ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ở các mục trước ta thấy rằng một hệ phương trình tuyến tính có thể có vô số nghiệm, có một nghiệm duy nhất hay vô nghiệm. Trong mục này chúng ta sẽ xem xét việc biện luận các trường hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, xét nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và một vài ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính. 7.1. Hạng của ma trận và biện luận hệ phương trình Trước tiên chúng ta giới thiệu về hạng của ma trận trên trường $\mathbb{K}$. Cho $m,n$ là các số nguyên dương, và ma trận $A\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Định lý 6.6 chỉ ra sự tồn tại duy nhất một ma trận bậc thang rút gọn $B\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ tương đương với ma trận $A$. Điều này cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa sau. $\textbf{Định nghĩa 7.1.}\ $ Số dòng khác không của ma trận bậc thang rút gọn tương đương với ma trận $A$ được gọi là $\textbf{hạng}$ của $A$ và được ký hiệu bởi $\mathrm{rk}(A)$ (hay $\mathrm{rank}(A)$). $\textbf{Nhận xét 7.2.} \ $ Cho $A\in \mathrm{M

Như ở mục trước, ta thấy rằng để giải hệ phương trình tuyến tính, ta viết ra ma trận mở rộng của hệ và sử dụng các phép biến đổi dòng sơ cấp để đưa ma trận mở rộng về ma trận tương đương có ``dạng đơn giản'' hơn. Từ đó ta suy ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Vậy dạng đơn giản của ma trận ở đây nên được hiểu như thế nào? Câu trả lời là ma trận có dạng bậc thang rút gọn sẽ được trình bày dưới đây. 6.1. Ma trận bậc thang Cho $m,n$ là các số nguyên dương, $\mathbb{K}$ là một trường, và ma trận $A\in\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$. Một dòng của $A$ được gọi là $\textbf{dòng không}$, nếu nó chỉ chứa phần tử 0. Nếu một dòng của $A$ chứa ít nhất một phần tử khác 0 thì dòng đó được gọi là $\textbf{dòng khác không}$. Phần tử khác không đầu tiên của một dòng, được gọi là phần tử $\textbf{chuẩn}$ của dòng đó. $\textbf{Định nghĩa 6.1.}\ $ Ma trận $A$ được gọi là có $\textbf{dạng bậc thang dòng}$ hay ma trận bậc thang nếu: Hoặc $A$ không có dòng không hoặc các dòng kh

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa một đối tượng mang tên ``$\textit{ma trận}$'' và hệ phương trình tuyến tính. Ma trận là một trong những công cụ hữu ích để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và cũng như cho ta cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Dưới đây, $\mathbb{K}$ là ký hiệu để chỉ một trường số ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ hay $\mathbb{C}$). 5.1. Định nghĩa về ma trận $\textbf{Định nghĩa 5.1.}\ $ Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Một $\textbf{ma trận}$ cấp $m\times n$ là một bảng số hình chữ nhật gồm $mn$ số $a_{ij}\in \mathbb{K}$ ($i=1,\dots,m$; $j=1,\dots,n$) được xếp thành $m$ dòng và $n$ cột $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}. $$ Các số $a_{ij}$ nằm ở dòng thứ $i$ và cột thứ $j$ được gọi là các phần tử của ma trận. Người ta t

Trong thực tế, một vấn đề hiếm khi chỉ phụ thuộc vào chỉ một tham số đầu vào. Chẳng hạn như lợi nhuận của một công ty không chỉ phụ thuộc vào giá của nguyên vật liệu và còn phụ thuộc vào chi phí nhân công, chi phí vận chuyển và cả chi phí quản lý. Chính vì thế, lợi nhuận của một công ty phụ thuộc vào nhiều tham biến. Bằng ngôn ngữ của toán học, ta có thể nói rằng, lợi nhuận là một hàm nhiều biến. Trong đại số tuyến tính, chúng ta nghiên cứu dạng đơn giản nhất của hàm nhiều biến, đó là dạng tuyến tính trên một trường số $\mathbb{K}$ ($=\mathbb{Q}, \mathbb{R},$ hay $\mathbb{C})$. Phương trình $$ x_1+2x_2+3x_3=1 $$ là một ví dụ của phương trình tuyến tính với hệ số trên trường $\mathbb{K}$. Phương trình này có một nghiệm là $x_1=1, x_2=0,x_3=0$, tuy nhiên bộ nghiệm này không phải là bộ nghiệm duy nhất của phương trình. 4.1. Phương trình tuyến tính $\textbf{Định nghĩa 4.1.}\ $ Một $\textbf{phương trình tuyến tính}$ $n$ biến trên trường số $\mathbb{K}$ là phương trình có dạn