ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Như các mục trước, cho $V$ là không gian véctơ $n$-chiều trên trường số $\mathbb{K}$. Trong mục này ta khảo sát bài toán chéo hóa và xem xét một vài ứng dụng của nó. 24.1. Bài toán chéo hóa Tự đồng cấu $f\in\text{End}(V)$ là chéo hóa được nếu tồn tại cơ sở $S$ của $V$ sao cho $M_S(f)$ là ma trận chéo. Bài toán chéo hóa yêu cầu chỉ ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại và phương pháp tìm một cơ sở $S$ sao cho $M_S(f)$ là ma trận chéo. Trước hết ta giới thiệu về sự phân rã trên $\mathbb{K}$ và nghiệm bội của đa thức. $\textbf{Định nghĩa 24.1.}\ $ Cho đa thức $p(t)\in\mathbb{K}[t]$. Ta nói rằng $p(t)$ phân rã trên $\mathbb{K}$ nếu tồn tại $a,a_1,\dots,a_d\in\mathbb{K}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $ p(t) = a(t-a_1)\cdots(t-a_d). $ Một nghiệm $\lambda\in\mathbb{K}$ của $p(t)$ được gọi là $\textbf{nghiệm bội}$ nếu $(t-\lambda)^2$ chia hết $p(t)$. Số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho $(t-\lambda)^k$ chia hết $p(t)$ được gọi là $\textbf{số bội}$ của $\lam

Trong mục này chúng ta sẽ khảo sát phương pháp tìm các giá trị riêng và xác định không gian riêng tương ứng của một tự đồng cấu của không gian hữu hạn chiều (cũng như là của một ma trận vuông) trên trường số $\mathbb{K}$. Dưới đây $V$ luôn là không gian véctơ $n$-chiều trên trường $\mathbb{K}$. 23.1. Đa thức đặc trưng Một đặc trưng cơ bản cho giá trị riêng của một tự đồng cấu của $V$ được trình bày bởi tính chất sau. $\textbf{Bổ đề 23.1.} \ $ Với $f\in \text{End}(V)$ và $\lambda\in \mathbb{K}$, các điều kiện sau là tương đương: $\lambda$ là giá trị riêng của $f$. $\text{det}(f-\lambda \text{id}_V) =0$. $\textbf{Chứng minh.} \ $ Từ Bổ đề 22.15, ta thấy rằng $\lambda$ là giá trị riêng của $f$ khi và chỉ khi $\text{Ker}(f-\lambda \text{id}_V) \ne \set{\mathbf{0}}$. Vì $V$ là không gian véctơ hữu hạn chiều, nên điều kiện trên tương đương với $f-\lambda \text{id}_V$ không là đẳng cấu theo Hệ quả 17.15. Điều kiện cuối này tương đương với $\text{det}(f-\lambda \text{id}_V)

22.1. Định nghĩa và một số tính chất Cho tự đồng cấu $f \in \mathrm{End}(V)$. Nếu $V$ có thể phân tích thành tổng trực tiếp \begin{equation}\tag{22.1} V= V_1\oplus\cdots \oplus V_m \end{equation} trong đó $V_i$ là các không gian con thực sự của $V$, thì việc khảo sát $f$ có thể quy về việc khảo sát các ánh xạ thu hẹp $f|_{V_i}$ trên các không gian con $V_i$. Rõ ràng khảo sát $f|_{V_i}$ là dễ hơn so với $f$ vì $\dim(V_i) < \dim(V)$. Tuy nhiên, vấn đề ở đây là ánh xạ thu hẹp $f|_{V_i}$ có thể không phải là tự đồng cấu của $V_i$, do ảnh của nó có thể là một không gian con khác với $V_i$. Vì vậy ta cần xét các phân tích của $V$ dạng (22.1) sao cho $f(V_i)\subseteq V_i$ với mọi $i=1,\dots, m$. Điều này đưa ta tới định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 22.1.}\ $ Không gian con $U$ của $V$ được gọi là không gian con bất biến của $f$ nếu $f(U)\subset U$. $\textbf{Ví dụ 22.2.}\ $ Rõ ràng, $f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ và $f(\mathbf{v})\in V$ với mọi $\mathbf{v}\in V$, t

24.1. Bài toán chéo hóa 24.2. Một vài ứng dụng Tính lũy thừa của ma trận chéo hóa được Phương trình đệ quy tuyến tính của dãy số Thuật toán sắp xếp thứ hạng trang web

23.1. Đa thức đặc trưng 23.2. Định lý Cayley-Hamilton 23.3. Đa thức tối tiểu 23.4. Không gian con bất biến thực và phức

22.1. Định nghĩa và một số tính chất 22.2. Véctơ riêng và giá trị riêng 22.3. Tự đồng cấu và ma trận chéo hóa được

Ngôn ngữ và các khái niệm của lý thuyết đại số tuyến tính nói chung và ma trận nói riêng được ứng dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thống kê, học máy, trí tuệ nhân tạo, xử lí ảnh, tài chính, v.v. Đại số tuyến tính không những giúp sinh viên bước đầu làm quen với tính trừu tượng của toán học, các kĩ thuật tính toán mạnh mẽ hiện đại mà còn là nền tảng quan trọng của nhiều nhánh toán học khác như Giải tích hàm, Hình học vi phân. Giáo trình Đại số tuyến tính I của chúng tôi trình bày một cách cẩn thận các chủ đề mở đầu của đại số tuyến tính dưới góc nhìn lý thuyết cũng như công cụ thực hành tính toán và minh họa sức hấp dẫn của nó thông qua nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học và cuộc sống. Mục đích của chúng tôi là giúp những sinh viên lần đầu tiếp xúc với đại số tuyến tính có một nền tảng tốt về những khái niệm, ý tưởng cơ bản đồng thời hình dung được cách chúng được dùng trong thực tế. Hơn nữa, trong bối cảnh sức mạnh của máy tính ngày càng gia tăng, cùn