18.3.}\ $ Ánh xạ $f\colon \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ cho bởi $f([x,y,z]^T)=x-2y+z$ là một dạng tuyến tính trên $\mathbb{R}^3$. $\textbf{Ví dụ 18.4.}\ $ Lấy $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^n$. Khi đó ánh xạ $f\colon\mathbb{K}^n\rightarrow\mathbb{K}$ cho bởi \[ [x_1,\dots,x_n]^T \mapsto \lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n \] là một dạng tuyến tính trên $\mathbb{K}^n$. Tổng quát hơn, ta có $\textbf{Mệnh đề 18.5.} \ $ Cho $V$ là k

17.1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản $\textbf{Định lý 17.1.}\ $ Cho $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Nếu $U$ là không gian con của $V$, thì ảnh của $U$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f(U):=\{f(\mathbf{u})\mid \mathbf{u}\in U\}, $$ là một không gian véctơ con của $W$. Nếu $T$ là không gian véctơ con của $W$, thì nghịch ảnh của $T$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f^{-1}(T)=\{\mathbf{v}\in V \mid f(\mathbf{v})\in T\}. $$ là một không gian véctơ con của $V$. $\textbf{Chứng minh.} \ $ (a)$\ $ Do $\mathbf{0}\in U$ nên $\mathbf{0}=f(\mathbf{0})\in f(U)$. Vậy $f(U)$ khác rỗng. Với $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in f(U)$, theo định nghĩa, tồn tại $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\in U$ sao cho $f(\mathbf{u}_1)=\mathbf{v}_1$ và $f(\mathbf{u}_2)=\mathbf{v}_2$. Khi đó, với mọi vô hướng $\lambda_1, \lambda_2\in \mathbb{K}$ ta có \[ \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2 = \lambda_1f(\mathbf{u}_1) + \lambda_2f(\mathbf{u}_2) = f(\lambda_1\mathbf{u}_1+\la

16.1. Ma trận và công thức đổi tọa độ Cho $V$ và $W$ là các $\mathbb{K}$-không gian véctơ hữu hạn chiều với các cơ sở tương ứng là $S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$ và $T=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$. Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, $f$ được xác định duy nhất bởi $\set{f(\mathbf{v}_1), f(\mathbf{v}_2),\dots, f(\mathbf{v}_n)}$. Do $T$ là một cơ sở của $W$ nên với mỗi $f(\mathbf{v}_j)$ tồn tại duy nhất bộ vô hướng $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}\in \mathbb{K}$ sao cho $$ f(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{w}_1+a_{2j}\mathbf{w}_2+\cdots+a_{mj}\mathbf{w}_m. $$ Do đó, ánh xạ tuyến tính $f\colon V\rightarrow W$ được xác định duy nhất qua hệ các vô hướng $\{ a_{ij} \mid 1\le i\le m, 1\le j\le n\}$. Điều này dẫn đến định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 16.1.}\ $ Ta gọi ma trận $$ A:=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots

15.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Trong phần này, ta giả sử $V$ và $W$ là các không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. Đối tượng khảo sát của chúng ta là lớp các ánh xạ giữa các không gian véctơ bảo toàn các phép toán cộng và nhân vô hướng. Các ánh xạ này được gọi là các $\textit{ánh xạ tuyến tính},$ hay $\textit{phép biến đổi tuyến tính},$ hay $\textit{toán tử tuyến tính},$ hay $\textit{đồng cấu tuyến tính}.$ $\textbf{Định nghĩa 15.1.}\ $ Ánh xạ $f\colon V\rightarrow W$ được gọi là một $\textbf{ánh xạ $\mathbb{K}$-tuyến tính}$ nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn: Tính chất cộng tính: $f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2)$ với mọi véctơ $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V$; Tính chất thuần nhất: $f(\lambda \mathbf{v})=\lambda f(\mathbf{v})$ với mọi vô hướng $\lambda\in \mathbb{K}$, với mọi véctơ $\mathbf{v}\in V$. Nếu không có nhầm lẫn, ta thường không nhắc đến trường khi nói đến các ánh xạ tuyến tính. Dễ dàng kiểm tra các ánh x

Ngôn ngữ và các khái niệm của lý thuyết đại số tuyến tính nói chung và ma trận nói riêng được ứng dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thống kê, học máy, trí tuệ nhân tạo, xử lí ảnh, tài chính, v.v. Đại số tuyến tính không những giúp sinh viên bước đầu làm quen với tính trừu tượng của toán học, các kĩ thuật tính toán mạnh mẽ hiện đại mà còn là nền tảng quan trọng của nhiều nhánh toán học khác như Giải tích hàm, Hình học vi phân. Giáo trình Đại số tuyến tính I của chúng tôi trình bày một cách cẩn thận các chủ đề mở đầu của đại số tuyến tính dưới góc nhìn lý thuyết cũng như công cụ thực hành tính toán và minh họa sức hấp dẫn của nó thông qua nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học và cuộc sống. Mục đích của chúng tôi là giúp những sinh viên lần đầu tiếp xúc với đại số tuyến tính có một nền tảng tốt về những khái niệm, ý tưởng cơ bản đồng thời hình dung được cách chúng được dùng trong thực tế. Hơn nữa, trong bối cảnh sức mạnh của máy tính ngày càng gia tăng, cùn