ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

21.1. Hệ phương trình Cramer Bây giờ ta áp dụng định thức để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đặc biệt dưới đây. $\textbf{Định nghĩa 21.1.}$ Hệ phương trình tuyến tính $A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b}$ được gọi là $\textbf{hệ phương trình Cramer}$ nếu ma trận hệ số $A$ của nó là ma trận vuông khả nghịch (tức là nếu nó có số phương trình bằng số ẩn và $\det(A)\ne 0$). Giả sử $A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b}$ là một hệ phương trình Cramer. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất định bởi \begin{equation}\tag{21.1} \mathbf{x} = A^{-1}\cdot (A\cdot\mathbf{x}) = A^{-1}\cdot\mathbf{b} \end{equation} Hơn nữa, ta có thể xác định nghiệm $\mathbf{x}$ bằng công thức sau mà không nhất thiết phải tính cụ thể ma trận nghịch đảo. Gọi $A_i$ là cột thứ $i$ của ma trận $A$ ($i=1,\dots,n$). $\textbf{Định lý 21.2} [\textbf{Công thức Cramer}] \ $ Hệ phương trình Cramer $A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có một nghiệm duy nhất được tính bằng công thức \begin{equation}\tag{21.2} x_j = \frac

Trong mục này ta sẽ quy bài toán tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ trên trường số $\mathbb{K}$ về việc tính định thức của các ma trận vuông cấp nhỏ hơn, đồng thời ta sẽ xét ứng dụng đầu tiên của định thức là đưa ra công thức tính ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch. 20.1. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông Cho $A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$ là một ma trận vuông cấp $n$ trên $\mathbb{K}$, và cho $1\le i,j\le n$. Gọi $A_{ij}\in\mathrm{Mat}_{n-1}(\mathbb{K})$ là ma trận nhận được từ ma trận $A$ sau khi xóa đi dòng $i$ và cột $j$. Ta đặt $$ a_{ij}^{\sharp} := (-1)^{i+j}\det(A_{ji}),\qquad A^\sharp := (a_{ij}^{\sharp})_{n\times n} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K}). $$ $\textbf{Định nghĩa 20.1.}$ Ma trận $A_{ij}$ được gọi là $\textbf{ma trận bù}$ của phần tử $a_{ij}$; và định thức $\det(A_{ij})$ được gọi là $\textbf{định thức bù}$ của $a_{ij}$. Ma trận $A^{\sharp}$ được gọi là $\textbf{ma trận phụ hợp}$ của ma trận $A

19.1. Các phép thế Cho $n$ là số nguyên dương và đặt $I :=\{1, 2, \dots, n\}$. $\textbf{Định nghĩa 19.1.}$ Một song ánh $\sigma: I \rightarrow I$ được gọi là một $\textbf{phép thế bậc $n$}$. Tập hợp tất cả các phép thế bậc $n$ được ký hiệu bởi $S_n$. Với $\sigma\in S_n$ ta thường biểu diễn nó dạng $$ \sigma = {\small \begin{pmatrix} 1&2&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{pmatrix}}. $$ $\textbf{Ví dụ 19.2.}$ Với $n=1$, $I=\{1\}$ và phép thế bậc 1 duy nhất của $S_1$ chính là ánh xạ đồng nhất $\mathrm{id}_I$.    Với $n=2$, $I=\{1,2\}$ và $S_2$ có hai phép thế bậc 2 là $\mathrm{id}_I = {\small \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&2 \end{pmatrix}}$ và $\sigma = {\small \begin{pmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{pmatrix}}. $   Với $n=3$, $I=\{1,2,3\}$ và $S_3$ có 6 phép thế bậc 3 gồm $\sigma_1=\mathrm{id}_I$ và $$ \begin{aligned} \sig

Ngôn ngữ và các khái niệm của lý thuyết đại số tuyến tính nói chung và ma trận nói riêng được ứng dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thống kê, học máy, trí tuệ nhân tạo, xử lí ảnh, tài chính, v.v. Đại số tuyến tính không những giúp sinh viên bước đầu làm quen với tính trừu tượng của toán học, các kĩ thuật tính toán mạnh mẽ hiện đại mà còn là nền tảng quan trọng của nhiều nhánh toán học khác như Giải tích hàm, Hình học vi phân. Giáo trình Đại số tuyến tính I của chúng tôi trình bày một cách cẩn thận các chủ đề mở đầu của đại số tuyến tính dưới góc nhìn lý thuyết cũng như công cụ thực hành tính toán và minh họa sức hấp dẫn của nó thông qua nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học và cuộc sống. Mục đích của chúng tôi là giúp những sinh viên lần đầu tiếp xúc với đại số tuyến tính có một nền tảng tốt về những khái niệm, ý tưởng cơ bản đồng thời hình dung được cách chúng được dùng trong thực tế. Hơn nữa, trong bối cảnh sức mạnh của máy tính ngày càng gia tăng, cùn