ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

17.1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản $\textbf{Định lý 17.1.}\ $ Cho $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Nếu $U$ là không gian con của $V$, thì ảnh của $U$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f(U):=\{f(\mathbf{u})\mid \mathbf{u}\in U\}, $$ là một không gian véctơ con của $W$. Nếu $T$ là không gian véctơ con của $W$, thì nghịch ảnh của $T$ qua $f$, định nghĩa bởi $$ f^{-1}(T)=\{\mathbf{v}\in V \mid f(\mathbf{v})\in T\}. $$ là một không gian véctơ con của $V$. $\textbf{Chứng minh.} \ $ (a)$\ $ Do $\mathbf{0}\in U$ nên $\mathbf{0}=f(\mathbf{0})\in f(U)$. Vậy $f(U)$ khác rỗng. Với $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in f(U)$, theo định nghĩa, tồn tại $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\in U$ sao cho $f(\mathbf{u}_1)=\mathbf{v}_1$ và $f(\mathbf{u}_2)=\mathbf{v}_2$. Khi đó, với mọi vô hướng $\lambda_1, \lambda_2\in \mathbb{K}$ ta có \[ \lambda_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2 = \lambda_1f(\mathbf{u}_1) + \lambda_2f(\mathbf{u}_2) = f(\lambda_1\mathbf{u}_1+\la

16.1. Ma trận và công thức đổi tọa độ Cho $V$ và $W$ là các $\mathbb{K}$-không gian véctơ hữu hạn chiều với các cơ sở tương ứng là $S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$ và $T=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$. Giả sử $f\colon V\rightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, $f$ được xác định duy nhất bởi $\set{f(\mathbf{v}_1), f(\mathbf{v}_2),\dots, f(\mathbf{v}_n)}$. Do $T$ là một cơ sở của $W$ nên với mỗi $f(\mathbf{v}_j)$ tồn tại duy nhất bộ vô hướng $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}\in \mathbb{K}$ sao cho $$ f(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{w}_1+a_{2j}\mathbf{w}_2+\cdots+a_{mj}\mathbf{w}_m. $$ Do đó, ánh xạ tuyến tính $f\colon V\rightarrow W$ được xác định duy nhất qua hệ các vô hướng $\{ a_{ij} \mid 1\le i\le m, 1\le j\le n\}$. Điều này dẫn đến định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 16.1.}\ $ Ta gọi ma trận $$ A:=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots

15.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Trong phần này, ta giả sử $V$ và $W$ là các không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. Đối tượng khảo sát của chúng ta là lớp các ánh xạ giữa các không gian véctơ bảo toàn các phép toán cộng và nhân vô hướng. Các ánh xạ này được gọi là các $\textit{ánh xạ tuyến tính},$ hay $\textit{phép biến đổi tuyến tính},$ hay $\textit{toán tử tuyến tính},$ hay $\textit{đồng cấu tuyến tính}.$ $\textbf{Định nghĩa 15.1.}\ $ Ánh xạ $f\colon V\rightarrow W$ được gọi là một $\textbf{ánh xạ $\mathbb{K}$-tuyến tính}$ nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn: Tính chất cộng tính: $f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2)$ với mọi véctơ $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V$; Tính chất thuần nhất: $f(\lambda \mathbf{v})=\lambda f(\mathbf{v})$ với mọi vô hướng $\lambda\in \mathbb{K}$, với mọi véctơ $\mathbf{v}\in V$. Nếu không có nhầm lẫn, ta thường không nhắc đến trường khi nói đến các ánh xạ tuyến tính. Dễ dàng kiểm tra các ánh x

Trong mục này, cho $V$ là một không gian véctơ trên trường số $\mathbb{K}$. Với hệ véctơ $\set{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ không gian sinh bởi hệ còn được viết dưới dạng $$ \langle \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\rangle_\mathbb{K} = \mathbb{K}\mathbf{v}_1+\cdots+\mathbb{K}\mathbf{v}_n. $$ Điều này có nghĩa là không gian sinh của hệ véctơ là tổng các véctơ trong không gian véctơ một chiều $\mathbb{K}\mathbf{v}_i$ với $\mathbf{v}_i\ne\mathbf{0}$. Sau đây chúng ta sẽ xem xét trường hợp tổng quát hơn là tổng của các không gian con bất kỳ của không gian véctơ $V$. 14.1. Tổng của các không gian con $\textbf{Định nghĩa 14.1.}\ $ Cho $W_1,\dots,W_r$ là các không gian con của $V$. Khi đó $$ W_1+\dots+W_r :=\set{\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_r \in V \mid \mathbf{w}_1\in W_1,\dots, \mathbf{w}_r\in W_r} $$ được gọi là $\textbf{tổng}$ của $W_1,\dots,W_r$. $\textbf{Ví dụ 14.2.}\ $ Trong $\mathbb{K}^3$, xét các không gian con $$ W_1 = \set{ \begin{bmatrix}a\\ 0\\ 0\end{bmatrix}